examen - Département de Mathématiques

Faculté des Sciences de Luminy 21 juin 2006
Département de Mathématiques
Licence 3ème année, semestre 6
Epreuve d’Algèbre (3h)
Ni document, ni calculatrice
Question de cours
Développer la question suivante : “Anneaux principaux”, à l’aide d’un
plan, en citant explicitement les résultats qui vous semblent les plus inté-
ressants : dé…nitions, propositions, théorèmes (sans démonstration) et en
empruntant des exemples aux di¤érents endroits où cette notion est revenue
dans l’ensemble du cours.
Développer ensuite, cette fois-ci avec des démonstrations aussi complètes
que possible, un point choisi dans le plan, de votre choix : théorème que vous
jugez important, exemple particulièrement illustratif.....
Exercice 1
Soit nun entier >1:
a) Après avoir rappelé sa dé…nition, justi…er le fait que G= (Z=nZ)est
un groupe pour :
b) Donner un exemple pour lequel Gest cyclique, en le justi…ant.
c) Donner un exemple pour lequel Gn’est pas cyclique, en le justi…ant.
d) On note Hl’ensemble des morphismes de (Z=nZ;+) dans lui-même.
Montrer que Hest un groupe et qu’il est isomorphe à Z=nZ:
e) Montrer que le sous ensemble K=Aut(Z=nZ)de Hformé des mor-
phismes bijectifs de (Z=nZ;+) dans lui-même, est un groupe (pour quelle
loi ?) isomorphe à G:
f) Montrer que tout morphisme de Z=5Zdans Aut(Z=3Z)est trivial et
en déduire qu’un groupe d’ordre 15 est forcément cyclique.
Exercice 2
Soit pun nombre premier. On note
Zp=na
b2Qjbn’est pas divisible par po
1

a) Montrer que Zpest un sous-anneau de Q.
b) Quels sont les inversibles de Zp?
c) Pour tout x2Q;prouver que soit xsoit x1appartient à Zp.
d) Montrer que les seuls sous-anneaux de Qcontenant Zpsont Zpet
Q(suggestion : si un sous-anneau Bcontient strictement Zp;montrer que
1
p2B):
e) Montrer que tout idéal Ide Zpest engendré par pnpour un unique
entier n0:Existe t-il des idéaux maximaux dans Zp?
f) Pour tout x2Qnon nul, prouver qu’il existe un unique n2Ztel que
x=pnu;
où uest un élément inversible de l’anneau Zp:
g) Pour tout x2Qnon nul, on pose vp(x) = n; où nest l’entier de la
question précédente. On convient que vp(0) = +1avec les règles usuelles.
Montrer que l’on a
vp(xy) = vp(x) + vp(y)
vp(x+y)Min (vp(x); vp(y))
quels que soient xet ydans Qet que Zpest l’ensemble des x2Qtels que
vp(x)0:
h) Montrer que l’intersection des sous-anneaux Zpde Qassociés à tous
les nombres premiers pest l’anneau Zdes entiers rationnels.
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