Texte de référence. - Université de Sherbrooke

Congruences et équations diophantiennes
Rencontres Putnam 2004
Université de Sherbrooke
Charles Paquette
1. Théorie
1.1. Divisibilité et congruences.
Dans des concours mathématiques le moindrement sérieux, les notions de base de la théorie des nombres telles
les congruences modulo, les règles de divisibilité des nombres et autres sont primordiales. Cependant, le domaine
de la théorie des nombres est très vaste et ce document met l’emphase sur les notions moins touchées à l’Udes et
qui se trouvent souvent dans des concours mathématiques. Un petit retour sur les définitions de base sera donné
au début du document. Dans un premier temps, fixons les notations. Le symbole N désignera l’ensemble des
nombres naturels, c’est-à-dire {0, 1, 2, . . .} et Z, l’ensemble des entiers relatifs (ou simplement entiers), c’est-à-dire
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. Pour deux entiers n et m, on dit que m divise n, noté m|n, s’il existe un entier k tel
que n = mk.
Définition 1.1.1. Soit n un entier naturel non nul. Pour deux entiers a, b ∈ Z, on écrit
a ≡ b (mod n)
si n|(a − b).
On peut facilement voir que pour un entier n fixé, la relation ≡ (mod n) (ou simplement ≡) définit ci-haut
sur l’ensemble Z définit une relation d’équivalence. On remarque qu’il y a exactement n classes d’équivalence
pour cette relation. Habituellement, on pose Zn = Z/ ≡ et la classe d’équivalence d’un entier a est noté a. On
peut naturellement définir une addition et une multiblication sur cet ensemble (de cardinalité n) :
a+b=a+b
a·b=a·b
On peut vérifier que ces opérations ne dépendent pas des représentants choisit pour les classes d’équivalence. La
relation étant définit sur Z, qui admet ses propres structures algébriques telles la somme et le produit, on peut
se demander si les opérations définit dans Zn se comportent de façon similaire à celles définies dans Z. En fait,
on a les résultats suivants :
Proposition 1.1.2. On se fixe n, un entier naturel non nul. Soient a, b, c ∈ Z. Alors
(1) L’addition dans Zn est commutative, associative et d’élément neutre 0,
(2) La multiplication dans Zn est commutative, associative et d’élément neutre 1,
(3) (a + b) · c = a · c + b · c.
L’ensemble Zn avec les opérations +, · se comporte donc de façon semblable à l’ensemble Z avec son addition
et sa multiplication usuelle. Par contre, on notes certaines différences. Par exemple, dans Z, le produit de deux
entiers non nuls est non nul. Ceci est faux dans Zn . Par exemple, on note que, dans Z6 , 2 · 3 = 6 = 0. Dans
Z, seuls les nombres 1 et −1 sont inversibles. Dans Zn , en général, plusieurs éléments admettent un inverse
multiplicatif. Ces faits sont résumés dans la proposition suivante :
Proposition 1.1.3. On se fixe n un entier naturel non nul.
1
2
(1) Soit a ∈ Z tel que PGCD(a, n) = 1. Alors, il existe b ∈ Zn tel que a · b = 1,
(2) Selon 1), si p est un nombre premier, Zp est un corps,
(3) Soit a ∈ Z tel que PGCD(a, n) 6= 1. Alors, il existe b ∈ Zn , non nul, tel que a · b = 0.
Souvent, dans un problème en théorie des nombres, on a avantage à transformer un problème formulé dans
Z (ou une équation dans Z) en un problème (ou une équation) dans Zn pour un n approprié, car ce dernier
ensemble est beaucoup plus petit et il est plus facile d’y travailler. Voici un exemple.
Exemple 1.1.4. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que 4n + 22n + 1 est un multiple de 3.
solution. Le probleme revient à montrer que 4n + 22n + 1 ≡ 0 (mod 3), ou encore que 4n + 22n + 1 = 0 dans
Z3 . Or, on a
4n + 22n + 1
=
=
=
=
=
4n + 22n + 1
n
n
4 + 22 + 1
n
n
1 +1 +1
1+1+1
0.
¤
Dans Z, lorsque l’on veut calculer, pour a, b ∈ Z, ab , il faut multiplier a par lui même b fois et on obtient,
en général, un nombre très grand lorsque a et b le sont. Comme Zn est un ensemble fini, on a pas ce problème.
