Les vecteurs

Vecteurs du plan
1. Définitions et généralités
Définition. Un vecteur est une « flèche », caractérisée par sa longueur, sa
direction et son sens.1
Exemple. Sur la figure ci-contre, on a représenté le vecteur
u AB
=
, d’origine A et d’extrémité B.
La longueur du vecteur
AB
est celle du segment
[
]
AB
,
sa direction est celle de la droite
(
)
AB
et son sens est
celui de A vers B.
Attention. Un vecteur n’est pas un ensemble de points ! Il ne faut donc pas
confondre le vecteur
AB
avec le segment
[
]
AB
.
Définition. Le vecteur nul, noté
0
, est un vecteur dont la longueur est 0.
Sa direction et son sens ne sont pas définis. On le représente par un point.
Par exemple,
0
AA
=
et plus généralement,
0
MM
=
pour tout point M.
Définition. La longueur d’un vecteur
u
est encore appelée norme. On note
u
la norme du vecteur
u
.
Définition. Deux vecteurs
u
et
v
ayant même direction sont dits
colinéaires ou parallèles. On note alors :
u v
.
Exemples.
0
u v
et
0
AB CD EF
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
1 Attention : il ne faut pas confondre direction et sens : par exemple le mouvement d’un
ascenseur a une direction, la verticale, et deux sens : la montée et la descente.

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Définition. Deux vecteurs
u
et
v
sont égaux si et seulement si ils ont
même longueur, même direction et même sens. On dit alors que
u
est
un représentant de
v
.
Exemple. Sur la figure ci-contre,
u AB CD
= =
.
AB
et
CD
sont des
représentants du vecteur
u
.
Attention.
AB CD
=
, mais
[
]
[
]
AB CD
≠
.
Remarque. Tout vecteur
u
admet une infinité de représentants, mais
un seul représentant d’origine ou d’extrémité donnée. Par exemple,
CD
est
l’unique représentant de
u
d’origine C et
AB
est l’unique représentant de
u
d’extrémité B.
Conditions pour l’égalité entre deux vecteurs.
[
]
[ ]
est un parallélogramme (éventuellement
aplati)
mil mil
AB CD
ABDC
AD BC
=
⇔
⇔ =
Les deux cas de figure possibles sont représentés ci-dessous.
Conséquences.
•
AB CD BA DC
= ⇔ =
: si deux vecteurs sont égaux, leurs opposés
(voir définition suivante) sont aussi égaux.
•
AB CD AC BD
= ⇔ =
: si deux vecteurs sont égaux, les vecteurs
obtenus en échangeant l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre
sont aussi égaux.
ABDC est un parallélogramme aplati
[
]
[
]
mil mil
M AD BC
= =
ABDC est un (vrai) parallélogramme
[
]
[
]
mil mil
M AD BC
= =

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Définition. Deux vecteurs
u
et
v
sont opposés si et seulement si ils ont
même longueur et même direction, mais des sens opposés. On note :
u v
= −
.
Exemples :
Rappel. Etant donné un vecteur
u
du plan, la translation de vecteur
u
,
notée
u
t
, est l’application du plan dans lui-même qui associe à tout point M le
point
'
M
tel que
'
MM u
=
. Le point
'
M
est appelé image de M par
u
t
.
Exemple.
2. Addition et soustraction des vecteurs
L’ensemble des vecteurs du plan est noté
V
. On définit sur
V
une
addition de la manière suivante :
1er cas :
u
et
v
sont deux vecteurs consécutifs, c.-à-d. l’extrémité de
u
et
l’origine de
v
sont confondus ; par exemple,
u AB
=
et
v BC
=
. Dans ce
cas on définit :
u v AB BC AC
+ = + =
.
L’égalité
AB BC AC
+ =
, vraie pour tous les points A, B et C du plan est
appelée relation de Chasles.
CD AB
= −
AB CD
= −
AB BA
= −
CD DC
= −
(
)
' '
u
t A A AA u
= ⇔ =
( )
' '
u
t C C CC u
= ⇔ =

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2e cas :
u
et
v
sont ne sont pas consécutifs. Dans ce cas, on choisit deux
représentants qui sont consécutifs et on applique à nouveau la relation de
Chasles.
Remarque. Cette définition de l’addition des vecteurs a un sens : le vecteur
u v
+
ne dépend pas du choix des représentants de
u
et
v
, comme le
montre la figure suivante :
et ' '
AB A B
sont des représentants de
u
et ' '
BC B C
sont des représentants de
v
et ' '
AC A C
sont des représentants du même vecteur ; ce vecteur est par
définition
u v
+
.
Cas particulier important :
Règle du parallélogramme. Lorsque
u AB
=
et
v AC
=
sont deux
vecteurs ayant la même origine, alors
u v
+
est le vecteur
AD
, où D est
l’unique point tel que ABDC est un parallélogramme.
u v AB CD
AB BE
AE
+ = +
= +
=

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En effet :
u v AB AC
AB BD
AD
+ = +
= +
=
Propriétés de l’addition des vecteurs
a) L’addition des vecteurs est commutative, c.-à-d.
(
)
,
u v u v v u
∀ ∈ + = +
V
En effet :
u v AB BC AC
v u AD DC AC
+ = + =
+ = + =
b) L’addition des vecteurs est associative, c.-à-d.
(
)
(
)
(
)
, ,
u v w u v w u v w
∀ ∈ + + = + +
V
En effet :
(
)
(
)
( )
( )
u v w AB BC CD
AC CD
AD
u v w AB BC CD
AB BD
AD
+ + = + +
= +
=
+ + = + +
= +
=