1. Pour tout r > 0, on note Cr=R2\Bf(0, r). Montrer que Crest connexe par arc Que peut-on dire
de f(Cr) ?
2. Montrer que pour tout r > 0, il existe ar≤brtels que f(R2)=[ar, br]∪f(Cr).
3. On suppose de plus que fest surjective. Montrer que pour tout r > 0 on a f(Cr) = R. En d´eduire
que, pour tout c∈R, il existe une suite de points (xn)n∈Nde R2telle que lim
n→+∞kxnk∞= +∞et
f(xn) = cpour tout n.
Exercice 10. Distance de Hausdorff.
Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour toute partie A∈ P(X) et s > 0, on note Asle s-voisinage de A
d´efini par As={x∈X|d(x, A)< s}. On rappelle que l’application x7→ d(x, A) est continue sur X(cf.
exercice 6 du chapitre 2).
1. Si Aet Bsont compactes, montrer qu’il existe r > 0 tel que A⊂Bret B⊂Ar. En d´eduire que
δ(A, B) = inf{r > 0|A⊂Bret B⊂Ar}est bien d´efinie.
2. Soient A, B ∈ P(X) et s, t ∈R∗
+.
(a) Montrer que (As)t⊂As+t.
(b) Montrer que A⊂B⇒As⊂Bs.
(c) Montrer que δest une distance sur l’ensemble KXdes parties compactes de X.
3. Montrer que l’application diam`etre diam : KX→Rd´efinie `a l’exercice 7 est continue pour la
distance de Hausdorff δ.
Exercice 11. On consid`ere (X, d) un espace m´etrique. On dit qu’une application f:X→Xpr´eserve
la distance si ∀x, y ∈X d(f(x), f(y)) = d(x, y).
1. Montrer qu’une application fqui pr´eserve la distance est continue et injective. Donner un exemple
o`u fn’est pas inversible.
On suppose dans la suite que (X, d)est compact.
2. Supposons que fne soit pas surjective. Soit x0∈f(X)cet soit (xn)n∈Nla suite d´efinie par
∀n∈Nxn+1 =f(xn).
(a) Montrer qu’il existe α > 0 tel B(x0, α)⊂f(X)c.
(b) Montrer que pour tout n∈N∗on a d(x0, xn)≥αet en d´eduire que pour tout p, q ∈Navec
p6=qon a d(xp, xq)≥α.
3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que toute application fqui pr´eserve la distance est bijective.
4. On note Gl’ensemble des applications de Xdans Xqui pr´eservent la distance. Montrer que (G,◦)
est un groupe (o`u ◦d´esigne la composition des applications).
5. On note C(X) l’ensemble des applications continues de Xdans Xmuni de la distance δ, d´efinie par
δ(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) |x∈X}(on admet que δest bien une distance sur C(X)). Montrer
que Gest une partie ferm´ee de C(X).
Exercice 12. Soient (X, d) un espace m´etrique et (xn)n∈Nune suite de X.
1. Si (xn)n∈Nest de Cauchy, montrer que, pour tout p∈N, lim
n→∞ d(xn, xn+p) = 0. Montrer que la
r´eciproque est fausse (indication : chercher parmi les suites r´eelles qui tendent vers +∞).
2. Si la s´erie
∞
X
k=0
d(xk, xk+1) est convergente dans R, montrer que la suite (xn)n∈Nest de Cauchy.
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