Chapitre 11 – Loi binomiale Table des matières

Chapitre 11 – Loi binomiale TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 11 – Loi binomiale
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-1
3 ................................................ I-2
4 ................................................ I-2
5 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
6 ................................................ I-4
7 ................................................ I-4
8 ................................................ I-4
9 ................................................ I-4
10 ................................................ I-4
11 ................................................ I-5
12 ................................................ I-5
13 ................................................ I-6
14 ................................................ I-6
II Cours II-1
1 Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Schéma de Bernoulli, loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Propriété des coefficients binomiaux, triangle de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
4 Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
III Calculatrices et logiciels III-1
1 Calcul d’un coefficient binomial à la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1
2 Calcul d’une probabilité ou d’une loi de probabilité à la calculatrice . . . . . . . . . . III-1
3 Utilisation de logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-1
I Exercices
1
Un commercial sait par expérience que lorqu’il rend visite à un client, la probabilité d’obtenir une
commande est p= 0,4. Il rend successivement visite à 3 clients. On peut considérer ces visites comme
indépendantes les unes des autres.
Pour une visite, on note les évènements :
S(succès) « le client prend une commande » ; S(échec) « le client ne prend pas de commande ».
1. Tracer un arbre pondéré représentant la situation des 3 visites successives.
2. Calculer la probabilité que le commercial n’obtienne aucune commande.
3. Même question pour 1, puis pour 2, puis pour 3 commandes.
4. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de commandes. Dresser le tableau donnant
la loi de probabilité de X.
Quelques précisions de vocabulaire après ce premier exercice
Une visite de ce commercial chez un client, est une expérience aléatoire qui a deux issues : une
commande (succès) ou pas de commande (échec). On appelle cela une épreuve de Bernoulli 1.
Quand on répète cette épreuve plusieurs fois de manière identiques et indépendantes (3 fois dans
l’exercice précédent), on dit qu’on a un schéma de Bernoulli.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi binomiale. Dans l’exercice précédent,
il s’agissait d’une loi binomiale de paramètres n= 3 et p= 0,4.
2
Pour chacune des situations suivantes, est-ce une épreuve de Bernoulli ? Répondre oui ou non.
1. On s’approche en voiture d’un portail automatique d’une résidence qui peut être ouvert ou
fermé. .....................................................................................
2. On prend une boule au hasard dans une urne qui contient des boules rouges, vertes et bleues,
et on note sa couleur. ......................................................................
3. Dans un tas de pierres, on prend une pierre au hasard, on la pose sur une balance et on note
son poids. .................................................................................
4. On lance une pièce équilibrée et on note si on obtient pile ou face. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Dans les objets produits par une usine, on prend un objet au hasard et on note si cet objet
est en bon état ou pas. ....................................................................
6. Un site Internet de voyage propose cinq séjours touristiques en promotion. Dans le fichier
client, on choisit au hasard un client qui a pris un séjour en promotion, et on note le séjour
choisi. .....................................................................................
7. On lance un dé équilibré et on note le numéro obtenu. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse né en 1654, mort en 1705. Il posa les principes du calcul des
probabilités.
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-2
3
Pour chacune des situations suivantes, cela correspond-il à une loi binomiale ? Répondre oui ou non.
1. On lance 3 fois une pièce équilibrée et on note le nombre de « pile » obtenus. . . . . . . . . . . . . . .
2. On lance 5 fois un dé équilibré et on note le nombre de six obtenus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. On prend au hasard un chiffre entre 0 et 9, puis une lettre de l’alphabet au hasard, puis on
note la combinaison obtenue. On peut donc avoir des résultats tels que 3B ou 7M, etc. . . . . .
4. Une élection a lieu, avec 3 candidats A, B, C. On interroge au hasard 10 personnes qui ont
voté en leur demandant leur vote, puis on note le nombre de voix pour le candidats A. . . . . .
5. Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. Une deuxième urne contient 3 boules
blanches et 7 boules noires. On prend une boule au hasard dans la première, puis une boule
au hasard dans la deuxième et on note le nombre de boules blanches obtenues. . . . . . . . . . . . . .
6. Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On prend une boule au hasard dans
l’urne, sans remise, puis une autre boule au hasard dans cette urne, et on note le nombre de
boules noires obtenues. ....................................................................
4
Un footballeur tire successivement quatre penalties. Lorsqu’il tire un penalty, la probabilité de succès
est p= 0,75. On suppose que les quatre tirs successifs sont indépendants.
Répondre aux questions 2, 3, 4 ci-dessous en arrondissant à 10−3près, et pour la question 6, arrondir
à10−2près.
