Chapitre 10 : Entiers naturels, ensembles finis, dénombrement

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N.Véron-LMB-dec 2013
Chapitre 10 : Entiers naturels, ensembles finis, dénombrement-résumé
1. Entiers naturels, un peu d’arithmétique
1.1 L’ensemble .
On considère l’ensemble des entiers naturels noté  = {0,1,2,...,n,n+1,...}, muni de l’addition, de la
multiplication et de la relation d’ordre usuel.
Si on admet les 3 propriétés suivantes comme des axiomes :
 Toute partie non vide de  admet un plus petit élément.
 Toute partie non vide de  et majorée admet un plus grand élément.
  n’est pas majoré.
On peut alors montrer que
  possède un plus petit élément qui est 0.
 Tout entier n a un successeur noté (n+1)
 Tout entier n, n ≥ 1 a un prédécesseur noté (n-1)
 Le principe de récurrence et ses variantes sont vraies
1.2 Multiples et diviseurs
Déf: Soient a et b deux entiers naturels.
 On dit que b divise a lorsqu’on peut écrire a = kb avec k.
Symboliquement b/a   k   tel que a = kb
 On dit que a est un multiple de b lorsque b divise a.
Remarque: L'égalité a = kb donne deux diviseurs de a: b et k.
Vocabulaire: Lorsque b/a, b est un diviseur de a et a est un multiple de b.
Proposition 10.1: Propriétés de la relation divise: a,b et c sont des entiers naturels
 a/a
 si b/a et a/b alors a = b
 si a/b et si b/c alors a/c
 si d/a et d/b alors (u,v)², d/(au + bv)
Remarque: La relation divise est une relation d'ordre sur .
Notations
 On note a l’ensemble des multiples de a dans .
na  k, n = ka
Les entiers naturels pairs sont les multiples de 2 soit 2.
 On notera D(a) l’ensemble des diviseurs de a dans 
D(a) contient toujours au moins 1 et a.
D(a) est une partie finie de  car majorée par a.
1.3 Nombres premiers
Déf: Un entier naturel p est premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs. En notant 
l’ensemble des nombres premiers, on a : p  D(p) = {1, p}
Conséquence :
 1 n'est pas premier
 2 est le seul premier pair
Propriété 10.2 : Tout entier n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier p avec p ≤
n
si n n’est pas
premier.

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Conséquence : Pour tester si un nombre est premier, il suffit de tester s’il est divisible par tous
les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.
Avec Python : Une fonction naïve à appliquer à n ≥ 3
def est_premier(n):
”””test de primalité de n”””
from math import sqrt
if n%2==0:
return False
for i in range (3,int(sqrt(n)+1),2)
if n%i==0:
return False
return True
Premiers=[2]+[i in range(3,101) if est_premier(i)==True]
print(Premiers) #Affiche la liste des premiers inférieurs à 100.
Proposition 10.3 : L'ensemble des nombres premiers  est infini
Démo (Euclide): Par l'absurde.
On suppose  = {p1,...pn}
On pose N = p1...pn + 1
N admet un diviseur premier p = pi avec 1in.
On a N - p1....pn = 1 or pi divise N et divise p1...pn donc pi divise 1 ce qui est absurde.
Théorème fondamental de l'arithmétique: Tout entier n2 s'écrit de manière unique à l'ordre
des facteurs près comme produits de nombres premiers
Algorithme de décomposition en nombres premiers : Soit n, n ≥ 2.
n admet un diviseur premier p1. On pose n = n1p1 on a n1.
 Si n1 = 1, on s’arrête et n est premier.
 Sinon n1 est supérieur à 2 donc il admet un diviseur premier p2, on pose n1 = p2n2.
On a 1  n2 < n1
 Si n2 = 1, on s’arrête et n = p1p2
 Sinon on réitère le processus tant que le quotient nk obtenu est différent de 1.
La suite des quotients est strictement décroissante dans [1,n] et donc il existe un entier p tel
que np = 1 et cet algorithme se termine principe de descente infinie.
Le regroupement des facteurs premier égaux donne alors : n = p1a1p2a2…pkak
1.4 Division euclidienne, congruences
Def: Pour couple (a,b) de x*, il existe un unique couple (q,r) de ², vérifiant
a = bq+r et 0 ≤ r < b.
On dit que q est le quotient et b le reste dans la division euclidienne de a par b.
 Attention: La condition 0 ≤ r < b est indispensable.
Le reste ne peut donc prendre que b valeurs dans [0, b-1]
Def : Soit a, a ≥ 2. On dit que n est congru à p modulo n et on note n  p [a] lorsque n et p ont
le même reste dans la division euclidienne par b.
Caractérisations : np[a]  (n-p) multiple de a  k, n = p + ka
Proposition 10.4 : Pour tout entier a ≥ 2, n  p [a] est une relation d’équivalence sur 
Dans la pratique: Pour démontrer une propriété portant sur n, on peut faire une disjonction
des cas en raisonnant modulo a.
1.5 PGCD et PPCM

