Texte de référence. - Université de Sherbrooke

Congruences et ´equations diophantiennes
Rencontres Putnam 2004
Universit´ e de Sherbrooke
Charles Paquette
1. Th´ eorie
1.1. Divisibilit´ e et congruences.
Dans des concours math´ematiques le moindrement s´erieux, les notions de base de la th´eorie des nombres telles
les congruences modulo, les r`egles de divisibilit´e des nombres et autres sont primordiales. Cependant, le domaine
de la th´eorie des nombres est tr`es vaste et ce document met l’emphase sur les notions moins touch´ees `a l’Udes et
qui se trouvent souvent dans des concours math´ematiques. Un petit retour sur les d´efinitions de base sera donn´e
au d´ebut du document. Dans un premier temps, fixons les notations. Le symbole Nd´esignera l’ensemble des
nombres naturels, c’est-`a-dire {0,1,2, . . .}et Z, l’ensemble des entiers relatifs (ou simplement entiers), c’est-`a-dire
{. . . , −2,−1,0,1,2, . . .}. Pour deux entiers net m, on dit que mdivise n, not´e m|n, s’il existe un entier ktel
que n=mk.
D´efinition 1.1.1. Soit nun entier naturel non nul. Pour deux entiers a, b ∈Z, on ´ecrit
a≡b(mod n)
si n|(a−b).
On peut facilement voir que pour un entier nfix´e, la relation ≡(mod n) (ou simplement ≡) d´efinit ci-haut
sur l’ensemble Zd´efinit une relation d’´equivalence. On remarque qu’il y a exactement nclasses d’´equivalence
pour cette relation. Habituellement, on pose Zn=Z/≡et la classe d’´equivalence d’un entier aest not´e a. On
peut naturellement d´efinir une addition et une multiblication sur cet ensemble (de cardinalit´e n) :
a+b=a+b
a·b=a·b
On peut v´erifier que ces op´erations ne d´ependent pas des repr´esentants choisit pour les classes d’´equivalence. La
relation ´etant d´efinit sur Z, qui admet ses propres structures alg´ebriques telles la somme et le produit, on peut
se demander si les op´erations d´efinit dans Znse comportent de fa¸con similaire `a celles d´efinies dans Z. En fait,
on a les r´esultats suivants :
Proposition 1.1.2. On se fixe n, un entier naturel non nul. Soient a, b, c ∈Z. Alors
(1) L’addition dans Znest commutative, associative et d’´el´ement neutre 0,
(2) La multiplication dans Znest commutative, associative et d’´el´ement neutre 1,
(3) (a+b)·c=a·c+b·c.
L’ensemble Znavec les op´erations +,·se comporte donc de fa¸con semblable `a l’ensemble Zavec son addition
et sa multiplication usuelle. Par contre, on notes certaines diff´erences. Par exemple, dans Z, le produit de deux
entiers non nuls est non nul. Ceci est faux dans Zn. Par exemple, on note que, dans Z6, 2 ·3 = 6 = 0. Dans
Z, seuls les nombres 1 et −1 sont inversibles. Dans Zn, en g´en´eral, plusieurs ´el´ements admettent un inverse
multiplicatif. Ces faits sont r´esum´es dans la proposition suivante :
Proposition 1.1.3. On se fixe nun entier naturel non nul.
1

2
(1) Soit a∈Ztel que PGCD(a, n) = 1. Alors, il existe b∈Zntel que a·b= 1,
(2) Selon 1), si pest un nombre premier, Zpest un corps,
(3) Soit a∈Ztel que PGCD(a, n)6= 1. Alors, il existe b∈Zn, non nul, tel que a·b= 0.
Souvent, dans un probl`eme en th´eorie des nombres, on a avantage `a transformer un probl`eme formul´e dans
Z(ou une ´equation dans Z) en un probl`eme (ou une ´equation) dans Znpour un nappropri´e, car ce dernier
ensemble est beaucoup plus petit et il est plus facile d’y travailler. Voici un exemple.
Exemple 1.1.4. Soit nun entier naturel non nul. Montrer que 4n+ 22n+ 1 est un multiple de 3.
solution. Le probleme revient `a montrer que 4n+ 22n+ 1 ≡0 (mod 3), ou encore que 4n+ 22n+ 1 = 0 dans
Z3. Or, on a
4n+ 22n+ 1 = 4n+ 22n+ 1
= 4n+ 22n+ 1
= 1n+ 1n+ 1
= 1 + 1 + 1
= 0.
