Fonctions de deux variables

ECE2 Lyc´ee Clemenceau - Reims
Fonctions de deux variables
Colle 18
Exercice 1
Soit fla fonction d´efinie pour tout couple (x, y) de R2par:
f(x, y)=2x2+ 2y2+ 2xy −x−y.
1. (a) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f.
(b) En d´eduire que le seul point critique de fest A= (1
6,1 6).
2. (a) Calculer les d´eriv´ees partielles secondes de f.
(b) Montrer que fpr´esente un minimum local en Aet donner la valeur mde ce minimum.
3. (a) D´evelopper 2(x+y
2−1 4)2+3 2(y−1 6)2.
(b) En d´eduire que mest le minimum global de fsur R2.
4. On consid`ere la fonction gd´efinie pour tout couple (x, y) de R2par:
g(x, y)=2e2x+ 2e2y+ 2ex+y−ex−ey.
(a) Utiliser la question 3. pour ´etablir que: ∀(x, y)∈R2,g(x, y)≥ −1
6.
(b) En d´eduire que gposs`ede un minimum global sur R2et pr´eciser en quel point ce minimum
est atteint.
Exercice 2
1. On consid`ere la fonction gd´efinie pour tout x∈R∗
+par : g(x) = ln(x)+2x+ 1.
(a) ´ Etudier les variations de get donner les limites de gen 0+et en +∞.
(b) En d´eduire qu’il existe un unique r´eel α, dans ]0,1/e[, tel que g(α) = 0.
2. On consid`ere la fonction de deux variables r´eelles fd´efinie par :
∀(x, y)∈R∗
+×R, f(x, y) = x(ln(x) + x+y2).
(a) D´eterminer le seul point critique de f, c’est-`a-dire le seul couple de R∗
+×Ren lequel fest
susceptible de pr´esenter un extremum local.
(b) V´erifier que fpr´esente un extremum local men ce point.
(c) Montrer que m=−α(α+ 1).
1

ECE2 Lyc´ee Clemenceau - Reims
Fonctions de deux variables
Colle 18
Exercice 3
Soit fla fonction d´efinie sur U= (R∗)2par f(x, y)=4xy +1
x+1 y.
1. ´ Etudier la fonction gd´efinie sur R∗par g(x) = f(x, 1).
2. (a) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordres 1 et 2 de fsur U.
(b) La fonction fadmet-elle des extrema locaux sur U? Si oui, en quels points?
(c) Montrer que fn’a pas d’extremum global sur U.
Exercice 4
On consid`ere l’application ϕd´efinie sur R∗
+par ϕ(x) = 1−x2ln(x), ainsi que la fonction fdes variables
xet yd´efinie par:
∀(x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, f(x, y) = xy + ln(x) ln(y).
1. Montrer l’existence d’un unique r´eel αstrictement positif tel que ϕ(α) = 0, puis justifier que:
√2< α < 2.
2. Extrema de fsur ]0,+∞[×]0,+∞[.
(a) Justifier que fest de classe C2sur ]0,+∞[×]0,+∞[.
(b) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 de fet prouver que le point de coordonn´ees
(1/α, 1/α) est l’unique point critique de fsur ]0,+∞[×]0,+∞[.
(c) La fonction fpr´esente-t-elle un extremum local sur ]0,+∞[×]0,+∞[? Si oui, en donner sa
nature (maximum ou minimum).
2

ECE2 Lyc´ee Clemenceau - Reims
Fonctions de deux variables
Colle 18
Exercice 5
Soit fla fonction d´efinie sur R2par:
f(x, y)=9x2+ 8xy + 3y2+x−2y.
1. Montrer que fadmet un seul extremum local sur R2. Quel est sa nature?
2. (a) Calculer f(−1/2,1) et retrouver le r´esultat de la question pr´ec´edente en d´eveloppant:
3y+4
3x−1 32
+11
3x+1 22
.
(b) Quelle information suppl´ementaire cela nous apporte-t-il?
Exercice 6
Soit fla fonction d´efinie sur R2par : ∀(x, y)∈R2, f(x, y) = xex(y2+1).
1. Justifier que fest de classe C2sur R2.
2. (a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f.
(b) En d´eduire que le seul point en lequel fest susceptible de pr´esenter un extremum local est
A= (−1,0).
3. (a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes de f.
(b) Montrer qu’effectivement, fpr´esente un extremum local en A. En pr´eciser la nature et la
valeur.
4. (a) Montrer que : ∀(x, y)∈R2, f(x, y)≥xex.
(b) En ´etudiant la fonction gd´efinie sur R, par g(x) = xex, conclure que l’extremum trouv´e `a
la question 2.(b) est un extremum global de fsur R2.
3