Pour un entier naturel n ≥ 2, on pose
¯
¯
φ(n) = ¯{1 ≤ i ≤ n|PGCD(i, n) = 1}¯
et on convient que φ(1) = 1. On remarque que φ(n) dénombre le nombre d’éléments de Zn admettant un inverse
multiplicatif. On a le résultat suivant, qui est une généralisation du petit théorème de Fermat.
Théorème 1.1.5 (Euler). Soient n ≥ 2 un entier naturel et a un entier tels que PGCD(a, n) = 1. Alors
aφ(n) ≡ 1(mod n)
En particulier, si n est premier,
an−1 ≡ 1(mod n).
Démonstration. Soit {a1 , a2 , . . . , aφ(n) } l’ensemble des éléments inversibles de Zn . Comme a est aussi inversible
a·ai est inversible pour tout 1 ≤ i ≤ φ(n). On voit facilement que {a·a1 , a·a2 , . . . , a·aφ(n) } = {a1 , a2 , . . . , aφ(n) }.
On a alors
φ(n)
φ(n)
Y
Y
ai ≡
a · ai (mod n)
Posant
Qφ(n)
i=1
i=1
i=1
ai = P , ceci donne
P ≡ aφ(n) · P (mod n).
Comme chaque ai est inversible dans Zn , P l’est et donc
1 ≡ aφ(n) (mod n).
¤
Ce théorème est particulièrement utile car, avec les notations du théorème, pour trouver les puissances de a
modulo n, il suffit, au pire, de connaı̂tre a, a2 , . . . , aφ(n)−1 modulo n. Avant de donner un exemple, voici une
façon de calculer φ(n) pour un entier naturel n ≥ 2 donné.
Proposition 1.1.6. Soit n ≥ 2 un entier. Supposons que n = pn1 1 pn2 2 · · · pnr r avec ni ≥ 1 pour tout 1 ≤ i ≤ r et
les pi sont des nombres premiers deux à deux distincts. On a
r
Y
φ(n) =
(pi − 1)pni i −1 .
i=1
Exemple 1.1.7. Trouver les deux derniers chiffres de 32004 .
solution. On demande de calculer 32004 (mod 100). On a φ(100) = φ(22 52 ) = (2 − 1)2(5 − 1)5 = 40. Comme
2004 = 50 ∗ 40 + 4,
32004 ≡ 350∗40+4 ≡ (350 )40 34 ≡ 34 ≡ 81 (mod 100).
Les deux derniers chiffres sont donc 8 et 1. ¤
3
Enfin, on termine cette section avec un dernier théorème, moins connu, mais fort utile dans les applications.
Ce théorème est connu sous le nom du théorème chinois.
Théorème 1.1.8 (Théorème chinois). Soient n1 , n2 , . . . , nr des entiers naturels plus grands ou égaux à 2, deux
à deux copremiers. Si m1 , m2 , . . . , mr sont des entiers alors le système de congruences
x ≡ m1 (mod n1 )
x ≡ m2 (mod n2 )
..
.
x ≡ mr (mod nr )
¡Qr
¢
Qr
admet une unique solution modulo i=1 ni , c’est-à-dire qu’il existe un et un seul entier x entre 0 et
i=1 ni −1
satisfaisant les r équations de congruence.
Exemple 1.1.9. Rodrigue vient de fêter son anniversaire. Si l’on divise son âge par 8, on obtient un reste de 7,
et si l’on divise plutôt par 11, on obtient un reste de 9. De plus, on sait que Rodrigue n’est pas si vieux. Trouver
l’âge de Rodrigue.
solution. Soit x, l’âge de Rodrigue. On a
x ≡ 7 (mod 8)
x ≡ 9 (mod 11)
Le théorème chinois nous dit que la solution du système est unique, modulo 88. La première équation donne que
x = 8k + 7, pour un certain k ∈ Z. La deuxième équation donne donc
8k + 7 ≡ 9 (mod 11)
Or, comme PGCD(8, 11) = 1, 8 admet un inverse multiplicatif modulo 11. Pour trouver cet inverse, on peut
utiliser l’algorithme d’Euclide. Dans ce cas-ci, on peut trouver facilement l’inverse par essais et erreurs. On
trouve 8 ∗ 7 ≡ 1 (mod 11). On obtient alors
k + 7 ∗ 7 ≡ 9 ∗ 7 (mod 11)
Ce qui donne k ≡ 3 (mod 11). Donc, k = 11l + 3, pour un certain l ∈ Z. En remplaçant dans l’équation
x = 8k + 7, on obtient x = 88l + 31. L’age de Rodrigue se situe donc dans l’ensemble {31, 31 + 88, 31 + 2 ∗ 88, . . .}.
