HLMA 502 Chapitres 4 et 5 : Espaces compacts, Espaces complets

Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitres 4 et 5 : Espaces compacts, Espaces complets
Exercices
Philippe Castillon (1)
Exercice 1. Soit E=C0([0,1],C) l’espace des fonctions continues sur [0,1] `a valeurs complexes, muni
de la norme de la convergence uniforme k.k∞: pour tout f∈E,kfk∞= sup{|f(x)| | x∈[0,1]}.
1. On consid`ere les fonctions fn,n∈N, d´efinies par fn(x) = e2inπx,x∈[0,1]. Calculer kfnk∞pour
tout n∈Net kfn−fpk∞pour tout n, p ∈N,n6=p.
2. La suite (fn)n∈Nadmet-elle une sous-suite convergente? La boule unit´e ferm´ee Bf(0,1) de Eest
ferm´ee et born´ee. Est-elle compacte?
Exercice 2. Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour A, B ∈ P(X) non vides, on d´efinit d(A, B) =
inf{d(x, y)|x∈A, y ∈B}.
1. Montrer que cette d´efinition ne donne pas une distance sur P(X)\{∅}, et ne vous laisser pas abuser
par la notation...
2. Si Aet Bsont compactes, montrer qu’il existe a∈Aet b∈Btels que d(A, B) = d(a, b).
3. Si (X, d) est l’espace Rnmuni de la distance euclidienne, montrer que ce qui pr´ec`ede est encore vrai
si Aest compact et Bferm´e.
4. Donner deux ferm´es A, B de R2tels que d(A, B) = 0 et d(x, y)>0 pour tout x∈Aet y∈B.
Exercice 3. S´eparation des compacts.
On va montrer que pour deux parties compactes disjointes Aet Bd’un espace topologique s´epar´e,
il existe deux ouverts disjoints Uet Vtels que A⊂Uet B⊂V. Cette propri´et´e ´etend aux parties
compactes la propri´et´e de s´eparation des points.
1. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces s´epar´es, A∈ P(X) une partie compacte et y∈Y. Pour
tout ouvert Wde X×Ytel que A× {y} ⊂ W, montrer qu’il existe des ouverts U∈ OXet V∈ OY
tels que A× {y} ⊂ U×V⊂W.
2. Soit (X, OX) un espace s´epar´e, A∈ P(X) une partie compacte et x6∈ A. Montrer qu’il existe deux
ouverts disjoints U, V de Xtels que A⊂Uet x∈V.
Indication : utiliser le fait que la diagonale ∆ = {(x, x)|x∈X}est ferm´ee dans X×X, cf.
exercice 9 du chapitre 2.
3. Soit (X, OX) un espace topologique s´epar´e, et A, B ∈ P(X) deux parties compactes et disjointes
de X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U, V de Xtels que A⊂Uet B⊂V.
1D´epartement de Math´ematiques, CC 051, Universit´e de Montpellier, Pl. Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
M`el : [email protected]
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Exercice 4. Soit (X, d) un espace m´etrique compact et soit f:X→Xcontinue telle que d(f(x), f(y)) <
d(x, y) pour x6=y.
1. On s’int´eresse d’abord aux points fixes de f.
(a) Montrer qu’il existe a∈Xtel que ∀x∈X d(x, f (x)) ≥d(a, f(a)).
(b) Montrer que aest l’unique point fixe de f.
2. Pour toute donn´ee initiale x0∈X, on consid`ere la suite r´ecurrente d´efinie par xn+1 =f(xn).
(a) Montrer que la suite r´eelle (un)n∈Nd´efinie par un=d(xn, a) est convergente.
(b) Soit (xϕ(n))n∈Nune suite extraite de (xn)n∈Nqui converge vers b. Que peut-on dire de la suite
(xϕ(n)+1)n∈N? Montrer que d(a, b) = d(a, f (b)).
(c) d´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (xn)n∈Nconverge vers a.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace m´etrique.
1. On consid`ere une suite (xn)n∈Nsur Xet, pour tout n∈N, on note An={xk|k≥n}. Montrer
que la suite (xn)n∈Nest de Cauchy si et seulement si lim
n→∞ diam(An) = 0.
2. On suppose que (X, d) est complet et on consid`ere une suite (Fn)n∈Nde parties ferm´ees de Xtelle
que
i. ∀n∈NFn6=∅
ii. ∀n∈NFn+1 ⊂Fn
iii. lim
n→∞ diam(Fn)=0
Montrer que \
n∈N
Fnest non vide. Montrer que ce r´esultat est faux si on ne suppose plus que la
suite des diam`etres tend vers 0.
3. R´eciproquement, on suppose que toute suite de ferm´es (Fn)n∈Nayant les propri´et´es i., ii. et iii.
ci-dessus est d’intersection non vide. Montrer alors que (X, d) est complet.
