Géométrie élémentaire

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Introduction

Table des matières
1 Espaces vectoriels 3
2 Espaces anes 7
3 Géométrie plane 13
4 Géométrie spatiale 20
Bibliographie 22

Chapitre 1
Espaces vectoriels
1.1 Dénitions
Dénition. E
+:E×E→E
·:×E→E
 ∀−→ u,−→ v,−→ w∈E3,−→
u+−→ v+−→ w=−→ u+−→ v+−→ w
 ∃−→ 0∈E,∀−→ u∈E,−→ 0+−→ u=−→ u 
 ∀−→ u∈E,∃−→ v∈E,−→ u+−→ v=−→ 0 
 ∀−→ u,−→ v∈E2,−→
u+−→ v=−→ v+−→ u
 ∀−→ u∈E, 1 ·−→ u=−→ u
 ∀λ,−→ u,−→ v∈×E2,λ·−→
u+−→ v=λ·−→ u+λ·−→ v
 ∀λ,µ,−→ u∈2×E,(λ+µ)·−→
u=λ·−→ u+µ·−→ u
 ∀λ,µ,−→ u∈2×E,λ·µ·−→
u=(λµ)·−→ u
2
3 n×m
       0([0; 1],)
Corollaire. λ−→ u=−→ 0    λ=0 −→ u=−→ 0
E
+
·          
Dénition.  (−→ ui)∈Ek   
     −→ ui     k
i=1λi−→
ui λ∈k
          −→ ui   〈−→ ui〉k
i=1
   〈−→ ui〉k
i=1=E
   k
i=1λi−→
ui=−→ 0 λ=−→ 0

éorème . L G
  E      E L   L∪G
Proposition.     E        dim(E)
 n    n       
(
1
0
0
0
0
,
0
1
0
0
0
, . . . ,
0
0
0
0
1
)
Corollaire.
E n n
 (−→ ui)i∈{1,...,n} E    
(λi)∈n−→
n
i=1
λi−→ ui.
1.2 Produit scalaire
n
Dénition.     n
    〈−→ u,−→ v〉=n
i=1uivi
−→
u
=〈−→
u,−→ u〉
    −→ u −→ v   −→ u,−→ v=0
    −→ u   
−→
u
=1
Proposition.   −→ u,−→ v,−→ w∈E3 λ∈     
−→
u,−→ v=−→
v,−→ u
λ−→ u+−→ v,−→ w=λ−→
u,−→ w+−→
v,−→ w
−→ u=0=⇒−→
u,−→ u>0 
λ−→
u
=|λ| ·  −→
u
−→
u
=0⇐⇒ −→
u=0
−→
u+−→ v
≤ −→
u
+ −→
v
éorème
. (−→ u,−→ v)∈E2
〈−→
u,−→ v〉≤ −→ u·−→ v
     −→ u −→ v 
n
éorème     .  −→
u,−→ v=
−→
u
· −→
v
·cos −→
u,−→ v