Devoir 3

MAT7600 Alg` ebre Automne 2013
Devoir 3
`a remettre le 9 d´ecembre 2013
Exercice 1. Soit nun entier positif.
a. Trouver la longueur d’une suite de composition du Z–module Z/nZ.
b. Caract´eriser les npour lesquels Z/nZadmet une suite de composition unique.
Exercice 2. Soient Mun R–module et f∈EndR(M).
a. Si Mest noeth´erien et si fest un ´epimorphisme, alors fest un automorphisme.
b. Si Mest artinien et si fest un monomorphisme, alors fest un automorphisme.
Exercice 3. Soient Mun R–module artinien et noeth´erien et f∈EndR(M). Trouver une
d´ecomposition de Men somme directe M=M0⊕M00 telle que la restriction de f`a M0soit
nilpotente et que la restriction de f`a M00 soit inversible.
Exercice 4. Soient Mun R–module ind´ecomposable tel que EndR(M) soit un anneau local
d’id´eal maximal I. Montrer que, pour tout module Net tous morphismes f:M→Net
g:N→M, on a g◦f∈Iou que Mest un facteur direct de N.
Exercice 5. L’objectif de cet exercice est de caract´eriser les modules de LiMatni(K), o`u
Kest un corps commutatif.
a. Montrer que si Vest un Matn(K)–module simple, alors Vest isomorphe `a Kn.
Indice. Soit eij la matrice carr´ee de taille ndont tous les coefficients sont nuls
sauf celui d’indice (i, j), qui vaut 1. Montrer que si v∈Vest non nul, alors
le sous-espace vectoriel S(v)engendr´e par les vecteurs e11v, e21v, . . . , en1vest un
sous-module de Visomorphe `a Kn.
b. Soit Mun Matn(K)–module de dimension finie. Montrer que M∼
=Kn⊕Kn⊕· · · ⊕Kn.
Indice. Montrer que M=e11 M⊕e22M⊕ · · · ⊕ ennM, et que ϕi:e11 M→eiiM
d´efini par ϕ(v) = ei1vest un isomorphisme pour tout i. Ensuite, montrer que
M∼
=S(v1)⊕S(v2)⊕ · · · ⊕ S(vk), o`u v1, v2, . . . , vkest une base de e11M.
c. Soit R=Lr
i=1 Matni(K). En d´eduire que :
(c1) Si Sest un R–module simple, alors il existe i∈ {1, . . . , r}tel que S∼
=Kni.
(c2) Si Mest un R–module de dimension fini, alors Mest semi-simple (c’est-`a-dire,
Mest isomorphe `a une somme directe finie de R–modules simples).
D´epartement de Math´ematiques, Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal Page 1 sur 1