Comme Rodrigue n’est pas si vieux, son âge est donc de 31 ans. ¤
1.2. Les équations diophantiennes.
Une équation diophantienne est une équation dont seulement les valeurs entières nous intéressent. Par exemple,
on sait que l’équation
45x + 3y = 1
admet une infinité de solutions réelles. Par contre, essayez de trouver une solution entière à cette équation!!
On peut montrer que cette équation n’admet aucune solution entière. Les équations diophantiennes, dans leur
généralité, restent encore un mystère pour les mathématiciens. Chaque équation diophantienne est unique en
son genre dans le sens que les méthodes utilisées pour résoudre une certaine équation ne peuvent souvent pas
être utilisées pour résoudre une autre équation. Souvent, le problème qui nous intéresse, pour une équation
diophantienne donnée, est de savoir si celle-ci admet des solutions ou non. Si oui, en existe-t-il une infinité?
Bien qu’en général, les équations diophantiennes soient compliquées, certaines classes sont mieux connues. Par
exemple, l’ensemble des équations diophantiennes linéaires sont complètement connues. On a, pour les équations
diophantiennes linéaires à deux variables, le théorème suivant :
Théorème 1.2.1. Soit l’équation diophantienne
ax + by = c, a, b, c ∈ Z
(1) Si PGCD(a, b) = d 6 | c, l’équation n’admet pas de solutions entières.
(2) Si PGCD(a, b) = d | c, il existe une infinité de solutions de la forme
x = (b/d)k + x0 , y = (−a/d)k + y0 , k ∈ Z
ou (x0 , y0 ) est une solution particulière de l’équation.
Le théorème ci-haut ne se généralise malheureusement pas aux équations diophantiennes polynomiales. En
général, pour résoudre une équation diophantienne, on a les outils suivants :
4
(1) Factorisation et la théorème fondamental de l’arithmétique,
(2) Utiliser des congruences (pour un ”modulo” approprié),
(3) Pour une équation de degré 2, on peut utiliser le fait que le discriminant doit être un carré parfait.
Voici quelques exemples qui illustrent les principes ci-haut.
Exemple 1.2.2. Trouver les solutions entières de l’équation diophantienne :
3X 2 + 5XY + 2Y 2 + 1 = 0
solution. En voyant cette équation comme une équation polynomiale réelle en X, on a
p
−5Y ± 25Y 2 − 12(2Y 2 + 1)
X=
6
Donc, s’il existe une solution entière (X0 , Y0 ), comme X0 est donné en utilisant la formule ci-haut, le discriminant,
Y02 − 12 doit être un carré parfait, car sinon, X0 ne serait pas un entier! Il est aisé de voir que le seul carré
parfait U tel que U − 12 est aussi un carré parfait est U = 16. Donc, les seuls valeurs possibles pour Y0 sont 4
et −4. Ceci donne les solutions (−1, 4) et (1, −4). Il n’y a pas d’autres solutions! ¤
Exemple 1.2.3 (Winning Solutions). Trouver les solutions entières de l’équation diophantienne :
X 2 = 3Y 2 + 8
solution. Si (X0 , Y0 ) est une solution, alors en particulier
X02 ≡ 3Y02 + 8 (mod 3)
C’est-à-dire
X02 ≡ 2 (mod 3)
2
2
2
Mais, dans Z3 , 0 = 0,1 = 1 et 2 = 1. Donc, la dernière équation est impossible. Donc, l’équation X 2 = 3Y 2 +8
n’admet pas de solutions entières. ¤
2. Problèmes
2.1. Problèmes choisis pour les congruences.
2.1.1 (The USSR Olympiad problem book).
(1) Montrer que 36n − 26n est divisible par 35, pour tout entier n.
(2) Montrer que n5 − 5n3 + 4n est divisible par 120, pour tout entier n.
2.1.2 (The USSR Olympiad problem book). Soit n ≥ 1 un entier. Montrer que si PGCD(n, 10) = 1, alors
n101 ≡ n (mod 1000).
