Le mouvement - Laboratoire de Physique des Hautes Energies

1
v 7.2
Le mouvement 1
Le mouvement
Nous avons besoin de
a) un observateur
b) l'objet (point matériel, quark, projectile, voiture, planète, galaxie)
c) des instruments calibrés par des unités de mesure d'espace et temps
ex.: un mètre et une horloge
d) un protocole de mesure
2
Le Mouvement Rectiligne .1
0
X0 = 2,14 cm
X1 = 16,24 cm
Passage à
t0 = 35,25 s
X
Passage à
t1 = 38,35 s
Δt = 38,35 - 35,25 = 3,10 s
ΔX= 16,24 - 2.14 = 14,10 cm
Vitesse: v = 14,10/3,10 = 4,54 cm/s
3
Les unités
Système International (SI): m, kg, s
Autre possibilité cm, g, s (cgs)
(... mais encore: inch, pound, s,...)
(mks)
1 kg: masse du cylindre en Pt du Bureau des Poids et Mesures de Sèvres
1 s : 9 192 631 770 la période de la radiation d'une transition du Cs133
1 m : distance parcourue dans vide par la lumière en 1/299792458 s
(ancienne définition: 1 650 763,73 la longueur d'onde de la radiation
d'une transition du krypton 86)
Q.: comment on avait défini ces grandeurs à l'époque de Napoléon ?
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Ordre de
Mesure des distances
O(1 m): mesure de la longueur par un mètre rigide gradué
O(1 µm): réticule dans un microscope
O(1 nm): méthodes de physique atomique (Scanning Tunneling Microscope)
O(1 fm): physique nucléaire (expérience de Rutherford)
O(< 1 fm): physique des particules (idem, à haute énergie)
O(1 km): photo aérienne, trigonométrie, temps de propagation
d'une onde e.m. (radar,...)
Etoiles proches: parallaxe
Etoiles éloignées: Luminosité apparente = L étoile / r2
Galaxies: idem, Luminosité des galaxies
5
Hubble
Deep
Field
6
Mesure du temps
... nécessite un système en mouvement:
- mouvement des astres
- sablier
- bougies étalonnées
- systèmes oscillants
pendules
ressorts
lame de quartz dans un circuit oscillant
oscillations dans une horloge atomique
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Quelle est la précision de la mesure ?
Erreurs systématiques: associées à la précision de l'appareillage
Mesure d'une longueur:
x1 = 16,24 cm
erreur de calibration de la réglette
± 0,02 cm
erreur de lecture par l'observateur
± 0,02 cm
Résultat:
x1 = 16,24 ± 0,04 cm
Temps, par 10 chronométreurs: 38,35 38,33 38,34 38,34 38,35 ...
38.35 s
Moyenne = 38.35 s
é.q.m. = 0.02 s
erreur sur moyenne = 0.02
10
Erreur statistique ± 0,01
!
8
Mouvement rectiligne .2
Le long de la trajectoire rectiligne, on effectue quelques mesure de vitesse...
v (entre t1 et t2) ≡ v1
v (entre t2 et t3) ≡ v2
v (entre t3 et t4) ≡ v3
etc...
si v1 = v2 = v3 = ... la vitesse est constante:
le mouvement est rectiligne et uniforme.
Attention: les {vi } sont des valeurs moyennes sur un intervalle
de temps fini => pour plus de précision il faut introduire la vitesse instantanée
v(t1) = limite pour Δt → 0 de Δx/Δ t
au temps t ~ t1
x(t 2 ) # x(t1 ) dx
lim
$ (t1 ) $ x˙ (t1 )
t 2 "t 1
t 2 # t1
dt
[v] = [longueur]/[temps]
unités : cm/s
!
9
Vitesse instantanée
parcours x
km
100
v>0
v=0
v<0
50
x2
x1
parcours d'une voiture sur une
autoroute rectiligne
0
t1 t2
1
2
temps
heures
t
La vitesse instantanée est la pente de la courbe x(t)
x(t 2 ) # x(t1 ) dx
lim
$ (t1 ) $ x˙ (t1 )
t 2 "t 1
t 2 # t1
dt
10
Vitesse
instantanée
et
accélération
parcours x
km
v>0
100
v=0
v<0
50
1
vitesse
km/h
2
temps
heures
décélération
100
accélération
50
0
1
2
temps
heures
11
Accélération
L'accélération (instantanée) a(t) est la pente de la courbe v(t)
v(t)
km/h
100
50
0
1
t1 t2
2
•
••
v(t 2 ) # v(t1 ) dv
a(t1 ) = lim
$ (t1 ) $ v(t1 ) $ x(t1 )
t 2 "t 1
t 2 # t1
dt
temps t
heures
[a] = [l]/[t2]
unités : cm s-2
12
cte: constante
Si a = 0,
alors
Quelques formules (voir plus loin)
v = cte,
et x(t) = x(0) + v t
Si a = cte, alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + 1 a t2
2
y
Exemple: chute verticale d'un corps depuis
une hauteur y = h
h
avec g = 9.81 m s-2
v(t) = v(0) - g t
y(t) = h + v(0)t - 1 g t2
0
2
13
Mouvement en 2D
y
t5
t1
t2
position au temps t donnée par
le couple de fonctions:
t4
t3
t0
x = x(t)
y = y(t)
r
x
vitesse au temps t donnée par:!
# x(t)&
!
r (t) " %
( " r(t)
$ y(t)'
vx(t) = dx/dt
vy (t) = dy/dt
!
dr
v(t) " v(t) = (t) = r˙ (t)
dt
14
Exemple
Projectile lancé d'une tour, vitesse // au sol: vx(0) = V.
