Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés
I. TOPOLOGIE DE
1) Donner un exemple de partie Ade pour laquelle les sept ensembles A,A,◦ A,
◦
A,◦ A,
◦
Aet
◦
◦
Asont
deux-à-deux distincts.
2) Montrer que est une partie fermée de :
(a) en étudiant son complémentaire,
(b) par caractérisation séquentielle,
(c) en trouvant une application continue par laquelle il est l’image réciproque d’un fermé connu.
3) Montrer que l’ensemble √m−√n, (, n)∈2est dense dans .
4) (a) FSoit (un)une suite réelle bornée, telle que un+1 −un−−−−→
n→∞ 0.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un)est un intervalle.
(b) FSoit (un)une suite réelle telle que un−−−−→
n→∞ +∞et un+1 −un−−−−→ n→∞ 0.
Montrer que la suite eiunest dense dans .
5) FValeurs d’adhérence de la suite (sin n)n
(a) Soit a∈ \ , et A={ma +n, m ∈, n ∈ }. Montrer que Aest dense dans .
(b) En déduire que tout réel de l’intervalle [−1,1] est valeur d’adhérence de la suite (sin n)n∈.
6) Soit u:→une bijection (il en existe, et étant tous deux dénombrables). Que peut-on dire des
valeurs d’adhérence de la suite (un), en tant que suite réelle ?
7) Équations fonctionnelles
(a) Soit f:→continue telle que ∀(x, y)∈2fx+y
2=1 2(f(x) + f(y)). Montrer que fest affine.
(b) Trouver toutes les fonctions f:→continues et prenant la valeur 1en 0, telles que :
(∀x∈)f(2x) = f(x) cos x
II. NORMES,TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1) Normes de polynômes
Soit E= [X]. Pour P=
n
X
k=0
akXk, on pose :
kPk1=
n
X
k=0 |ak|,kPk∞= max {|ak|,06k6n},kPk∗= max {|P(t)|/ t ∈[0,1]}
Montrer que ce sont des normes sur E, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes.
(Indication : considérer Pn= (X −1)net Qn=1+X+··· + Xn).
2) Eest l’ensemble des fonctions fde classe C2sur [0,1] telles que f(0) = f0(0) = 0. Pour f∈E, on pose :
N∞(f) = sup
x∈[0,1] |f(x)|, N (f) = sup x∈[0,1] |f(x) + f00 (x)|, N1(f) = sup x∈[0,1] |f(x)|+ sup x∈[0,1] |f00 (x)|
(a) Montrer que N∞,Net N1sont des normes sur E.
(b) Montrer que N∞n’est équivalente ni à N1, ni à N.
(c) KMontrer que Net N1sont équivalentes (Indication : introduire l’équation différentielle y00 +y=g).
3) Soit E=C0([0,1],). La norme uniforme de Eest notée ν. Pour g∈E, soit Ng:E−→
f7−→ ν(fg).

(a) Condition nécessaire et suffisante sur gpour que Ngsoit une norme.
(b) Kgétant choisie pour que Ngsoit une norme, comparer Nget ν. Donner une condition nécessaire
et suffisante pour que Nget νsoient équivalentes.
(c) KK Qu’en est-il si E=C∞([0,1],)?
4) FSoit Fun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E. Montrer que ◦ F=∅ou F=E.
5) Soit Eun espace vectoriel normé de dimension finie, et Pl’ensemble des projecteurs de E. Montrer
que Pest fermé dans L(E).
6) Soit E=C0([0,1],)muni de la norme de la convergence uniforme : kfk∞= sup
x∈[0,1] |f(x)|. On note
Pl’ensemble des fonctions de Eà valeurs positives ou nulles sur [0,1]. Chercher Pet ◦ P.
Reprendre ces deux questions avec la norme kfk1=Z1
0|f(t)|dt.
7) Pour p∈[[0, n]], on note Rpl’ensemble des matrices de Mn( ) de rang p, et R0
pl’ensemble des matrices
de Mn( ) de rang supérieur ou égal à p.
Ces ensembles sont-ils fermés ? Ouverts ? Trouver leur intérieur et leur adhérence.
8) On munit l’espace des suites réelles bornées `∞( ) de la norme kuk∞= sup
n∈|un|.
(a) Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé de `∞( ).
(b) On note Fl’ensemble des suites à support compact (i.e. nulles à partir d’un certain rang), et G
l’ensemble des suites de limite nulle.
Montrer que Fest fermé dans E, puis que Fest l’adhérence de Gdans E.
(c) Montrer que l’ensemble des suites (an)qui sont terme général d’une série absolument convergente
n’est pas un fermé de `∞( ).
III. SUITES ET SÉRIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1) Soit Eun espace vectoriel normé de dimension finie, et (# – un)net (# – vn)ndeux suites de vecteurs, con-
vergeant respectivement vers #– uet #– v, et telles que pour tout n∈,# – unet # – vnsont colinéaires.
