La trigonométrie fonctions circulaires

Ch5_la trigonométrie
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STI D
1/4 7/1/2013
M.K.
La trigonométrie
fonctions circulaires
Activité : Usure d’un pneu radialement.
1- Cercle trigonométrique - caractéristiques
1-1 Définition : On appelle cercle trigonométrique C dans le plan muni du repère orthonormé ),;( jiO le cercle de centre
O et de rayon 1 (une unité) sur lequel on a distingué deux sens de parcours :
* Sens direct (sens positif) : le sens inverse des aiguilles d’une montre
* Sens indirect (sens négatif) : le sens des aiguilles d’une montre
2-2 Unités de mesure
Les deux principales unités de mesure sont :
• le degré (° : un angle plat a pour mesure 180 degrés noté 180°)
• le radian (rad, un arc de cercle de mesure un radian a la même longueur que le rayon du cercle).
Relation :
π
radian correspond à 180 degrés.
⇒
π
=180°
2- Angle orienté
2-1 Définition :
Tout point M du cercle trigonométrique C définit un
angle orienté noté ),( OMOA et un arc orienté AM.
α
×
=
RAM
2-2 Mesure d’un angle orienté
La mesure de d’un angle orienté est égale à la mesure de l’arc intercepté en respectant le sens :
- mesure positive dans le sens direct,
- mesure négative dans le sens indirect.
Remarque : Un angle orienté possède plusieurs mesures .
Exemples : l’angle orienté ),( OMOA mesure
4
π
rad (mesure principale),
4
7
π
− rad,
4
9
π
rad, …., π
π
k2
4
+
k est un entier relatif.
2-3 Mesure principale
Définition
La mesure principale d’un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant à l’intervalle
]
]
ππ ;−.
O
j
r
1
i
r
+
i
r
C
-
A
M
α
AM
: l’arc orienté
O
R

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2-4 Mesures principales remarquables
3- Cosinus et sinus d’un angle orienté
Activité : le cosinus et le sinus d’un angle sur Geogebra
3-1 Définitions :
Les coordonnées du point M dans le repère orthonormé ),;( jiO
sont par définition M(
x
cos
, xsin ). On définit ainsi les fonctions numériques :
- cosinus de
x
:
x
cos
est l’abscisse du point M.
- sinus de
x
: xsin est l’ordonnée du point M.
3-2 Propriétés
Pour tout
x
réel :
1cos1
≤
≤
−
x
1sin1
≤
≤
−
x
1)(sin)(cos
22
=+ xx
3-3 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
x
0°
0 rad
30° 45° 60° 90°
xsin
0
2
1
2
2
2
3
1
x
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
O I
J
−
−
−
−
−
−
π
−
O
i
r
j
r
x
M
cos x
sin x
1
-1
O I
J

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3-4 Cosinus et sinus d’angles associés
* les points M et N sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées :
=
−
)cos( x
π
-
x
cos
pour tout
x
réel
=
−
)sin( x
π
xsin
*
les points M et P sont symétriques par rapport à O :
=
+
)cos(
π
x-
x
cos
pour tout
x
réel
=
+
)sin(
π
x-
xsin
*
les points M et Q sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses :
=
−
)cos( x
x
cos
pour tout
x
réel
=
−
)sin( x-
xsin
=− )
2
cos( x
π
xsin
=− )
2
sin( x
π
x
cos
4 – Résolution d’équations
L’inconnue
x
est remplacée par l’inconnue
t
.
4-1 Résolution de l’équation
a
t
cos
cos
=
Théorème ;
L’équation
a
t
cos
cos
=
admet deux types de solutions :
*
π
kat 2
+
=
où k est un nombre relatif quelconque.
*
π
kat 2
+
−
=
4-2 Résolution de l’équation
at sinsin
=
Théorème ;
L’équation at sinsin
=
admet deux types de solutions :
*
π
kat 2
+
=
où k est un nombre relatif quelconque.
*
π
π
kat 2
+
−
=
5- Fonctions circulaires
On appel fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique comme la fonction sinus, la fonction
cosinus ou encore la fonction tangente.
Définition :
Les coordonnées du point M dans le repère orthonormé ),;( jiO sont par définition M(
x
cos
, xsin ). On définit
ainsi les fonctions numériques :
- cosinus de
x
:
[
]
→−→ xx
IR
cos
1;1
- sinus de
x
:
[
]
→−→ xx
IR
sin
1;1
,
O
x
M
1
-1
N
P Q
x
−
π
x
+
π

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5-1 Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période
π
2 . Elles sont très utilisées en physique sous la forme :
-
)sin(:
ϕ
ω
+
→
ttf ,
- )cos(:
ϕ
ω
+
→
ttf
où
ω
représente la pulsation et
ϕ
la phase. Ces deux fonctions ont pour période :
ω
π 2
=T
.
Définition :
Une fonction trigonométrique fdéfinie sur IR est dite T-périodique si, pour tout réel
x
, )()(
xfTxf
=
+
5-2 Parité
Pour tout
x
réel :
-
=
−
)cos( x
x
cos
, la fonction cosinus est paire. ( en général, on démontre que
)()( xfxf
=
−
),
-
=
−
)sin( x-
xsin , la fonction sinus est impaire, ( en général, on démontre que
)()( xfxf
−
=
−
),
6- Variation et représentations graphiques
6-1 la fonction sinus
Soit la fonction
xxf sin)(
=
.
Sens de variation : la fonction
xxf sin)(
=
est décroissante
sur
−− 2
;
π
π
, Croissante sur
−2
;
2
ππ
et elle est décroissante
sur π
π
;
2
.
Représentation graphique
La fonction sinus est impaire, on en déduit le
tracé sur
[
]
ππ ;−, par symétrie de centre O.
De plus, elle est périodique de période
π
2 .
6-2 la fonction cosinus
Soit la fonction
xxf cos)(
=
.
Sens de variation : la fonction
xxf cos)(
=
est
croissante sur
[
]
0; π − et elle est décroissante sur
[
]
π ;0 .
Représentation graphique
La fonction cosinus est paire, on en déduit le
tracé sur
[
]
ππ ;−, par symétrie par rapport à l’axe des
ordonnées.
De plus, elle est périodique de période
π
2 .
x
xsin
2
π
0
1
0
0
π
x
x
cos
0
1
0
π