C. Jourdain Chap. 1 – Mathématiques 1ère STG Droites et systèmes I – Droites du plan ► Toute droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées), a une équation de la forme : x = constante ► Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = a x + b. ► Parmi elles, celles qui passent par l’origine ont une équation de la forme : y = a x ► Parmi elles, celles qui sont horizontales ont une équation de la forme : y = b ► Une droite se construit à l’aide de deux points de cordonnées (x, y), où l’abscisse x doit être choisie de façon judicieuse et l’ordonnée y calculée à l’aide de l’équation de la droite. On dit que « les coordonnées de ces points vérifient l’équation de la droite » : lorsque l’on remplace dans l’équation x par xA et y par yA, l’équation est « vraie ». ► b est appelé ordonnée à l’origine : (0, b) est le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Exercice : Tracer la droite d’équation : y = 1 – 2x II – Coefficient directeur Activité : Calcul de rapports d et d’ sont des droites du plan rapporté à un repère. 1) a. Lire les coordonnées des points A, B et C de d, d’abscisses respectives – 4, – 3 et – 1. b. Calculer Error!, Error! et Error!. Que constate-t-on ? 2) a. Lire les coordonnées des points A’, B’ et C’ de d’, d’abscisses respectives – 3, – 1 et 0. b. Calculer Error!, Error! et Error!. Que constate-t-on ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 1) Coefficient directeur d’une droite 1 C. Jourdain Chap. 1 – Mathématiques 1ère STG On considère une droite d, non parallèle à l’axe des ordonnées. ► Quels que soient les points M et N de d, le nombre Error! est constant. Réfléchissons ensemble : Si d a une équation de la forme : y = a x + b, alors yM – yN = …………………………………………………………………….. Donc Error! = ……………………. . ► a = Error! est appelé coefficient directeur de la droite. Son signe permet de déterminer la « direction » de la droite. Réfléchissons ensemble : Si xM – xN = 1, alors yM – yN = ………………………………donc yM = …………………………………….. Signe de a a>0 a<0 a=0 Evolution graphique la droite « monte » la droite « descend » la droite est « horizontale » y=x +2 y=–x+2 y=2 Allure de la droite Exemples : 2) Coefficients directeurs et droites parallèles ► Deux droites parallèles on même coefficient directeur. Réciproquement, deux droites ayant le même coefficient directeur sont parallèles. Applications : 1] Déterminer les coefficients directeurs des droites d, d’ et d". 2] Dans le plan rapporté à un repère , tracer les droites d, d’ et d" passant par A(2 ; 1) et de coefficients directeurs respectifs – 1 , 1 et 0. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. Exercice : 2 Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006 1) Repasser chaque droite d’une couleur différente et lui donner un nom (de D1 à D8) 2) Quels sont les noms des droites qui ont un coefficient directeur strictement positif ? ____________________ nul ?_____________ Strictement négatif ? _____________________ 3) Toutes ces droites sont-elles de la forme y = a x + b ? _____________________________________ Inscrire les équations des 8 droites sur le dessin par simple lecture graphique. Exercice : Déterminer par le calcul l’équation de la droite D1. …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… …………………………………………………………….………… ……………………………………………………………. ………… III – Systèmes d’équations linéaires Activité : On brade ! Dans une braderie, sont vendus au même prix, tous les CD d’une part, tous les DVD d’autre part. Alain achète 15 CD et 5 DVD pour 45 €. Pour la même somme, Bernard obtient 9 CD et 9 DVD. On veut déterminer le prix d’un CD et le prix d’un DVD. 1) On note x le prix d’un CD et y le prix d’un DVD. Montrer que { 15 x + 5 y = 45 ;9 x + 9 y = 45 puis que : { y = – 3 x + 9;y = – x + 5 2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, tracer les droites d et d’ d’équations respectives y = – 3 x + 9 et y = – x + 5. 3) Lire sur le graphique les coordonnées du point d’intersection des droites d et d’ pour en déduire les prix cherchés. Vérifier ensuite par le calcul. 3 Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 1) Système de deux équations linéaires à deux inconnues { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1est un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y Le couple ( 3 ;4) est solution de ce système car 2(3) + 4 = 2 et 5(3) + 4(4) = 1. 2) Graphique et système de deux équations linéaires à deux inconnues ► Chaque ligne du système peut être interprétée comme l’équation d’une droite. ► Résoudre le système revient alors à déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites. Représentation graphique de la situation Coefficients Différents Egaux Egaux Types de Une solution unique : Aucune solution Infinité de solutions solutions le point M0 directeurs a et a’ 4 Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006 Applications : Déterminer les solutions éventuelles des systèmes suivants : { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6, { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18 et { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5 Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Mes exemples : ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 Chap. 4 – Mathématiques 2nd – 2005/2006 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7