Pour s’entrainer
Exercice 6. Dans Rn, les parties compactes sont les parties ferm´ees et born´ees. Cette propri´et´e n’est
pas vraie dans tous les espaces m´etriques.
1. Soit (X, d) un espace m´etrique et A∈ P(X) une partie compacte. Montrer que Aest ferm´ee et
born´ee.
2. Soit A∈ P(Q) d´efinie par A={x∈Q|2< x2<3}. Montrer que Aest ferm´ee et born´ee dans Q.
Est-elle compacte ?
Exercice 7. Soit (X, OX) un espace topologique compact non vide et f:X→Xune application
continue. Montrer qu’il existe une partie compacte A∈ P(X) telle que f(A) = A.
Indication : on pourra consid´erer la suite de parties d´efinie par A0=Xet An+1 =f(A).
Exercice 8. Soit (X, d) un espace m´etrique et A∈ P(X). Le diam`etre de Aest d´efini par diam(A) =
sup{d(x, y)|x, y ∈A}.
Si Aest compacte, montrer que diam(A) est fini et qu’il existe a, b ∈Atels que diam(A) = d(a, b).
Exercice 9. On consid`ere R2muni de la norme k.k∞: pour tout (x, y)∈R2,k(x, y)k∞= max{|x|,|y|}.
Par ailleurs, on consid`ere f:R2→Rune application continue.
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1. Pour tout r > 0, on note Cr=R2\Bf(0, r). Montrer que Crest connexe par arc Que peut-on dire
de f(Cr) ?
2. Montrer que pour tout r > 0, il existe ar≤brtels que f(R2)=[ar, br]∪f(Cr).
3. On suppose de plus que fest surjective. Montrer que pour tout r > 0 on a f(Cr) = R. En d´eduire
que, pour tout c∈R, il existe une suite de points (xn)n∈Nde R2telle que lim
n→+∞kxnk∞= +∞et
f(xn) = cpour tout n.
Exercice 10. Distance de Hausdorff.
Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour toute partie A∈ P(X) et s > 0, on note Asle s-voisinage de A
d´efini par As={x∈X|d(x, A)< s}. On rappelle que l’application x7→ d(x, A) est continue sur X(cf.
exercice 6 du chapitre 2).
1. Si Aet Bsont compactes, montrer qu’il existe r > 0 tel que A⊂Bret B⊂Ar. En d´eduire que
δ(A, B) = inf{r > 0|A⊂Bret B⊂Ar}est bien d´efinie.
2. Soient A, B ∈ P(X) et s, t ∈R∗
+.
(a) Montrer que (As)t⊂As+t.
(b) Montrer que A⊂B⇒As⊂Bs.
(c) Montrer que δest une distance sur l’ensemble KXdes parties compactes de X.
3. Montrer que l’application diam`etre diam : KX→Rd´efinie `a l’exercice 7 est continue pour la
distance de Hausdorff δ.
Exercice 11. On consid`ere (X, d) un espace m´etrique. On dit qu’une application f:X→Xpr´eserve
la distance si ∀x, y ∈X d(f(x), f(y)) = d(x, y).
1. Montrer qu’une application fqui pr´eserve la distance est continue et injective. Donner un exemple
o`u fn’est pas inversible.
On suppose dans la suite que (X, d)est compact.
2. Supposons que fne soit pas surjective. Soit x0∈f(X)cet soit (xn)n∈Nla suite d´efinie par
∀n∈Nxn+1 =f(xn).
(a) Montrer qu’il existe α > 0 tel B(x0, α)⊂f(X)c.
(b) Montrer que pour tout n∈N∗on a d(x0, xn)≥αet en d´eduire que pour tout p, q ∈Navec
p6=qon a d(xp, xq)≥α.
3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que toute application fqui pr´eserve la distance est bijective.
4. On note Gl’ensemble des applications de Xdans Xqui pr´eservent la distance. Montrer que (G,◦)
est un groupe (o`u ◦d´esigne la composition des applications).
5. On note C(X) l’ensemble des applications continues de Xdans Xmuni de la distance δ, d´efinie par
δ(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) |x∈X}(on admet que δest bien une distance sur C(X)). Montrer
que Gest une partie ferm´ee de C(X).
Exercice 12. Soient (X, d) un espace m´etrique et (xn)n∈Nune suite de X.
1. Si (xn)n∈Nest de Cauchy, montrer que, pour tout p∈N, lim
n→∞ d(xn, xn+p) = 0. Montrer que la
r´eciproque est fausse (indication : chercher parmi les suites r´eelles qui tendent vers +∞).
2. Si la s´erie
∞
X
k=0
d(xk, xk+1) est convergente dans R, montrer que la suite (xn)n∈Nest de Cauchy.
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