équation de droites - Le Web Pedagogique

Niveau : Seconde
Equations de droites / résumé
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
ED2 : Interpréter graphiquement le coefficient directeur
Soit une droite d d’équation réduite : y = mx + p
ÉQUATION DE DROITES
ED1 : Savoir que toute droite a une équation de la forme y=mx+p ou x=c
Définition - Propriété : Toute droite D du plan peut être définie comme
l’ensemble des M(x ; y) telle que ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément
nuls (on note (a,b)  (0,0))
L’équation ax + by + c = 0 est appelée équation cartésienne de la droite D.
1er cas : b  0 : Alors ax + by + c = 0  by = -ax - c
𝑎
𝑐
𝑏
𝑏
ax + by + c = 0  y = - x 𝑎
𝑐
𝑏
𝑏
En posant m = - et p = -
Coefficient directeur
m = Error!
Ordonnée à l’origine
p se lit à l’intersection
de la droite et de l’axe des y
Représentation graphique de f : x  f(x) = 2x – 3
(on peut diviser par b car on a supposé b différent de 0)
on a alors y = mx + p : équation réduite de la droite
m : coefficient directeur de la droite et p : ordonnée à l’origine de la droite
ED3 : Tracer une droite dans un plan repéré
Deux cas possibles :
1) La droite n’a pas d’équation réduite et a donc une équation de la forme x = c et
on trace alors la droite verticale d’équation x = c.
Les 3 cas où une droite admet une équation réduite : y = mx + p
2) La droite a une équation réduite de la forme y = mx + p. On montre alors que
cette droite représente la fonction affine f tel que f(x) = mx + p et on trace la
représentation de cette fonction affine (objectif FA2)
2ème cas : Si b = 0 : Alors ax + by + c = 0  ax + c = 0
ax + by + c = 0  ax = -c
𝑐
ax + by + c = 0  x = - (a est different de 0 car a et b ne peuvent pas être tous deux nuls)
𝑎
Et donc on obtient une équation du type : x = constante
Cas1
Cas2
ED4 : Déterminer si 2 droites sont parallèles ou sécantes.
Deux droites d’équations respectives y = ax + b et y’ = a’x +b’ :
Soit deux droites donnés par leurs équations réduites respectives :
d : y = 2x – 3 et d’ : y = -3x + 8
Méthode 1 (méthode algébrique) : On remarque tout d’abord que d et d’ sont sécantes car
elles n’ont pas le même coefficient directeur : 2  -3. Elle admettent donc un unique point
d’intersection I(x ; y) dont les coordonnées vérifient à la fois l’équation de d et celle de d’.
1
1
2
2
Exemple 1 : Les droites d : y = x + 3 et d’ : y = x – 2 sont parallèles car elles ont le même
coefficient directeur égal à
1
On va donc résoudre le système de 2 équations suivant :
𝑦 = 2𝑥 − 3
{
𝑦 = −3𝑥 + 8
2
Exemple 2 : Les droites d : y = 2x - 1 et d’ : y = 3x – 2 sont sécantes car elles n’ont pas le
même coefficient directeur égal : 2  3.
On a alors 2x – 3 = -3x + 8
Soit 2x + 3x = 8 + 3
5x = 11
ED5 : Déterminer si 3 points sont alignés ou non
Et alors x =
Propriété : Soit A, B et C trois points du plan. A, B et C sont alignés si et
seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur.
11
5
= 2,2
En remplaçant x par
11
5
dans la 1ère équation on obtient y = 2 ×
11
5
–3=
22
5
-
15
5
soit y =
7
5
Démonstration : les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur si et seulement
si elles sont parallèles. Or elles ont le point A en commun. (AB) et (AC) sont alors
confondues si elles ont le même coefficient directeur et donc les points A, B et C sont
alignés.
On aurait très bien pu remplacer x par
Exemples : A(-2 ; -3), B(3 ; 6), C(6 ; 11) et D(-3 ; -4)
Méthode 2 (utilisation de la calculatrice) : Dans le menu GRAPH de la casio, on entre les
deux équations de droites puis on trace les deux droites (F6 : draw). Enfin on tape sur F5 :
G-solv et encore F5 : ISCT.
On veut étudier l’alignement des points A, B et C puis des points B, C et D.
Alignement de A, B et C ? Coefficient directeur de (AB) :
Coefficient directeur de (AC) :
Comme
9
5
𝑦𝐶−𝑦𝐴
𝑥𝐶−𝑥𝐴
=
11−(−3)
6−(−2)
=
14
8
=
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
=
6−(−3)
3−(−2)
=
11
5
dans la 2ème équation et trouver le même résultat !
11
Conclusion : Le point d’intersection de d et d’ est donc : I(
5
7
; )
5
9
5
7
4
7
 les points A, B et C ne sont pas alignés.
4
Alignement de B, C et D ? Coefficient directeur de (BC) :
Coefficient directeur de (BD) :
𝑦𝐷−𝑦𝐵
𝑥𝐷−𝑥𝐵
=
−4−6
−3−3
=
−10
−6
=
𝑦𝐶−𝑦𝐵
𝑥𝐶−𝑥𝐵
=
11−6
6−3
=
5
3
5
3
5
On trouve le même coefficient directeur et les points B, C et D sont alignés.
3
ED6 : Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites.
On trouve bien I(2,2 ; 1,4)