Fonctions de deux variables

Lycée Clemenceau - Reims
ECE2
Colle 18
Fonctions de deux variables
Exercice 1
Soit f la fonction définie pour tout couple (x, y) de R2 par:
f (x, y) = 2x2 + 2y 2 + 2xy − x − y.
1. (a) Calculer les dérivées partielles premières de f .
1 1
(b) En déduire que le seul point critique de f est A = ( , ).
6 6
2. (a) Calculer les dérivées partielles secondes de f .
(b) Montrer que f présente un minimum local en A et donner la valeur m de ce minimum.
y 1 2 3
1
− ) + (y − )2 .
2 4
2
6
(b) En déduire que m est le minimum global de f sur R2 .
3. (a) Développer 2(x +
4. On considère la fonction g définie pour tout couple (x, y) de R2 par:
g(x, y) = 2e2x + 2e2y + 2ex+y − ex − ey .
1
(a) Utiliser la question 3. pour établir que: ∀(x, y) ∈ R2 , g(x, y) ≥ − .
6
2
(b) En déduire que g possède un minimum global sur R et préciser en quel point ce minimum
est atteint.
Exercice 2
1. On considère la fonction g définie pour tout x ∈ R∗+ par : g(x) = ln(x) + 2x + 1.
(a) Étudier les variations de g et donner les limites de g en 0+ et en +∞.
(b) En déduire qu’il existe un unique réel α, dans ]0, 1/e[, tel que g(α) = 0.
2. On considère la fonction de deux variables réelles f définie par :
∀ (x, y) ∈ R∗+ × R, f (x, y) = x(ln(x) + x + y 2 ).
(a) Déterminer le seul point critique de f , c’est-à-dire le seul couple de R∗+ × R en lequel f est
susceptible de présenter un extremum local.
(b) Vérifier que f présente un extremum local m en ce point.
(c) Montrer que m = −α(α + 1).
1
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Fonctions de deux variables
Exercice 3
1 1
Soit f la fonction définie sur U = (R∗ )2 par f (x, y) = 4xy + + .
x y
1. Étudier la fonction g définie sur R∗ par g(x) = f (x, 1).
2. (a) Calculer les dérivées partielles d’ordres 1 et 2 de f sur U .
(b) La fonction f admet-elle des extrema locaux sur U ? Si oui, en quels points?
(c) Montrer que f n’a pas d’extremum global sur U .
Exercice 4
On considère l’application ϕ définie sur R∗+ par ϕ(x) = 1−x2 ln(x), ainsi que la fonction f des variables
x et y définie par:
∀(x, y) ∈]0, +∞[×]0, +∞[, f (x, y) = xy + ln(x) ln(y).
1. Montrer
l’existence d’un unique réel α strictement positif tel que ϕ(α) = 0, puis justifier que:
√
2 < α < 2.
2. Extrema de f sur ]0, +∞[×]0, +∞[.
(a) Justifier que f est de classe C 2 sur ]0, +∞[×]0, +∞[.
(b) Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de f et prouver que le point de coordonnées
(1/α, 1/α) est l’unique point critique de f sur ]0, +∞[×]0, +∞[.
(c) La fonction f présente-t-elle un extremum local sur ]0, +∞[×]0, +∞[? Si oui, en donner sa
nature (maximum ou minimum).
2
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Fonctions de deux variables
Exercice 5
Soit f la fonction définie sur R2 par:
f (x, y) = 9x2 + 8xy + 3y 2 + x − 2y.
1. Montrer que f admet un seul extremum local sur R2 . Quel est sa nature?
2. (a) Calculer f (−1/2, 1) et retrouver le résultat de la question précédente en développant:
4
1
3 y+ x−
3
3
2
11
+
3
1
x+
2
2
.
(b) Quelle information supplémentaire cela nous apporte-t-il?
Exercice 6
2
Soit f la fonction définie sur R2 par : ∀ (x, y) ∈ R2 , f (x, y) = xex(y +1) .
1. Justifier que f est de classe C 2 sur R2 .
2. (a) Déterminer les dérivées partielles premières de f .
(b) En déduire que le seul point en lequel f est susceptible de présenter un extremum local est
A = (−1, 0).
3. (a) Déterminer les dérivées partielles secondes de f .
(b) Montrer qu’effectivement, f présente un extremum local en A. En préciser la nature et la
valeur.
4. (a) Montrer que : ∀ (x, y) ∈ R2 , f (x, y) ≥ xex .
(b) En étudiant la fonction g définie sur R, par g(x) = xex , conclure que l’extremum trouvé à
la question 2.(b) est un extremum global de f sur R2 .
3