¤
Dans Z, lorsque l’on veut calculer, pour a, b ∈Z,ab, il faut multiplier a par lui mˆeme bfois et on obtient,
en g´en´eral, un nombre tr`es grand lorsque aet ble sont. Comme Znest un ensemble fini, on a pas ce probl`eme.
Pour un entier naturel n≥2, on pose
φ(n) = ¯
¯{1≤i≤n|PGCD(i, n) = 1}¯ ¯
et on convient que φ(1) = 1. On remarque que φ(n) d´enombre le nombre d’´el´ements de Znadmettant un inverse
multiplicatif. On a le r´esultat suivant, qui est une g´en´eralisation du petit th´eor`eme de Fermat.
Th´eor`eme 1.1.5 (Euler).Soient n≥2un entier naturel et aun entier tels que PGCD(a, n) = 1. Alors
aφ(n)≡1(mod n)
En particulier, si nest premier,
an−1≡1(mod n).
D´emonstration. Soit {a1, a2, . . . , aφ(n)}l’ensemble des ´el´ements inversibles de Zn. Comme aest aussi inversible
a·aiest inversible pour tout 1 ≤i≤φ(n). On voit facilement que {a·a1, a·a2, . . . , a·aφ(n)}={a1, a2, . . . , aφ(n)}.
On a alors φ(n)
Y
i=1
ai≡
φ(n)
Y
i=1
a·ai(mod n)
Posant Qφ(n)
i=1 ai=P, ceci donne
P≡aφ(n)·P(mod n).
Comme chaque aiest inversible dans Zn,Pl’est et donc
1≡aφ(n)(mod n).
¤
Ce th´eor`eme est particuli`erement utile car, avec les notations du th´eor`eme, pour trouver les puissances de a
modulo n, il suffit, au pire, de connaˆıtre a, a2, . . . , aφ(n)−1modulo n. Avant de donner un exemple, voici une
fa¸con de calculer φ(n) pour un entier naturel n≥2 donn´e.
Proposition 1.1.6. Soit n≥2un entier. Supposons que n=pn1
1pn2 2···pnr
ravec ni≥1pour tout 1≤i≤ret
les pisont des nombres premiers deux `a deux distincts. On a
φ(n) =
r
Y
i=1
(pi−1)pni−1
i.
Exemple 1.1.7. Trouver les deux derniers chiffres de 32004.
solution. On demande de calculer 32004 (mod 100). On a φ(100) = φ(2252) = (2 −1)2(5 −1)5 = 40. Comme
2004 = 50 ∗40 + 4,
32004 ≡350∗40+4 ≡(350)4034≡34≡81 (mod 100).
Les deux derniers chiffres sont donc 8 et 1. ¤

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Enfin, on termine cette section avec un dernier th´eor`eme, moins connu, mais fort utile dans les applications.
Ce th´eor`eme est connu sous le nom du th´eor`eme chinois.
Th´eor`eme 1.1.8 (Th´eor`eme chinois).Soient n1, n2, . . . , nrdes entiers naturels plus grands ou ´egaux `a 2, deux
`a deux copremiers. Si m1, m2, . . . , mrsont des entiers alors le syst`eme de congruences
x≡m1(mod n1)
x≡m2(mod n2)
.
.
.
x≡mr(mod nr)
admet une unique solution modulo Qr
i=1 ni, c’est-`a-dire qu’il existe un et un seul entier xentre 0et ¡Qr i=1 ni¢−1
satisfaisant les r ´equations de congruence.
Exemple 1.1.9. Rodrigue vient de fˆeter son anniversaire. Si l’on divise son ˆage par 8, on obtient un reste de 7,
et si l’on divise plutˆot par 11, on obtient un reste de 9. De plus, on sait que Rodrigue n’est pas si vieux. Trouver
l’ˆage de Rodrigue.