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Def : Soit deux entiers a et b non nuls.
 Considérons l’ensemble des diviseurs commun à a et à b. C’est une partie non vide de  car elle
contient 1 et est majorée par a donc elle possède un plus grand élément appelé plus grand
commun diviseur de a et b et noté PGCD(a,b) ou ab.
 Considérons l’ensemble des multiples commun à a et à b. C’est une partie non vide de  car elle
contient ab donc elle possède un plus petit élément appelé plus petit commun multiple de a et b
et noté PPCM(a,b) ou ab.
Obtention du PGCD
 Algorithme d’Euclide : cf cours d’info
 Utilisation de la décomposition en produit de facteur premier : on fait le produit des facteurs
premiers communs aux deux décompositions, affectés du plus petit exposant rencontré.
Obtention du PPCM
 Utilisation de la décomposition en produit de facteur premier : on fait le produit des facteurs
premiers présents dans chacune des deux décompositions, affectés du plus grand exposant
rencontré.
 PPCM(a,b) = a.b/PGCD(a,b)
2. Ensembles finis :
Dans ce paragraphe E désigne un ensemble et n un entier naturel non nul.
2.1 Des définitions
Def : E est un ensemble fini lorsque E est vide ou lorsqu’il existe une bijection de E sur [1,n].
Conséquence : Cette bijection permet de numéroter les éléments de E et donc on peut écrire :
E = { x1, x2, ...,xn }.
Lemme 10.1 (admis) : Si il existe une bijection de [1,n] sur [1,p] alors n = p
Def : Soit E un ensemble fini, card(E) est l’entier défini par
 card(E) = 0 si E = 
 card(E) = n si il existe une bijection de E sur [1,n]
 Remarque : Si E n’est pas un ensemble fini, on dit qu’il est infini.
 Notation : card(E) = |E| = #E
2.2 Parties d’un ensemble fini
Lemme 10.2 (admis) : Toute partie P de [1,n] est finie et card(A) ≤ n
Proposition 10.5 : Soit E un ensemble fini et A une partie de E
 A est finie et card(A) ≤ card(E)
 card(A) = card(E)  A = E
2.3 Applications entre ensembles finis
Théorème 10.1 : Soit E et F deux ensembles finis
 Il existe une injection de E dans F  card(E) ≤ card(F)
 Il existe une surjection de E sur F  card(E) ≥ card(F)
 Il existe une bijection de E sur F  card(E) = card(F)

