Partiel du Cours de logique

Partiel du Cours de logique
2,5 heures, 16 novembre 2010
Les documents ne sont pas autoris´es.
Exercice 1 (Analyse de Cantor-Bendixson)
Rappelons que si X⊆R, un r´eel rest un point d’accumulation de Xsi pour tout intervalle ouvert Iavec
r∈Ion a X∩I\ {r} 6=∅. On note A(X) l’ensemble des points d’accumulation de X, et on observe que X
est ferm´e ssi A(X)⊆X. Si A(X) = X, on dit que Xest parfait.
1. Soit X⊆Rferm´e. Par induction sur α, on d´efinit X(α)comme suit :
X(0) =X , X(β+1) =A(X(β)), X(δ)=Tβ<δ X(β)pour δlimite.
Montrer les propri´et´es suivantes :
(a) X(α)est ferm´e pour tout α, et α≤β⇒X(α)⊇X(β).
(b) Si X(α+1) =X(α), alors X(α)est parfait et X(α)=X(β)pour tout β≥α.
(c) Il existe un ordinal α < 2ℵ0+tel que X(α+1) =X(α).
2. Pour une partie ferm´ee X⊆R, on pose CB(X) := min{α < 2ℵ0+|X(α+1) =X(α)}, appel´e le rang
de Cantor-Bendixson de X.
(a) Soient βun cardinal et f:ω→βune fonction croissante au sens large et cofinale, et soient
Xn⊆In=1
22n+1 ,1 22ndes parties ferm´ees telles que CB(Xn) = f(n) et X(f(n))
n=∅. On pose
Y0= [−1,0] ∪[
n∈N
Xnet Y={0} ∪ [
n∈N
Xn.
Montrer que CB(Y0) = βsi βest limite, et CB(Y) = βet Y(β)=∅si βest successeur.
(b) En d´eduire que pour tout ordinal d´enombrable αil existe Xtel que CB(X) = α.
(c) Montrer que CB(X)<ℵ1. (Indication : On pourra utiliser que si Yest ferm´e et y∈Y\A(Y),
alors il existe un intervalle I= (q1, q2) avec q1, q2∈Qtel que I∩Y={y}.)
3. Dans cette derni`ere partie de l’exercice, on se propose de montrer que l’hypoth`ese du continu est vraie
pour les parties ferm´ees de R, c’est-`a-dire que card(X) = 2ℵ0pour tout ferm´e X⊆Rqui est non
d´enombrable.
(a) Soit X⊆Rparfait, x∈Xet a<x<b. Montrer qu’il existe I∈ {[a, b],(a, b],[a, b),(a, b)}tel
que I∩Xsoit parfait. En d´eduire que pour tout  > 0 il existe X0, X1⊆Xet des Ii= [ai, bi],
(i= 0,1), tels que I0∩I1=∅et tels que, pour i= 0,1, on ait
•bi−ai≤;
•Xi⊆Ii;
•Xiest parfait et non vide.
(b) Montrer que tout ensemble parfait et non vide est de cardinal 2ℵ0. (Indication : En utilisant le
r´esultat pr´ec´edent, on pourra construire une injection de {0,1}Ndans X.)
(c) Conclure.

Exercice 2
On consid`ere le langage L={0,+}et la L-structure Z=hZ; 0,+io`u 0 et + sont interpr´et´es de mani`ere
usuelle. On note T= Th(Z). Par ensemble “d´efinissable” on entend une partie de Zqui est d´efinissable par
une L-formule (sans param`etres).
1. (a) On observe que tout mod`ele de Test un groupe. Montrer qu’il existe un mod`ele de Tqui n’est
pas finiment engendr´e en tant que groupe.
(b) Montrer que tout mod`ele G=hG; 0,+ide Test un groupe ab´elien sans torsion1tel que G/nG
est cyclique d’ordre npour tout n > 1.
Pour la suite de l’exercice, on admet que la r´eciproque est vraie : tout groupe ab´elien sans torsion G
tel que G/nG est cyclique d’ordre npour tout n > 1 est mod`ele de T.
2. (a) Soit σ:Z→Zun automorphisme de L-structure, c’est-`a-dire une bijection Z→Ztelle que
σ(0) = 0 et pour tout x, y ∈Z,σ(x+y) = σ(x) + σ(y). Soit D⊂Zun ensemble d´efinissable.
Montrer que σ(D) = D.
(b) Donner un automorphisme diff´erent de l’identit´e de Z. En d´eduire que {1}n’est pas d´efinissable.
(c) Montrer que le groupe ab´elien Z×Qest un mod`ele de T. En d´eduire que {−1,1}n’est pas
d´efinissable dans Z. (On pourra consid´erer les automorphismes (a, b)7→ (a, b +a) et (a, b)7→
(a, b/2).)
3. (a) Soit aun ´el´ement d’un groupe ab´elien Aet n≥1 un entier. On dit que ndivise s’il existe b∈A
tel que nb =a.
Soit Xun ensemble de nombres premiers. Montrer qu’il existe un mod`ele de Tqui contient un
´el´ement atel que {ppremier |pdivise a}=X.
(b) En d´eduire qu’il existe 2ℵ0mod`eles d´enombrables de Tdeux-`a-deux non isomorphes.
Peut-on trouver (2ℵ0)+mod`eles d´enombrables de Tdeux-`a-deux non isomorphes ?
Exercice 3 (Extensions ´el´ementaires et ensembles d´efinissables)
Soit Mune L-structure. Pour une L-formule `a une variable libre ϕ(x) on note ϕ[M] l’ensemble d´efinissable
correspondant dans M, c’est-`a-dire ϕ[M] = {a∈M|M|=ϕ[a]}.
1. On suppose que ϕ[M] est fini. Montrer que ϕ[N] = ϕ[M] pour toute extension ´el´ementaire Nde M.
2. On suppose que ϕ[M] est infini. Montrer que pour tout cardinal λil existe une extension ´el´ementaire
Nde Mtelle que card(ϕ[N]) ≥λ.
3. Soit λ≥sup(card(M),card(L)) un cardinal. Montrer qu’il existe N<Mtelle que card(ϕ[N]) = λ
pour toute L-formule ϕ(x) avec ϕ[M] infini.
4. Soit (Mn)n∈Nune chaˆıne de L-structures, et soit M:= Sn∈NMnla r´eunion des Mn. Montrer que si
Mn4Mn+1 pour tout n, alors Mn4Mpour tout n.
5. Soit λ≥sup(card(M),card(L)) un cardinal. Montrer qu’il existe N<Mtelle que card(ϕ[N]) = λ
pour toute LN-formule ϕ(x) avec ϕ[N] infini. (Rappelons que LNest le langage obtenu en rajoutant `a
Ldes nouveaux symboles de constantes pour les ´el´ements de N.)
1Un ´el´ement ad’un groupe ab´elien Aest appel´e torsion s’il existe n∈N\ {0}tel que na = 0. On dit que Aest sans torsion
si 0 est son seul ´el´ement qui est torsion.