Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitres 4 et 5 : Espaces compacts, Espaces complets
Exercices
Philippe Castillon (1)
Exercice 1. Soit E=C0([0,1],C) l’espace des fonctions continues sur [0,1] `a valeurs complexes, muni
de la norme de la convergence uniforme k.k: pour tout fE,kfk= sup{|f(x)| | x[0,1]}.
1. On consid`ere les fonctions fn,nN, d´efinies par fn(x) = e2inπx,x[0,1]. Calculer kfnkpour
tout nNet kfnfpkpour tout n, p N,n6=p.
2. La suite (fn)nNadmet-elle une sous-suite convergente? La boule unit´e ferm´ee Bf(0,1) de Eest
ferm´ee et born´ee. Est-elle compacte?
Exercice 2. Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour A, B ∈ P(X) non vides, on d´efinit d(A, B) =
inf{d(x, y)|xA, y B}.
1. Montrer que cette d´efinition ne donne pas une distance sur P(X)\{∅}, et ne vous laisser pas abuser
par la notation...
2. Si Aet Bsont compactes, montrer qu’il existe aAet bBtels que d(A, B) = d(a, b).
3. Si (X, d) est l’espace Rnmuni de la distance euclidienne, montrer que ce qui pr´ec`ede est encore vrai
si Aest compact et Bferm´e.
4. Donner deux ferm´es A, B de R2tels que d(A, B) = 0 et d(x, y)>0 pour tout xAet yB.
Exercice 3. S´eparation des compacts.
On va montrer que pour deux parties compactes disjointes Aet Bd’un espace topologique s´epar´e,
il existe deux ouverts disjoints Uet Vtels que AUet BV. Cette propri´et´e ´etend aux parties
compactes la propri´et´e de s´eparation des points.
1. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces s´epar´es, A∈ P(X) une partie compacte et yY. Pour
tout ouvert Wde X×Ytel que A× {y} ⊂ W, montrer qu’il existe des ouverts U∈ OXet V∈ OY
tels que A× {y} ⊂ U×VW.
2. Soit (X, OX) un espace s´epar´e, A∈ P(X) une partie compacte et x6∈ A. Montrer qu’il existe deux
ouverts disjoints U, V de Xtels que AUet xV.
Indication : utiliser le fait que la diagonale ∆ = {(x, x)|xX}est ferm´ee dans X×X, cf.
exercice 9 du chapitre 2.
3. Soit (X, OX) un espace topologique s´epar´e, et A, B ∈ P(X) deux parties compactes et disjointes
de X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U, V de Xtels que AUet BV.
1epartement de Math´ematiques, CC 051, Universit´e de Montpellier, Pl. Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
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Exercice 4. Soit (X, d) un espace m´etrique compact et soit f:XXcontinue telle que d(f(x), f(y)) <
d(x, y) pour x6=y.
1. On s’ineresse d’abord aux points fixes de f.
(a) Montrer qu’il existe aXtel que xX d(x, f (x)) d(a, f(a)).
(b) Montrer que aest l’unique point fixe de f.
2. Pour toute donn´ee initiale x0X, on consid`ere la suite r´ecurrente d´efinie par xn+1 =f(xn).
(a) Montrer que la suite r´eelle (un)nNd´efinie par un=d(xn, a) est convergente.
(b) Soit (xϕ(n))nNune suite extraite de (xn)nNqui converge vers b. Que peut-on dire de la suite
(xϕ(n)+1)nN? Montrer que d(a, b) = d(a, f (b)).
(c) d´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (xn)nNconverge vers a.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace m´etrique.
1. On consid`ere une suite (xn)nNsur Xet, pour tout nN, on note An={xk|kn}. Montrer
que la suite (xn)nNest de Cauchy si et seulement si lim
n→∞ diam(An) = 0.
2. On suppose que (X, d) est complet et on consid`ere une suite (Fn)nNde parties ferm´ees de Xtelle
que
i. nNFn6=
ii. nNFn+1 Fn
iii. lim
n→∞ diam(Fn)=0
Montrer que \
nN
Fnest non vide. Montrer que ce r´esultat est faux si on ne suppose plus que la
suite des diam`etres tend vers 0.
3. R´eciproquement, on suppose que toute suite de ferm´es (Fn)nNayant les propri´et´es i., ii. et iii.
ci-dessus est d’intersection non vide. Montrer alors que (X, d) est complet.