On néglige l'effet de l'air => V=cte.
y
vx(t) = V
V
vy(t) = - g t
g
0
x
mouvement horizontal uniforme
mvt vertical soumis à la pesanteur
x=0+Vt
y = h - g t2 / 2
Forme de la trajectoire:
t = x/V y = h - g x2 / (2V2)
on décompose le mouvement:
une composante // à x
et une // à y
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Exemple .2
Distance maximale pour un projectile
y
v
Θ
0
?
x
16
Equations du mouvement
On veut savoir quelle est la position et vitesse d'un objet à un
certain moment, à partir des caractéristiques de son mouvement
Dès définitions de vitesse et accélération:
x(t 2 ) # x(t1 ) dx
v(t1 ) = lim
$ (t1 ) $ x˙ (t1 )
t 2 "t 1
t 2 # t1
dt
!
!
•
••
v(t 2 ) # v(t1 ) dv
a(t1 ) = lim
$ (t1 ) $ v(t1 ) $ x(t1 )
t 2 "t 1
t 2 # t1
dt
si a = constante
alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2 / 2
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Eq.s mouvement .2
* Calcul de la vitesse au temps t, a= cte:
t
v(t) = v(0) +
t
" adt = v(0) + a " dt = v(0) + a(t # 0) = v(0) + at
0
0
avec v(0) la vitesse initiale.
!
* La position au temps t1:
t1
x(t1 ) = x(0) +
" v(t)dt = x(0) + " (v(0) + at)dt =
0
t1
t1
0
t1
1 2
= x(0) + " v(0)dt + " at dt = x(0) + v(0)t1 + at1
2
0
0
18
Eq.s mouvement avant Newton
v
0
τ
2τ
0
aτ
a(2τ)
vmoyenne
x
aτ/2
0
a3τ/2
τ (aτ/2)=
=aτ2/2
3τ
t
a(3τ)
a5τ/2
x(τ)+ a3τ2/2
= a4τ2/2=a(2τ)2/2
v(t1 ) + v(t 2 )
v moyenne (t1,t 2 ) =
2
x(t 2 ) " x(t1 ) + v moyenne (t1,t 2 ) # (t 2 $ t1 )
a(3τ)2/2
1 2
at
2
19
!
Annexe: les VECTEURS
20
Scalaires et vecteurs
Une grandeur physique qui s’exprime par un nombre réel est dite
scalaire (de « scala » = échelle).
C’est le cas de la température. P. ex.: on attribue à chaque point de la
salle de cours un nombre qui représente la température: T(x,y,z).
Si l’on a besoin d’exprimer aussi une « direction » et pas seulement une
intensité, alors on se sert de vecteurs.
P. ex.: dans une rivière on doit indiquer la vitesse des molécules d’eau,
au temps t: Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t) sont les trois
composantes du vecteur vitesse V, au temps t, dans un point (x,y,z) de la
rivière.
21
Les vecteurs
y
(l'axe z sort du dessin)
ry
^
r = x rx + y^ ry + ^z rz
#rx & # r1 &
!
% ( % (
r " r " %ry ( " %r2 (
% ( % (
$ rz ' $r3 '
!
flèche
"gras"
r
^y
rx
x^
(norme de r) ≡ | r | =
x
rx2 + ry2 + rz2
longueur
^ indique un vecteur de norme = 1
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Les vecteurs, notations (3D)
gras
#rx & # r1 &
!
% ( % (
r " r " %ry ( " %r2 (
% ( % (
$ rz ' $r3 '
! !
2
2
2
r " r " r = rx + ry + rz "
)r
2
i
i=1,3
un vecteur unitaire qui sert à indiquer la direction:
1!
vˆ = ! v
v
23
Les vecteurs, opérations
OPERATIONS
ADDITION
MULTIPLICATION PAR SCALAIRE
PRODUIT SCALAIRE
PRODUIT VECTORIEL
v= a+b
v= s a
s= a.b
v= a×b ≡ a ∧ b
Scalaire : grandeur définie par un seul nombre
Ex: multiplication du vecteur (2,3,-1) par le scalaire 0.5
$2' $ 1 '
& ) &
)
0.5 " & 3 ) = & 1.5 )
& ) &
)
%#1( % #0.5(
24
Les vecteurs, addition
Addition de vecteurs
y
OQ = a + b
OQ - b = a
by
P
Q
b
a
O
bx
x
exemple en 2D
" ax % "bx % " ax + bx %
OQ = $ ' + $ ' = $
'
# ay & #by & # ay + by &
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Les vecteurs, produit scalaire
Produit scalaire:
a b = |a| |b| cos(φ) = a' |b|
= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
a
φ : angle entre a et b
•
φ
a'
a
le produit
est > 0
b
le produit est = 0
si φ est droit !
le produit est < 0
b
a'
Exemples:
* calcul d'un angle: cos(φ) = a b / |a| |b|
=>
φ = arccos( a b / |a| |b| )
* norme (longueur) d'un vecteur: |a| = a a
•
•
•
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Les vecteurs, produit vectoriel
Produit vectoriel
v = a × b est un vecteur orthogonal à a et à b
de norme : |v| = |a| |b| sin(φ)
v
v1 = a2b3 - a3b2
v2 = a3b1 - a1b3
v3 = a1b2 - a2b1
φ : angle entre a et b
|v| est égale à l'aire du
parallélogramme de côtés a et b
b
a
φ
Q1: Signification du produit mixte: (a × b) c ?
Q2: Montrer que a × b = - b × a
•
27