examen - Département de Mathématiques

Faculté des Sciences de Luminy
Département de Mathématiques
Licence 3ème année, semestre 6
21 juin 2006
Epreuve d’Algèbre (3h)
Ni document, ni calculatrice
Question de cours
Développer la question suivante : “Anneaux principaux”, à l’aide d’un
plan, en citant explicitement les résultats qui vous semblent les plus intéressants : dé…nitions, propositions, théorèmes (sans démonstration) et en
empruntant des exemples aux di¤érents endroits où cette notion est revenue
dans l’ensemble du cours.
Développer ensuite, cette fois-ci avec des démonstrations aussi complètes
que possible, un point choisi dans le plan, de votre choix : théorème que vous
jugez important, exemple particulièrement illustratif.....
Exercice 1
Soit n un entier > 1:
a) Après avoir rappelé sa dé…nition, justi…er le fait que G = (Z=nZ) est
un groupe pour :
b) Donner un exemple pour lequel G est cyclique, en le justi…ant.
c) Donner un exemple pour lequel G n’est pas cyclique, en le justi…ant.
d) On note H l’ensemble des morphismes de (Z=nZ; +) dans lui-même.
Montrer que H est un groupe et qu’il est isomorphe à Z=nZ:
e) Montrer que le sous ensemble K = Aut(Z=nZ) de H formé des morphismes bijectifs de (Z=nZ; +) dans lui-même, est un groupe (pour quelle
loi ?) isomorphe à G:
f) Montrer que tout morphisme de Z=5Z dans Aut(Z=3Z) est trivial et
en déduire qu’un groupe d’ordre 15 est forcément cyclique.
Exercice 2
Soit p un nombre premier. On note
o
na
2 Q j b n’est pas divisible par p
Zp =
b
1
a) Montrer que Zp est un sous-anneau de Q.
b) Quels sont les inversibles de Zp ?
c) Pour tout x 2 Q; prouver que soit x soit x 1 appartient à Zp .
d) Montrer que les seuls sous-anneaux de Q contenant Zp sont Zp et
Q (suggestion : si un sous-anneau B contient strictement Zp ; montrer que
1
2 B):
p
e) Montrer que tout idéal I de Zp est engendré par pn pour un unique
entier n 0: Existe t-il des idéaux maximaux dans Zp ?
f) Pour tout x 2 Q non nul, prouver qu’il existe un unique n 2 Z tel que
x = pn u;
où u est un élément inversible de l’anneau Zp :
g) Pour tout x 2 Q non nul, on pose vp (x) = n; où n est l’entier de la
question précédente. On convient que vp (0) = +1 avec les règles usuelles.
Montrer que l’on a
vp (xy) = vp (x) + vp (y)
vp (x + y)
Min (vp (x); vp (y))
quels que soient x et y dans Q et que Zp est l’ensemble des x 2 Q tels que
vp (x) 0:
h) Montrer que l’intersection des sous-anneaux Zp de Q associés à tous
les nombres premiers p est l’anneau Z des entiers rationnels.
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