1. Tracer un arbre pondéré représentant la si-
tuation des quatre penalties successifs.
2. Calculer la probabilité que ce footballeur ait
exactement trois succès.
3. Calculer la probabilité que ce footballeur
n’ait aucun succès.
4. Calculer la probabilité que ce footballeur ait
au moins un succès.
5. On appelle X la variable aléatoire égale au
nombre de succès. Dresser le tableau don-
nant la loi de probabilité de X. Détailler les
calculs de probabilité manquants.
6. Représenter graphiquement cette loi de pro-
babilité par un diagramme en bâtons.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
01234
P(X = k)
X = k
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-3
5 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
Dans l’exercice précédent l’arbre pondéré est assez long à tracer, de plus le comptage du nombre de
chemins réalisant par exemple 2 succès pour 4 répétitions a été assez long.
Il faut donc en arriver à des formules de calculs. C’est le but de ce qui va suivre.
Dans un arbre pondéré qui représente un schéma de Bernoulli, répétition de népreuves de Bernoulli, le
nombre de chemins de l’arbre réalisant ksuccès pour nrépétitions s’appelle un coefficient binomial
et il se note n
k!.
Le tableau ci-dessous s’appelle triangle de Pascal 2.
1. Compléter la ligne 1 qui correspond à un « mini-arbre » pour une seule épreuve de Bernoulli
(succès / échec).
2. Compléter la ligne 2 qui correspond à un arbre pour deux épreuves successives de Bernoulli,
identiques et indépendantes.
3. Compléter les lignes 3 et 4 à l’aide des exercices précédents.
4. Dans la ligne 5, on peut déterminer 5
0!, 5
1!, 5
4!, et 5
5!, sans tracer d’arbre, en réfléchissant
un peu.
5. Pour 5
2!, voici des indications :
5
2!est le nombre de chemins réalisant 2 succès pour 5 répétitions.
Parmi ces chemins il y a ceux qui commencent par un succès, et les autres qui commencent
par un échec.
Déterminer le nombre de chemins dans chaque cas et conclure.
6. Déterminer 5
3!. Indication : s’il y a 3 succès, il y a 2 échecs.
n
k012345
1 1
0!= 1
1!=
2 2
0!= 2
1!= 2
2!=
3 3
0!= 3
1!= 3
2!= 3
3!=
4 4
0!= 4
1!= 4
2!= 4
3!= 4
4!=
5 5
0!= 5
1!= 5
2!= 5
3!= 5
4!= 5
5!=
2. Blaise Pascal, né en 1623, mort en 1662, est un mathématicien, physicien et philosophe français.
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-4
6
Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est p= 0,1.
On effectue successivement 5 forages, que l’on peut considérer comme identiques et indépendants.
Calculer la probabilité que deux forages conduisent à une nappe de pétrole. Détailler le calcul.
7
Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que 6 % des assiettes fabriquées présentent un défaut.
On choisit au hasard 20 assiettes pour vérifier leur état.
Calculer la probabilité que 3 assiettes comportent des défauts. Détailler le calcul et arrondir au 1 000e
près.
8
Dans un fast-food, on considère que la probabilité d’avoir un steack haché invendable est de 4 %.
Dans un lot de 300 steacks hachés, calculer la probabilité que 7 steaks soient invendables. Détailler
le calcul.
9
Une usine produit des crayons par lot de 12. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre
de crayons défectueux dans un lot. On admet que cette variable aléatoire suit une loi binomiale de
paramètres 12 et 0,04.
On arrondira les réponses à 0,001 près.
1. Calculer la probabilité que le lot contienne au moins un stylo défectueux.
2. Calculer la probabilité que le lot contienne au moins deux stylos défectueux.
10
En France, la probabilité qu’une personne ait de l’hypertension est p= 0,3. On choisit dix personnes
au hasard et de manière indépendante et on vérifie si elles ont de l’hypertension. On appelle X la
variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant de l’hypertension.
1. Compléter le tableau ci-dessous, qui donne la loi de probabilité de X. La calculatrice permet
de créer ce tableau à l’écran sur deux colonnes (voir fiche à propos de la calculatrice).
Arrondir à 10−4près, et à 10−6près pour p(X= 10).
2. a) Calculer l’espérance E(X).
b) Que signifie-t-elle ?
c) Pouvait-on s’attendre au résultat ?
3. a) Sur la feuille suivante, tracer le diagramme bâtons qui représente cette loi de probabilité.
Arrondir les probabilités à 10−2près.
b) Où retrouve-t-on l’espérance E(X) sur ce diagramme bâtons ?
X=k0 1 2 3 4 5
P(X=k)
X=k6 7 8 9 10
P(X=k)
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