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Corollaire : Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal et f :E→F une application. f est
surjective  f est injective  f est bijective
 Dans la pratique : Si on f :E→F avec E et F finis et de même cardinal alors pour montrer que f
est bijective il suffit de montrer qu’elle est injective ou surjective.
3. Outils pour le dénombrement
Dans ce paragraphe E désigne un ensemble fini de cardinal n.
On va donner des résultats et des méthodes permettant de dénombrer c’est à dire de
déterminer le cardinal d’un ensemble fini
3.1 Opérations ensemblistes
Proposition 10.6 : Soit A et B deux parties de E.
Si A et B sont disjointes alors card(AB) = card(A) + card(B)
 Méthode: Pour démontrer que E est de cardinal n, on montre que E est en bijection avec 1,n.
Corollaire :
 Si (Ai)iI est une famille de parties disjointes de E alors
i i
i I
i I
card A card(A )
 Si A et B sont deux parties de E alors card(AB) = card(A) + card(B) – card(AB)
 Si A est une partie de E alors card(
A
) = n – card(A)
Def : On dit que la famille (Ai)iI est une partition de E lorsque
iI, Ai, (i,j)I², ijAiAj= et
i
i I
E A
Proposition 10.7: Si (Ai)iI est une famille partition de E alors card(E) =
i
i I
card(A )
 Méthode : Pour dénombrer un ensemble on peut trouver une famille partition dont les parties
sont plus simples à dénombrer.
Proposition 10.8: Soit E et F deux ensembles finis. Le produit cartésien EF est fini et
card(EF) = card(E).card(F)
 Remarque : On peut généraliser cette propriété à n ensembles finis E1, …, En.
On a E1  ….  E
n
est un ensemble fini et Card (E1  ….  E
n
) =
n
i
i 1
card(E )
.
 Méthode : Pour dénombrer un ensemble on peut représenter ses éléments dans une structure
de données (arbre, tableau...) qui permet de compter.
Corollaire : Soit E et F deux ensembles finis de cardinal respectifs p et n.
L’ensemble des applications de E dans F noté F(E,F) ou EF est fini et
card(FE) = (card(F))card(E) = np
Théorème 10.2 : Soit E un ensemble fini de cardinal n, l’ensemble P(E) des parties de E est fini
et card(P(E)) = 2n.
3.2 p-listes
Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1 et p 1;n. On appelle p-liste de E ou p-uplet
d’éléments de E, un élément ( x1,x2,...,xp ) de Ep

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 Remarque : Il s’agit d’une liste ordonnée de p éléments de E avec possibilité de répétitions.
Proposition 10.9 : Soit E un ensemble fini de cardinal n, le nombre de p-listes de E est
card(Ep) = np
3.3 p-arrangements, permutations
Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1 et p 1;n.
 On appelle p-arrangement ou arrangement de p éléments de E, une p-liste d’éléments distincts
de E.
 On appelle permutation de E un arrangement de n éléments de E.
 Remarque : Il s’agit d’une liste ordonnée de p, ou n, éléments de E sans possibilité de
répétitions.
Proposition 10.10 : Soit E un ensemble fini de cardinal n ≥ 1.
 Le nombre de p-arrangements de E est p
n
n!
A n(n 1).....(n p 1)
(n p)!
 Le nombre de permutations de E est n !
Corollaire : Soit E et f deux ensembles finis de cardinal p et n.
 Si p ≤ n, le nombre d’injections de E dans F est p
n
n!
A
(n p)!
 Si n = p, le nombre de bijections de E dans F est n !
3.4 p-combinaisons
Def : Soit E un ensemble fini de cardinal n et p0;n.
On appelle p-combinaison de E, une partie de E de cardinal p : { x1, 2, ...,xp }
 Remarque : Il s’agit d’une liste non ordonnée de p éléments de E, sans possibilité de
répétitions.
Proposition 10.11: Soit E un ensemble fini de cardinal n et p0;n.
Le nombre de p-combinaisons de E est n
n!
p!(n p)!
p
  .
 Remarque : Il est possible de redémontrer les propriétés des coefficients binomiaux avec des
méthodes de dénombrement pour tous entiers n et p tels que 0 ≤ p ≤ n
Rappels :
n n
1
0 n
    et n
n
1
n n
p n p
n n n 1
p p 1 p 1
pour 0 ≤ p < n
(a,b)², n*,
n n
n k n k n k k
k 0 k 0
n n
(a b) a b a b
k k
 Démonstrations combinatoires à savoir refaire