2.1.3 (The USSR Olympiad problem book). Quels sont les restes possibles lorsqu’on divise la 100 ème puissance
d’un nombre par 125.
2.1.4. Soit n un entier positif
que n = a1 a2 . . . ar écrit en base 10. Montrer que
Ptel
r
(1) 3|n si et seulement si 3| P
i=1 ai .
r
(2) 11|n si et seulement si 11| i=1 (−1)r−i ai .
2.1.5. Soit n ≥ 1 un entier.
(1) Montrer que le produit de n entiers consécutifs (tous positifs) est toujours divisible par n!.
(2) Montrer que n!(n−1)! |(n!)!.
2.1.6 (Putnam, 1955, A-4). Est-ce qu’il existe 1000000 d’entiers naturels consécutifs tel que chacun est divisible
par le carré d’un nombre premier?
2.1.7. Soit n ≥ 1 un entier et désignons par pi , le i-ème nombre premier, i ≥ 1. Trouver le plus petit entier
naturel x qui satisfait
x ≡ pi − 1 (mod pi )
pour tout 1 ≤ i ≤ n.
2
2.1.8 (Putnam, 1956, B-6). La suite (an )n≥1 est
P∞définit par a1 = 2, an+1 = an − an + 1. Montrer que toute paire
d’éléments de la suite sont copremiers et que i=1 1/an = 1.
5
2.2. Problèmes choisis pour les équations diophantiennes.
2.2.1 (The USSR Olympiad problem book). Montrer que la seule solution entière de
x2 + y 2 + z 2 = 2xyz
est x = y = z = 0.
2.2.2 (Putnam, 1954, B1). Montrer que pour tout entier z, il existe deux entiers x et y tels que z 3 = x2 − y 2
2.2.3 (Winning Solutions). Trouver toutes les solutions entières de
1 + x + x2 + x3 = 2y
2.2.4 (Winning Solutions). Trouver toutes les solutions entières de
x2 + xy + y 2 = x2 y 2
2.2.5 (Winning Solutions). Montrer que l’équation diophantienne
a2 + b2 − 8c = 6
n’admet pas de solutions
2.2.6 (Winning Solutions). Trouver toutes les solutions entières (et non négatives) de
3a + 1 = 5b + 7c
2.3. Problèmes supplémentaires.
2.3.1 (The USSR Olympiad problem book *). Soient n ≥ 1 et k ≥ 1 deux entiers avec k impair. Montrer que
n
n
¯ X
X
¯
i¯
ik .
i=1
2
i=1
2
2.3.2 (Winning Solutions). Montrer que 7|(a + b ) seulement si 7|a et 7|b.
2.3.3 (Winning Solutions). Trouver les entiers positifs n tels que 2n donne un reste de 15 lorsqu’on le divise par
17?
2.3.4 (Winning Solutions). Calculer PGCD(n3 + 1, n2 + 2) pour tout entier n positif.
2.3.5 (Winning Solutions). Résoudre la congruence x3 ≡ 53 (mod 120). Indication : On peut transformer le
problème en le système
x3 ≡ 2 (mod 3)
x3 ≡ 3 (mod 5)
x3 ≡ 5 (mod 8).
2.3.6 (Winning Solutions). Soit n ≥ 1 un entier. Montrer qu’il existe deux entiers naturels a et b tels que
PGCD(a + r, b + s) > 1, pour tout r, s = 1, 2, . . . , n.
Indication : Construire une matrice n × n de nombres premiers distincts P = (prs )n×n et montrer qu’il existe a
et b tels que prs divise a + r et b + s pour tout r, s = 1, 2, . . . , n. Utiliser le Théorème chinois.
2.3.7 (USAMO 1979). Déterminer toutes les solutions non-négatives de l’équation diophantienne
n41 + n42 + · · · + n414 = 1599.
Deux solutions qui peuvent être obtenues l’une de l’autre par une permutation des indices sont considérées égales.
2.3.8 (The USSR Olympiad problem book). Considerez la suite définie par
a1 = 7,
an = 7an−1 , n = 2, 3, . . . .
Quels sont les deux derniers chiffres de a1001 ?
2.3.9 (The USSR Olympiad problem
book *). Trouver tous les entiers positifs n qui sont divisibles par tous les
√
entiers plus petits ou égaux à n.