Pour s’entrainer
Exercice 6. Dans Rn, les parties compactes sont les parties ferm´ees et born´ees. Cette propri´et´e n’est
pas vraie dans tous les espaces m´etriques.
1. Soit (X, d) un espace m´etrique et A∈ P(X) une partie compacte. Montrer que Aest ferm´ee et
born´ee.
2. Soit A∈ P(Q) d´efinie par A={xQ|2< x2<3}. Montrer que Aest ferm´ee et born´ee dans Q.
Est-elle compacte ?
Exercice 7. Soit (X, OX) un espace topologique compact non vide et f:XXune application
continue. Montrer qu’il existe une partie compacte A∈ P(X) telle que f(A) = A.
Indication : on pourra consid´erer la suite de parties d´efinie par A0=Xet An+1 =f(A).
Exercice 8. Soit (X, d) un espace m´etrique et A∈ P(X). Le diam`etre de Aest d´efini par diam(A) =
sup{d(x, y)|x, y A}.
Si Aest compacte, montrer que diam(A) est fini et qu’il existe a, b Atels que diam(A) = d(a, b).
Exercice 9. On consid`ere R2muni de la norme k.k: pour tout (x, y)R2,k(x, y)k= max{|x|,|y|}.
Par ailleurs, on consid`ere f:R2Rune application continue.
2
1. Pour tout r > 0, on note Cr=R2\Bf(0, r). Montrer que Crest connexe par arc Que peut-on dire
de f(Cr) ?
2. Montrer que pour tout r > 0, il existe arbrtels que f(R2)=[ar, br]f(Cr).
3. On suppose de plus que fest surjective. Montrer que pour tout r > 0 on a f(Cr) = R. En d´eduire
que, pour tout cR, il existe une suite de points (xn)nNde R2telle que lim
n+kxnk= +et
f(xn) = cpour tout n.
Exercice 10. Distance de Hausdorff.
Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour toute partie A∈ P(X) et s > 0, on note Asle s-voisinage de A
d´efini par As={xX|d(x, A)< s}. On rappelle que l’application x7→ d(x, A) est continue sur X(cf.
exercice 6 du chapitre 2).
1. Si Aet Bsont compactes, montrer qu’il existe r > 0 tel que ABret BAr. En d´eduire que
δ(A, B) = inf{r > 0|ABret BAr}est bien d´efinie.
2. Soient A, B ∈ P(X) et s, t R
+.
(a) Montrer que (As)tAs+t.
(b) Montrer que ABAsBs.
(c) Montrer que δest une distance sur l’ensemble KXdes parties compactes de X.
3. Montrer que l’application diam`etre diam : KXRefinie `a l’exercice 7 est continue pour la
distance de Hausdorff δ.
Exercice 11. On consid`ere (X, d) un espace m´etrique. On dit qu’une application f:XXpr´eserve
la distance si x, y X d(f(x), f(y)) = d(x, y).
1. Montrer qu’une application fqui pr´eserve la distance est continue et injective. Donner un exemple
o`u fn’est pas inversible.
On suppose dans la suite que (X, d)est compact.
2. Supposons que fne soit pas surjective. Soit x0f(X)cet soit (xn)nNla suite d´efinie par
nNxn+1 =f(xn).
(a) Montrer qu’il existe α > 0 tel B(x0, α)f(X)c.
(b) Montrer que pour tout nNon a d(x0, xn)αet en d´eduire que pour tout p, q Navec
p6=qon a d(xp, xq)α.
3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que toute application fqui pr´eserve la distance est bijective.
4. On note Gl’ensemble des applications de Xdans Xqui pr´eservent la distance. Montrer que (G,)
est un groupe (o`u esigne la composition des applications).
5. On note C(X) l’ensemble des applications continues de Xdans Xmuni de la distance δ, d´efinie par
δ(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) |xX}(on admet que δest bien une distance sur C(X)). Montrer
que Gest une partie ferm´ee de C(X).
Exercice 12. Soient (X, d) un espace m´etrique et (xn)nNune suite de X.
1. Si (xn)nNest de Cauchy, montrer que, pour tout pN, lim
n→∞ d(xn, xn+p) = 0. Montrer que la
r´eciproque est fausse (indication : chercher parmi les suites r´eelles qui tendent vers +).
2. Si la s´erie
X
k=0
d(xk, xk+1) est convergente dans R, montrer que la suite (xn)nNest de Cauchy.
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