Montrer que #– uet #– vsont encore colinéaires.
(Indication : raisonner par l’absurde et compléter (#– u , #– v)en une base de E).
2) Soit (un)une suite bornée d’un espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que (un)converge si et seulement si (un)admet une unique valeur d’adhérence.
3) Suites de matrices
(a) Soit (An)nune suite de matrices de Mp( ) vérifiant les propriétés suivantes :
(1) An−−−−→
n→∞ A∈Mp( ) (2) (∀n)Anest inversible (3) A−1
n−−−−→
n→∞ B∈Mp( )
Montrer que Aest inversible, et que son inverse est B. Peut-on retirer l’hypothèse (3) ?
(b) Soit A∈Mp( ) telle que la suite (An)nconverge vers une matrice P. Que peut-on dire de P?
(c) FSoit A∈Mp( ). Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers A.
4) Soit A=1 1 −1
1 1 1
1 1 1 . Pour quelles valeurs de α∈la série X
n>0
αnAnconverge-t-elle ?
5) FExponentielle de matrice
Pour A∈Mn( ), on définit exp (A) =
∞
X
n=0
An
n!.
(a) Montrer que la série définissant exp (A)converge quelle que soit la matrice A.
(Indication : prendre une norme d’algèbre.)
(b) Montrer que si Aet Bcommutent, alors exp (A+B) = exp (A).exp (B). En déduire, en calculant
exp (0), que exp (A)∈GL(n).
(c) Montrer que pour toute matrice A∈Mn( ), il existe P∈[X] tel que exp (A) = P(A).

IV. CONTINUITÉ
1) On munit [X] de la norme 
n
X
k=0
akXk = sup
06i6n|ai|. Étudier la continuité des applications P7→ P0et
P7→ (X + 1) Pde [X] dans [X], et P7→ P(x0)de [X] dans .
2) On munit C([0,1],)de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ:f7→ Z1/2
0
f(t)dt+Z1
1/2
f(t)dt.
Prouver que ϕest continue, calculer sa norme et montrer que celle-ci ne peut être atteinte.
3) Soit E=( ) l’ensemble des suites complexes presque nulles, muni de la norme kxk= max
n|xn|, et
(an)une suite complexe quelconque.
On définit sur Ela forme linéaire f:x7→
∞
X
k=0
akxk. Étudier sa continuité.
4) Soit fune application de dans . On pose : Γf={(x, f (x)) , x ∈ }.
(a) Montrer que si fest continue, alors Γfest un fermé de 2.
(b) On suppose fbornée. Montrer que si Γfest un fermé de 2, alors fest continue.
(c) Cette réciproque est-elle encore vraie si l’on ne suppose plus fbornée ?
V. COMPACITÉ,CONNEXITÉ,COMPLÉTUDE
1) FDistance entre un fermé et un compact
(a) Soit Aet Bdeux parties compactes de n. Montrer qu’il existe a∈Aet b∈Btels que ka−bk=
min
x∈A, y∈Bky−xk(autrement dit, la distance entre Aet Best atteinte).
(b) Montrer que cela est encore vrai si on suppose Acompact, et Bseulement fermée.
2) FUn théorème du point fixe
Soit Eun espace vectoriel normé , Xune partie compacte de E, et f:X→Xvérifiant :
∀(x, y)∈X2(x6=y) =⇒(kf(x)−f(y)k<kx−yk)
(a) Montrer que l’application ϕ:X→, x 7→ kx−f(x)kest continue sur X.
(b) En étudiant la borne inférieure de ϕsur X, montrer que fadmet un unique point fixe αsur X.
(c) Soit (xn)n∈une suite définie par x0∈Xet (∀n∈)xn+1 =f(xn). En étudiant kα−xnk, montrer
que (xn)converge vers α.
3) Suite de Cauchy non convergente
Soit E= [X]muni de la norme définie par 
n
X
i=0
akXk = max
06k6n|ak|. On note Pn= 1 + X + X2
2+··· +Xn n.
Montrer que la suite (Pn)nest de Cauchy, mais qu’elle n’est pas convergente. Qu’en déduit-on à propos
de (E, k.k)?
4) Soit Eet Fdeux espaces vectoriels normés. Montrer que si Fest complet, alors L(E, F )est complet.
5) Soit El’espace des fonctions lipschitziennes de dans , muni de la norme kfk=|f(0)|+
sup
x6=y
f(x)−f(y)
x−y
.
Montrer que Eest complet.
6) Soit le cercle unité de , et f:→continue. Montrer que fn’est pas injective.
7) Montrer que pour tout n>2, la sphère unité S={x∈n/kxk= 1}est connexe par arcs.
8) FMontrer que GLn( ) est connexe par arcs. Qu’en est-il de GLn( ) ?