La trigonométrie fonctions circulaires

La trigonométrie
fonctions circulaires
Activité : Usure d’un pneu radialement.
1- Cercle trigonométrique - caractéristiques
1-1 Définition : On appelle cercle trigonométrique C dans le plan muni du repère orthonormé
O et de rayon 1 (une unité) sur lequel on a distingué deux sens de parcours :
(O; i, j ) le cercle de centre
r
j
* Sens direct (sens positif) : le sens inverse des aiguilles d’une montre
O
* Sens indirect (sens négatif) : le sens des aiguilles d’une montre
+
rr
ii
1
-
C
2-2 Unités de mesure
Les deux principales unités de mesure sont :
• le degré (° : un angle plat a pour mesure 180 degrés noté 180°)
• le radian (rad, un arc de cercle de mesure un radian a la même longueur que le rayon du cercle).
Relation :
π radian correspond à 180 degrés.
⇒
π =180°
2- Angle orienté
2-1 Définition :
M
Tout point M du cercle trigonométrique C définit un
angle orienté noté
α
(OA, OM ) et un arc orienté AM.
O
AM
: l’arc orienté
R A
AM = R × α
2-2 Mesure d’un angle orienté
La mesure de d’un angle orienté est égale à la mesure de l’arc intercepté en respectant le sens :
- mesure positive dans le sens direct,
- mesure négative dans le sens indirect.
Remarque : Un angle orienté possède plusieurs mesures .
Exemples : l’angle orienté
(OA, OM ) mesure
π
4
rad (mesure principale),
−
7π
9π
π
rad,
rad, …., + 2kπ
4
4
4
k est un entier relatif.
2-3 Mesure principale
Définition
La mesure principale d’un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant à l’intervalle ]− π ;π ] .
M.K.
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π 4
π 3
π
2 3
π
3 4
π
5 6
J
π 2
2-4 Mesures principales remarquables
π 6
π
I
O
π 6
π 4
−
−
π 3
−
π 2
−
−
π
2 3
π
3 4
π
5 6
−
−
3- Cosinus et sinus d’un angle orienté
Activité : le cosinus et le sinus d’un angle sur Geogebra
3-1 Définitions :
Les coordonnées du point M dans le repère orthonormé (O; i, j )
sont par définition M( cos x , sin x ). On définit ainsi les fonctions numériques :
r
j
M
sin x
x
- cosinus de x : cos x est l’abscisse du point M.
- sinus de x : sin x est l’ordonnée du point M.
-1
O
cos x
r 1
i
3-2 Propriétés
Pour tout x réel :
−1 ≤ cos x ≤ 1
−1 ≤ sin x ≤ 1
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
0
cos x
π 6
2
2
O
M.K.
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3 2
2 2
1
2
π 4
0
1 2
sin x
J
π 3
90°
3 2 1 2
2 2
60°
π 2
45°
π 3
30°
π 4
0°
0 rad
π 6
x
π 2
3-3 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
I
3-4 Cosinus et sinus d’angles associés
* les points M et N sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées :
pour tout x réel
cos(π − x ) = - cos x
sin(π − x ) = sin x
* les points M et P sont symétriques par rapport à O :
cos( x + π ) = - cos x pour tout x réel
sin( x + π ) = - sin x
N
* les points M et Q sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses :
cos(− x ) = cos x pour tout x réel
sin( − x ) = - sin x
cos(
sin(
π
2
π
2
π +x
-1
x
1
O
P
− x ) = sin x
M
π −x
Q
− x ) = cos x
4 – Résolution d’équations
L’inconnue x est remplacée par l’inconnue t .
4-1 Résolution de l’équation cos t = cos a
Théorème ;
L’équation cos t = cos a admet deux types de solutions :
* t = a + 2kπ
où k est un nombre relatif quelconque.
* t = −a + 2kπ
4-2 Résolution de l’équation sin t = sin a
Théorème ;
L’équation sin t = sin a admet deux types de solutions :
* t = a + 2kπ
où k est un nombre relatif quelconque.
* t = π − a + 2k π
5- Fonctions circulaires
On appel fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique comme la fonction sinus, la fonction
cosinus ou encore la fonction tangente.
Définition :
Les coordonnées du point M dans le repère orthonormé
ainsi les fonctions numériques :
-
 IR → [− 1;1]
cosinus de x : 
 x → cos x
(O; i, j ) sont par définition M( cos x , sin x ). On définit
-
 IR → [− 1;1]
sinus de x : 
,
 x → sin x
M.K.
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5-1 Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π . Elles sont très utilisées en physique sous la forme :
- f : t → sin(ωt + ϕ ) ,
- f : t → cos(ωt + ϕ )
où ω représente la pulsation et ϕ la phase. Ces deux fonctions ont pour période : T =
2π
ω
.
Définition :
Une fonction trigonométrique f définie sur IR est dite T-périodique si, pour tout réel x , f ( x + T ) = f ( x )
5-2 Parité
Pour tout x réel :
- cos(− x ) = cos x , la fonction cosinus est paire. (en général, on démontre que f ( − x ) = f ( x ) ),
- sin( − x ) = - sin x , la fonction sinus est impaire, (en général, on démontre que f ( − x ) = − f ( x ) ),
6- Variation et représentations graphiques
6-1 la fonction sinus
x
Soit la fonction f ( x ) = sin x .
Sens de variation : la fonction f ( x ) = sin x est décroissante
0
π
π
2
1
π

 π π
sur  − π ;−  , Croissante sur  − ;  et elle est décroissante
2

 2 2
sin x
0
0
π 
sur  ; π  .
2 
Représentation graphique
La fonction sinus est impaire, on en déduit le
tracé sur [− π ;π ] , par symétrie de centre O.
De plus, elle est périodique de période 2π .
6-2 la fonction cosinus
Soit la fonction f ( x ) = cos x .
x0
Sens de variation : la fonction f ( x ) = cos x est
croissante sur [− π ;0] et elle est décroissante sur [0;π ] .
π
1
cos x
0
Représentation graphique
La fonction cosinus est paire, on en déduit le
tracé sur [− π ;π ] , par symétrie par rapport à l’axe des
ordonnées.
De plus, elle est périodique de période 2π .
M.K.
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