Encadrés: Chapitre 13 Distances - CES Saint

Encadrés: Chapitre 13
Distances
Cylindre:
S = 2πRh
V = πR²h
Cône:
S = πRg
V = (1/3).πR²h
La distance d’un point à un plan est la distance de ce point
à sa projection orthogonale sur ce plan
La distance d’un point à un plan est la plus petite
des distances de ce point aux points du plan
La distance de deux plans parallèles est la distance
des points de l’un des plans à l’autre
Sphère:
S = 4πR²
V = (4/3). πR³
L’ensemble des points situés à une distance R d’un point O est la
sphère de centre O et de rayon R
Le plan tangent à une sphère en un de ces points est
le plan perpendiculaire en ce point au rayon qui comprend
ce point
Toute droite contenue dans un plan tangent à une sphère et
comprenant son point de contact est tangente à cette sphère
Le lieu géométrique des points équidistants de deux
droites sécantes est la réunion des plans
perpendiculaires au plan déterminé par ces droites et
contenant les bissectrices des angles qu’elles
déterminent
Chapitre 14: Produit scalaire
B
A’
O
B’
A
Dans l’espace métrique,
Le produit scalaire des vecteurs OA et OB est le
produit scalaire des vecteurs OA et OB considérés
comme des vecteurs d’un plan comprenant les
point O, A et B
Deux vecteurs sont orthogonaux
ssi
le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul
Le carré scalaire d’un
vecteur est le produit de
ce vecteur par lui même
La norme d’un vecteur est
la racine carrée de son carré
scalaire
Le produit scalaire est commutatif
Le produit scalaire jouit de l’associativité mixte
Le produit scalaire distribue l’addition des vecteurs
Deux droites sont orthogonales
ssi
un vecteur de l’une
est orthogonal
à un vecteur de l’autre
Une droite est perpendiculaire à un plan
ssi
un vecteur directeur de la droite
est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires du plan
Deux plans sont perpendiculaires
ssi
un vecteur non nul de l’un
est orthogonal
à un vecteur non nul de l’autre
Un angle droit se projette orthogonalement sur un angle droit
ssi
un des côtés de l’angle que l’on projette est parallèle
au plan de projection et
l’autre côté n’est pas perpendiculaire à ce plan
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de
deux vecteurs est la somme des produits des
coordonnées de même nom de ces deux vecteurs
Dans un repère orthonormé, la norme d’un
vecteur est la racine carrée de la somme
des carrés de ses coordonnées
Chapitre 15: Angles
Deux droites gauches déterminent les angles formés par deux
droites sécantes qui leur sont parallèles
L’angle d’une droite et d’un plan est l’angle aigu déterminé
par cette droite et sa projection orthogonale sur ce plan
Le lieu géométrique des points équidistants de deux plans sécants
est la réunion des plans bissecteurs des dièdres déterminés
par ces deux plans
Les angles déterminés par deux plans sécants sont
les angles des dièdres déterminés par ces plans
Chapitre 16:
Quelques transformations de l’Espace
Une isométrie de l’espace est une transformation bijective de
l’espace qui conserve les distances
Toute symétrie orthogonale par rapport à un plan
est une isométrie
Toute composée de symétries orthogonales par rapport à un plan
est une isométrie
Une dilatation de rapport r (r = 0) est une transformation
bijective telle que
• si A et B désignent deux points quelconques et
• si A’ et B’ désignent leurs images respectives,
on a :
A’B’ = r.AB
Une dilatation est
• Une translation si son rapport est 1
• Une homothétie si son rapport est différent de 1
L’ensemble des dilatations est un groupe pour la composition
La composée de deux homothéties dont les rapports ne sont
pas inverse est une homothétie
• dont le rapport est le produit des deux homothéties
composantes
• dont le centre appartient à la droite comprenant les centres
des homothéties composantes
Chapitre 17: Espaces vectoriels
Un espace vectoriel réel est un ensemble structuré
par une addition et par une multiplication scalaire
assujetties aux règles de calcul encadrées
Une partie non vide V’ d’un espace vectoriel V est un espace vectoriel
si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
1: La somme de deux vecteurs quelconques de V’ est un vecteur de V’
2: Le produit d’un vecteur quelconque de V’ par un nombre réel
quelconque est un vecteur de V’
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est une partie
de cet espace vectoriel qui est elle-même un espace vectoriel
L’ensemble des combinaisons linéaires de
vecteurs d’un espace vectoriel est un sous espace
vectoriel