Droites et systèmes - Les mathématiques en direct

C. Jourdain
Chap. 1 – Mathématiques 1ère STG
1
Droites et systèmes
I – Droites du plan
► Toute droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées), a une équation de la forme : x = constante
► Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = a x + b.
► Parmi elles, celles qui passent par l’origine ont une équation de la forme : y = a x
► Parmi elles, celles qui sont horizontales ont une équation de la forme : y = b
► Une droite se construit à l’aide de deux points de cordonnées (x, y),
où l’abscisse x doit être choisie de façon judicieuse et l’ordonnée y
calculée à l’aide de l’équation de la droite.
On dit que « les coordonnées de ces points vérifient l’équation de la
droite » : lorsque l’on remplace dans l’équation x par xA et y par yA,
l’équation est « vraie ».
► b est appelé ordonnée à l’origine : (0, b) est le point d’intersection
de la droite avec l’axe des ordonnées.
Exercice : Tracer la droite d’équation : y = 1 – 2x
II – Coefficient directeur
Activité : Calcul de rapports
d et d’ sont des droites du plan rapporté à un repère.
1) a. Lire les coordonnées des points A, B et C de d,
d’abscisses respectives – 4, – 3 et – 1.
b. Calculer
Error!
,
Error!
et
Error!
. Que constate-t-on ?
2) a. Lire les coordonnées des points A’, B’ et C’ de d’,
d’abscisses respectives – 3, – 1 et 0.
b. Calculer
Error!
,
Error!
et
Error!
. Que constate-t-on ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
1) Coefficient directeur d’une droite

C. Jourdain
Chap. 1 – Mathématiques 1ère STG
2
On considère une droite d, non parallèle à l’axe des ordonnées.
► Quels que soient les points M et N de d, le nombre
Error!
est constant.
Réfléchissons ensemble :
Si d a une équation de la forme : y = a x + b, alors yM – yN = ……………………………………………………………………..
Donc
Error!
= ……………………. .
► a =
Error!
est appelé coefficient directeur de la droite.
Son signe permet de déterminer la « direction » de la droite.
Réfléchissons ensemble :
Si xM – xN = 1, alors yM – yN = ………………………………donc yM = ……………………………………..
Signe de a
a > 0
a < 0
a = 0
Evolution graphique
la droite « monte »
la droite « descend »
la droite est « horizontale »
Allure de la droite
Exemples :
y = x + 2
y = – x + 2
y = 2
2) Coefficients directeurs et droites parallèles
► Deux droites parallèles on même coefficient directeur.
Réciproquement, deux droites ayant le même coefficient directeur sont parallèles.
Applications :
1] Déterminer les coefficients directeurs des droites d, d’ et d".
2] Dans le plan rapporté à un repère , tracer les droites d, d’ et d" passant par A(2 ; 1) et
de coefficients directeurs respectifs – 1 , 1 et 0.
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
Exercice :

Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006
3
1) Repasser chaque droite d’une couleur différente et
lui donner un nom (de D1 à D8)
2) Quels sont les noms des droites qui ont un coefficient
directeur strictement positif ?
____________________ nul ?_____________
Strictement négatif ? _____________________
3) Toutes ces droites sont-elles de la forme y = a x + b ?
_____________________________________
Inscrire les équations des 8 droites sur le dessin par
simple lecture graphique.
Exercice : Déterminer par le calcul l’équation de la droite D1.
…………………………………………………………….
…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
…………………………………………………………….…………
III – Systèmes d’équations linéaires
Activité : On brade !
Dans une braderie, sont vendus au même prix, tous les CD d’une part, tous les DVD d’autre part.
Alain achète 15 CD et 5 DVD pour 45 €. Pour la même somme, Bernard obtient 9 CD et 9 DVD.
On veut déterminer le prix d’un CD et le prix d’un DVD.
1) On note x le prix d’un CD et y le prix d’un DVD. Montrer que { 15 x + 5 y = 45 ;9 x + 9 y = 45 puis que :
{ y = – 3 x + 9;y = – x + 5
2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, tracer les droites d et d’ d’équations respectives y = – 3 x + 9 et y = – x + 5.
3) Lire sur le graphique les coordonnées du point d’intersection des droites d et d’ pour en déduire les prix cherchés.
Vérifier ensuite par le calcul.

Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006
4
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
1) Système de deux équations linéaires à deux inconnues
{ 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1est un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y
Le couple ( 3 ;4) est solution de ce système car 2(3) + 4 = 2 et 5(3) + 4(4) = 1.
2) Graphique et système de deux équations linéaires à deux inconnues
► Chaque ligne du système peut être interprétée comme l’équation d’une droite.
► Résoudre le système revient alors à déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.
Représentation
graphique
de la
situation
Coefficients
directeurs a et a’
Différents
Egaux
Egaux
Types de
solutions
Une solution unique :
le point M0
Aucune solution
Infinité de solutions

Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006
5
Applications : Déterminer les solutions éventuelles des systèmes suivants :
{ 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6, { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18 et { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………