Nom-Prénom - Lycée Henri BECQUEREL

S1
Devoir surveillé n°5 de mathématiques
02/05/11
Nom :
Exercice 1 (3 points)
Soit a et b deux nombres réels. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse.
Si elle est vraie, justifier à l’aide d’une propriété du cours, ou, si elle fausse, à l’aide d’un contre-exemple.
a) Si a  b alors a2  b2 ;
b) Si a ≤ 2 alors a2 ≤ 4 ;
c) Si a  b  0 alors a2  b2
d) Si a < 0 < b alors Error! > Error!
Exercice 2 ( 2 points)
Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ] –  ; 0[.
Exercice 3 (5 points)
1)
2)
3)
4)
5)
Représenter dans le repère précédent la courbe représentative de la fonction carré f : x Error! x2.
Dresser le tableau de variations de la fonction carré.
Représenter dans le repère précédent la droite représentative de la fonction affine g : x Error! 2x + 3.
Déterminer graphiquement les valeurs de x telles que f (x) < g (x).
a/ Vérifier que pour tout réel x, on a : f (x) – g (x) = (x – 3)(x + 1).
b/ Dresser le tableau de signe de l’expression : (x – 3)(x + 1).
c/ En déduire les solutions de l’inéquation f (x) < g (x).
Exercice 4 (2 points)
On cherche à déterminer l'ensemble des réels x pour lesquels 0 < Error!  3.
(a) Résoudre l'inéquation Error! > 0.
(b) Résoudre l'inéquation Error!  3.
(c) Conclure.
Exercice 5 : ( 4 points )
1.
Déterminer graphiquement (on ne demande pas de justification) les équations réduites des droites D1,
D2, D3, D4, D5, D6 représentées dans le repère orthonormé ci-dessous.
2.
La droite D7 passe par les points A (1 ; – 6) et B (6 ; – 7).
(a)
Déterminer par calcul (en rappelant la formule utilisée) le coefficient directeur de D7.
(b)
Calculer l’ordonnée à l’origine de D7 et en déduire l’équation réduite de D7.
Exercice 6 : ( 4 points )
1) On considère la droite d de coefficient directeur  1 passant par le point A(2 ; 4).
2
a- Tracer la droite d.
b- Déterminer par le calcul une équation de la droite d.
c- La droite (CD) où C(2 ; - 2) et D(- 8 ; 2) est-elle parallèle à la droite d ?
Justifier.
2) a- La droite d coupe l’axe des ordonnées au point S.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point S.
b- La droite d coupe l’axe des abscisses au point T.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point T.
3) y =
5
x + 12 est une équation de la droite  .
3
Le point B(8 ; - 1,5) appartient-il à la droite  ? Justifier.
Correction du DS
Ex.2 : a) La fonction affine f est strictement croissante sur IR, car son
2
coefficient directeur
est positif.
3
2
2
3
b) f(x) = 0 
x–2=0 
x = 2  x = 2
 x=3
3
3
2
2) b) Soit d la droite de coefficient directeur 
1
. Son équation est donc du
2
1
x + b.
2
Le point A (2 ; 4) appartient à la droite d, donc ses coordonnées vérifient l’équation :
1
1
4 =   2 + b  4 = -1 + b  4 + 1 = b  b = 5. Conclusion : d : y =  x + 5.
2
2
2 - (- 2)
4

 - 0,4 . Et - 0,4  0,5.
c) Calculons le coefficient directeur de la droite (CD) : a =
- 8 - 2 - 10
Les droites (CD) et d n’ont pas le même coefficient directeur. Elles ne sont donc pas parallèles.
type y = 
1
x + 5 donc son ordonnée à l’origine est 5. Ainsi, Le point S a pour coordonnées (0 ; 5).
2
b) L’antécédent de 0 par f est 3 d’après la question 1b). Ainsi, le point T a pour coordonnées (3 ; 0).
3) a) d : y = 
4) a) Les points S et T n’ont pas la même abscisse, donc la droite (ST) possède un coefficient directeur :
y  yS 0  5 - 5


a= T
La droite  étant parallèle à (ST), elle a donc le même coefficient
x T  xS 3  0 3
-5
directeur. Donc y =
x + b.
Or, le point I(6 ; 2) appartient à la droite  :
3
-5
-5
2=
× 6 + b  2  10 = b  b = 12.
Ainsi,  : y =
x + 12.
3
3
 40 36  4
-5


b)
×8 + 12 =
 - 1,3.
3
3
3
3
Le point B(8 ; - 1,5) n’appartient donc pas à la droite 