Equations de droites QCM p.182 I. Equations de droites 1) Propriété Définition L’ensemble des points M(x ; y) vérifiant y = ax +b ou x = c est une droite. Cette équation est l’équation réduite d’une droite. a est le coefficient directeur de la droite. Dem : Soit A (xA ; yA) et B( xB ; yB) deux points distincts d’une droite D, et M (x ; y ) un point libre de D. Alors les vecteurs Ä;AB et Ä;AM sont colinéaires. C'est-à-dire que : (xB – xA)(y – yA) = (yB – yA) (x – xA) si xB xA, cette équation se réduit à : y = Error!(x – xA) + yA, de la forme y = mx + p m = Error! est le coefficient directeur de la droite (AB). si xB= xA = c , alors xB – xA = 0, et l’équation se réduit à x = xA, de la forme x = c Exemple : Déterminer l’équation réduite de la droite D, passant par A( -3 ; -1 ) et B( 2 ; 5). ( y = Error!x – Error! ) Ex 3-4-12-13-14-16 p.200 2) Coefficient directeur Soit A (xA ; yA) et B( xB ; yB) deux points distincts tels que xB xA. Le coefficient directeur m de la droite (AB) est m = Error!. Ex 4-5 p 200 3) Propriétés Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx +p, où m et p sont deux nombres réels. Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = k. Ex 1-15 p.200 4) Déterminer une équation de droite Méthode coefficient directeur, puis ordonnée à l’origine A( 1 ; 3) et B( 7 ; 6) Méthode système de deux équations à deux inconnues A( -2 ; 2 ) et B ( 4 ; -2 ) Ex 18 p.201 1 http://playmaths.free.fr 5) Représentation graphique Ordonnée à l’origine Coefficient directeur Ex 6-7-8-9-10-11 p200 II. Droites parallèles et sécantes 1) Droites parallèles Dans un repère, deux droites d et d’ d’équations y= mx+p et y= m’x+p’ sont parallèles si et seulement si elles ont le meme coefficient directeur. ( c’est à dire m = m’ ) Exemples : 2) Droites sécantes Dans un repère, deux droites d et d’ d’équations y= mx+p et y= m’x+p’ sont sécantes si et seulement si m ≠ m’ ) Exemple : Ex 26-27-28-29-30 p.202 3) Points alignés Propriété : Soient A, B et C trois points distincts. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur. III. Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues 1) Système linéaire Définition : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y est un système de la forme : ax by c (S) , où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des réels a'x b' y c' Résoudre le système (S) consiste à trouver tous les couples de réels (x ; y) vérifiant simultanément les deux équations formant le système (S). Exemple : 5x 4 y 7 Soit le système (S) . Le couple ( 3 ;2 ) est solution de la première équation. Il 7 x y 23 est aussi solution de la seconde équation. Donc ( 3 ; 2) est une solution du système ( S). Nous ne savons pas pour l’instant si cette solution est unique ou non. 2 http://playmaths.free.fr 2) Résolution d’un système à deux inconnues Dans le cas où b 0, l’équation ax + by = c est celle d’une droite D d’équation réduite y = - Error!x + Error! et de coefficient directeur m = - Error!. Ainsi, résoudre le système (s) revient à chercher les points communs à D et D’. Trois cas seulement peuvent se présenter : 1. D et D’ sont sécantes. Les coefficients directeurs des deux droites ne sont pas égaux : a b’ a’ b. ( a b’ - a’ b 0 ) Le système a une seule solution. 2. D et D’ sont strictement parallèles. Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux : ab’ = a’ b. ( a b’ - a’ b = 0 ) Le système n’a aucune solution. 3. D et D’ sont confondues. Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux : ab’=a’b. Le système a une infinité de solutions : tous les couples coordonnées des points des droites D ou D’. Dans le cas ou b = 0, il est aisé de savoir si les droites D et D’ sont sécantes, strictement parallèles ou confondues. Fiche : différentes méthodes pour résoudre un système Exemples : 4x 3y 6 (1) x 5y 13 4 x 6 y 5 (2) 6x 9 y 7 a b’ - a’ b = 23 0. Le système a une seule solution. S = {(3 ;2)} a b’ - a’ b = 0. Le système n’a pas de solution ou a une infinité de solutions. S =. 4 x 6 y 2 (3) a b’ - a’ b = 0. Le système n’a pas de solution ou a une infinité de 6x 9 y 3 solutions. S ={(x ; -Error!x +Error!) ; x Ë}. Ex 31-32 à 41 p.203 Ex 43-44-45 p.202 3 http://playmaths.free.fr