1 v 7.2 Le mouvement 1 Le mouvement Nous avons besoin de a) un observateur b) l'objet (point matériel, quark, projectile, voiture, planète, galaxie) c) des instruments calibrés par des unités de mesure d'espace et temps ex.: un mètre et une horloge d) un protocole de mesure 2 Le Mouvement Rectiligne .1 0 X0 = 2,14 cm X1 = 16,24 cm Passage à t0 = 35,25 s X Passage à t1 = 38,35 s Δt = 38,35 - 35,25 = 3,10 s ΔX= 16,24 - 2.14 = 14,10 cm Vitesse: v = 14,10/3,10 = 4,54 cm/s 3 Les unités Système International (SI): m, kg, s Autre possibilité cm, g, s (cgs) (... mais encore: inch, pound, s,...) (mks) 1 kg: masse du cylindre en Pt du Bureau des Poids et Mesures de Sèvres 1 s : 9 192 631 770 la période de la radiation d'une transition du Cs133 1 m : distance parcourue dans vide par la lumière en 1/299792458 s (ancienne définition: 1 650 763,73 la longueur d'onde de la radiation d'une transition du krypton 86) Q.: comment on avait défini ces grandeurs à l'époque de Napoléon ? 4 Ordre de Mesure des distances O(1 m): mesure de la longueur par un mètre rigide gradué O(1 µm): réticule dans un microscope O(1 nm): méthodes de physique atomique (Scanning Tunneling Microscope) O(1 fm): physique nucléaire (expérience de Rutherford) O(< 1 fm): physique des particules (idem, à haute énergie) O(1 km): photo aérienne, trigonométrie, temps de propagation d'une onde e.m. (radar,...) Etoiles proches: parallaxe Etoiles éloignées: Luminosité apparente = L étoile / r2 Galaxies: idem, Luminosité des galaxies 5 Hubble Deep Field 6 Mesure du temps ... nécessite un système en mouvement: - mouvement des astres - sablier - bougies étalonnées - systèmes oscillants pendules ressorts lame de quartz dans un circuit oscillant oscillations dans une horloge atomique 7 Quelle est la précision de la mesure ? Erreurs systématiques: associées à la précision de l'appareillage Mesure d'une longueur: x1 = 16,24 cm erreur de calibration de la réglette ± 0,02 cm erreur de lecture par l'observateur ± 0,02 cm Résultat: x1 = 16,24 ± 0,04 cm Temps, par 10 chronométreurs: 38,35 38,33 38,34 38,34 38,35 ... 38.35 s Moyenne = 38.35 s é.q.m. = 0.02 s erreur sur moyenne = 0.02 10 Erreur statistique ± 0,01 ! 8 Mouvement rectiligne .2 Le long de la trajectoire rectiligne, on effectue quelques mesure de vitesse... v (entre t1 et t2) ≡ v1 v (entre t2 et t3) ≡ v2 v (entre t3 et t4) ≡ v3 etc... si v1 = v2 = v3 = ... la vitesse est constante: le mouvement est rectiligne et uniforme. Attention: les {vi } sont des valeurs moyennes sur un intervalle de temps fini => pour plus de précision il faut introduire la vitesse instantanée v(t1) = limite pour Δt → 0 de Δx/Δ t au temps t ~ t1 x(t 2 ) # x(t1 ) dx lim $ (t1 ) $ x˙ (t1 ) t 2 "t 1 t 2 # t1 dt [v] = [longueur]/[temps] unités : cm/s ! 9 Vitesse instantanée parcours x km 100 v>0 v=0 v<0 50 x2 x1 parcours d'une voiture sur une autoroute rectiligne 0 t1 t2 1 2 temps heures t La vitesse instantanée est la pente de la courbe x(t) x(t 2 ) # x(t1 ) dx lim $ (t1 ) $ x˙ (t1 ) t 2 "t 1 t 2 # t1 dt 10 Vitesse instantanée et accélération parcours x km v>0 100 v=0 v<0 50 1 vitesse km/h 2 temps heures décélération 100 accélération 50 0 1 2 temps heures 11 Accélération L'accélération (instantanée) a(t) est la pente de la courbe v(t) v(t) km/h 100 50 0 1 t1 t2 2 • •• v(t 2 ) # v(t1 ) dv a(t1 ) = lim $ (t1 ) $ v(t1 ) $ x(t1 ) t 2 "t 1 t 2 # t1 dt temps t heures [a] = [l]/[t2] unités : cm s-2 12 cte: constante Si a = 0, alors Quelques formules (voir plus loin) v = cte, et x(t) = x(0) + v t Si a = cte, alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + 1 a t2 2 y Exemple: chute verticale d'un corps depuis une hauteur y = h h avec g = 9.81 m s-2 v(t) = v(0) - g t y(t) = h + v(0)t - 1 g t2 0 2 13 Mouvement en 2D y t5 t1 t2 position au temps t donnée par le couple de fonctions: t4 t3 t0 x = x(t) y = y(t) r x vitesse au temps t donnée