Soient h ∈H et k ∈K et considérons z = h.k.(k.h)–1 = h.k.h–1.k–1

II Soient H et K deux sous-groupes distingués de G. Montrer que si HK = G et si H∩K = {e} alors ∀h ∈ H, ∀k ∈ K on a :
hk = kh et G est isomorphe à H×K. (considérer le morphisme de groupes ϕ de H×K dans G = HK qui à (h, k) associe hk).
En déduire que si G est un groupe fini, H et K deux sous-groupes distingués de G tels que |H|×|K| = |G| et si : H∩K = {e} ou
HK = G alors G est isomorphe à H×K.
Application : Montrer que (z/16z)* est isomorphe à z/2z×z/4z.
Soient h ∈ H et k ∈ K et considérons z = h.k.(k.h)–1 = h.k.h–1.k–1. On a z = (h.k.h–1).k–1 ∈ K, car h.k.h–1 appartient
à K, K étant distingué dans G, et d'autre part z = h.(k.h–1.k–1) ∈ H, puisque k.h–1.k–1 appartient à H, H étant
distingué dans G. Ainsi z appartient à H∩K, donc z = e et h.k = k.h.
Considérons l'application ϕ de H × K dans G = HK qui à (h, k) associe h.k. Comme h.k = k.h pour tout h et k de
H et K c'est clairement un morphisme de groupes et il est surjectif puisque HK= G. D'autre part on a
(h, k) ∈ Ker ϕ ssi h.k = e , i.e. h = k–1. Comme H∩K = {e} on a donc h = k–1 = e, soit h = k = e, d'où
Ker ϕ = {e}. L'application ϕ est donc un isomorphisme de groupes.
Si G est un groupe fini, et H et K deux sous-groupes distingués de G tels que |H|×|K| = |G| et considérons
l'application ϕ précédente. Comme |H|×|K| = |G| alors |H×K| = |G| et ϕ sera bijectif ssi il est injectif ou surjectif.
Si H∩K = {e} : alors ϕ est injectif. En effet on hk = h'k' avec h, h' dans H et k, k' dans K, on a h'–1h = k'k–1qui est
un élément de H∩K donc h'–1h = k'k–1=e, soit h = h' et k = k'. ϕ est donc injective, donc surjective et par
conséquent HK = G.
Si HK = G : alors ϕ est surjectif, donc injectif. Si x ∈ H∩K alors ϕ(x, e) = ϕ(e, x) = x donc (x, e) = (e, x) et x = e.
On a donc ∩K = {e}.
Dans les deux cas G est isomorphe à H × K d'après ce qui précède.
Application : G = (z/16z)* est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de z/16z (voir exercice 1 du
chapitre) et on a (z/16z)* = { 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15 }. Le sous-groupe H engendré par 3 est { 1, 3,11 }, et celui
engendré par 5 est K = { 1, 9,13 }. On a |H| × |K| = 9 = |G|, H∩K = { 1 } et H et K sont distingués dans G car G
est commutatif. L'application de H × K dans G qui à (h, k) associe h.k est donc un isomorphisme de groupes.