par:! # x(t)& ! r (t) " % ( " r(t) $ y(t)' vx(t) = dx/dt vy (t) = dy/dt ! dr v(t) " v(t) = (t) = r˙ (t) dt 14 Exemple Projectile lancé d'une tour, vitesse // au sol: vx(0) = V. On néglige l'effet de l'air => V=cte. y vx(t) = V V vy(t) = - g t g 0 x mouvement horizontal uniforme mvt vertical soumis à la pesanteur x=0+Vt y = h - g t2 / 2 Forme de la trajectoire: t = x/V y = h - g x2 / (2V2) on décompose le mouvement: une composante // à x et une // à y 15 Exemple .2 Distance maximale pour un projectile y v Θ 0 ? x 16 Equations du mouvement On veut savoir quelle est la position et vitesse d'un objet à un certain moment, à partir des caractéristiques de son mouvement Dès définitions de vitesse et accélération: x(t 2 ) # x(t1 ) dx v(t1 ) = lim $ (t1 ) $ x˙ (t1 ) t 2 "t 1 t 2 # t1 dt ! ! • •• v(t 2 ) # v(t1 ) dv a(t1 ) = lim $ (t1 ) $ v(t1 ) $ x(t1 ) t 2 "t 1 t 2 # t1 dt si a = constante alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2 / 2 17 Eq.s mouvement .2 * Calcul de la vitesse au temps t, a= cte: t v(t) = v(0) + t " adt = v(0) + a " dt = v(0) + a(t # 0) = v(0) + at 0 0 avec v(0) la vitesse initiale. ! * La position au temps t1: t1 x(t1 ) = x(0) + " v(t)dt = x(0) + " (v(0) + at)dt = 0 t1 t1 0 t1 1 2 = x(0) + " v(0)dt + " at dt = x(0) + v(0)t1 + at1 2 0 0 18 Eq.s mouvement avant Newton v 0 τ 2τ 0 aτ a(2τ) vmoyenne x aτ/2 0 a3τ/2 τ (aτ/2)= =aτ2/2 3τ t a(3τ) a5τ/2 x(τ)+ a3τ2/2 = a4τ2/2=a(2τ)2/2 v(t1 ) + v(t 2 ) v moyenne (t1,t 2 ) = 2 x(t 2 ) " x(t1 ) + v moyenne (t1,t 2 ) # (t 2 $ t1 ) a(3τ)2/2 1 2 at 2 19 ! Annexe: les VECTEURS 20 Scalaires et vecteurs Une grandeur physique qui s’exprime par un nombre réel est dite scalaire (de « scala » = échelle). C’est le cas de la température. P. ex.: on attribue à chaque point de la salle de cours un nombre qui représente la température: T(x,y,z). Si l’on a besoin d’exprimer aussi une « direction » et pas seulement une intensité, alors on se sert de vecteurs. P. ex.: dans une rivière on doit indiquer la vitesse des molécules d’eau, au temps t: Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t) sont les trois composantes du vecteur vitesse V, au temps t, dans un point (x,y,z) de la rivière. 21 Les vecteurs y (l'axe z sort du dessin) ry ^ r = x rx + y^ ry + ^z rz #rx & # r1 & ! % ( % ( r " r " %ry ( " %r2 ( % ( % ( $ rz ' $r3 ' ! flèche "gras" r ^y rx x^ (norme de r) ≡ | r | = x rx2 + ry2 + rz2 longueur ^ indique un vecteur de norme = 1 22 Les vecteurs, notations (3D) gras #rx & # r1 & ! % ( % ( r " r " %ry ( " %r2 ( % ( % ( $ rz ' $r3 ' ! ! 2 2 2 r " r " r = rx + ry + rz " )r 2 i i=1,3 un vecteur unitaire qui sert à indiquer la direction: 1! vˆ = ! v v 23 Les vecteurs, opérations OPERATIONS ADDITION MULTIPLICATION PAR SCALAIRE PRODUIT SCALAIRE PRODUIT VECTORIEL v= a+b v= s a s= a.b v= a×b ≡ a ∧ b Scalaire : grandeur définie par un seul nombre Ex: multiplication du vecteur (2,3,-1) par le scalaire 0.5 $2' $ 1 ' & ) & ) 0.5 " & 3 ) = & 1.5 ) & ) & ) %#1( % #0.5( 24 Les vecteurs, addition Addition de vecteurs y OQ = a + b OQ - b = a by P Q b a O bx x exemple en 2D " ax % "bx % " ax + bx % OQ = $ ' + $ ' = $ ' # ay & #by & # ay + by & 25 Les vecteurs, produit scalaire Produit scalaire: a b = |a| |b| cos(φ) = a' |b| = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a φ : angle entre a et b • φ a' a le produit est > 0 b le produit est = 0 si φ est droit ! le produit est < 0 b a' Exemples: * calcul d'un angle: cos(φ) = a b / |a| |b| => φ = arccos( a b / |a| |b| ) * norme (longueur) d'un vecteur: |a| = a a • • • 26 Les vecteurs, produit vectoriel Produit vectoriel v = a × b est un vecteur orthogonal à a et à b de norme : |v| = |a| |b| sin(φ) v v1 = a2b3 - a3b2 v2 = a3b1 - a1b3 v3 = a1b2 - a2b1 φ : angle entre a et b |v| est égale à l'aire du parallélogramme de côtés a et b b a φ Q1: Signification du produit mixte: (a × b) c ? Q2: Montrer que a × b = - b × a • 27