solution. Soit x, l’ˆage de Rodrigue. On a
x≡7 (mod 8)
x≡9 (mod 11)
Le th´eor`eme chinois nous dit que la solution du syst`eme est unique, modulo 88. La premi`ere ´equation donne que
x= 8k+ 7, pour un certain k∈Z. La deuxi`eme ´equation donne donc
8k+ 7 ≡9 (mod 11)
Or, comme PGCD(8,11) = 1, 8 admet un inverse multiplicatif modulo 11. Pour trouver cet inverse, on peut
utiliser l’algorithme d’Euclide. Dans ce cas-ci, on peut trouver facilement l’inverse par essais et erreurs. On
trouve 8 ∗7≡1 (mod 11). On obtient alors
k+ 7 ∗7≡9∗7 (mod 11)
Ce qui donne k≡3 (mod 11). Donc, k= 11l+ 3, pour un certain l∈Z. En rempla¸cant dans l’´equation
x= 8k+7, on obtient x= 88l+31. L’age de Rodrigue se situe donc dans l’ensemble {31,31+88,31 + 2∗88, . . .}.
Comme Rodrigue n’est pas si vieux, son ˆage est donc de 31 ans. ¤
1.2. Les ´ equations diophantiennes.
Une ´equation diophantienne est une ´equation dont seulement les valeurs enti`eres nous int´eressent. Par exemple,
on sait que l’´equation
45x+ 3y= 1
admet une infinit´e de solutions r´eelles. Par contre, essayez de trouver une solution enti`ere `a cette ´equation!!
On peut montrer que cette ´equation n’admet aucune solution enti`ere. Les ´equations diophantiennes, dans leur
g´en´eralit´e, restent encore un myst`ere pour les math´ematiciens. Chaque ´equation diophantienne est unique en
son genre dans le sens que les m´ethodes utilis´ees pour r´esoudre une certaine ´equation ne peuvent souvent pas
ˆetre utilis´ees pour r´esoudre une autre ´equation. Souvent, le probl`eme qui nous int´eresse, pour une ´equation
diophantienne donn´ee, est de savoir si celle-ci admet des solutions ou non. Si oui, en existe-t-il une infinit´e?
Bien qu’en g´en´eral, les ´equations diophantiennes soient compliqu´ees, certaines classes sont mieux connues. Par
exemple, l’ensemble des ´equations diophantiennes lin´eaires sont compl`etement connues. On a, pour les ´equations
diophantiennes lin´eaires `a deux variables, le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.2.1. Soit l’´equation diophantienne
ax +by =c, a, b, c ∈Z
(1) Si PGCD(a, b) = d6 | c, l’´equation n’admet pas de solutions enti`eres.
(2) Si PGCD(a, b) = d|c, il existe une infinit´e de solutions de la forme
x= (b/d)k+x0, y = (−a/d)k+y0, k ∈Z
ou (x0, y0)est une solution particuli`ere de l’´equation.
Le th´eor`eme ci-haut ne se g´en´eralise malheureusement pas aux ´equations diophantiennes polynomiales. En
g´en´eral, pour r´esoudre une ´equation diophantienne, on a les outils suivants :

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(1) Factorisation et la th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique,
(2) Utiliser des congruences (pour un ”modulo” appropri´e),
(3) Pour une ´equation de degr´e 2, on peut utiliser le fait que le discriminant doit ˆetre un carr´e parfait.
Voici quelques exemples qui illustrent les principes ci-haut.
Exemple 1.2.2. Trouver les solutions enti`eres de l’´equation diophantienne :
3X2+ 5XY + 2Y2+ 1 = 0
solution. En voyant cette ´equation comme une ´equation polynomiale r´eelle en X, on a
X=−5Y±p25Y2−12(2Y2+ 1)
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Donc, s’il existe une solution enti`ere (X0, Y0), comme X0est donn´e en utilisant la formule ci-haut, le discriminant,
Y2
0−12 doit ˆetre un carr´e parfait, car sinon, X0ne serait pas un entier! Il est ais´e de voir que le seul carr´e
parfait Utel que U−12 est aussi un carr´e parfait est U= 16. Donc, les seuls valeurs possibles pour Y0sont 4
et −4. Ceci donne les solutions (−1,4) et (1,−4). Il n’y a pas d’autres solutions! ¤
Exemple 1.2.3 (Winning Solutions).Trouver les solutions enti`eres de l’´equation diophantienne :
X2= 3Y2+ 8
solution. Si (X0, Y0) est une solution, alors en particulier
X2
0≡3Y2 0+ 8 (mod 3)
C’est-`a-dire
X2
0≡2 (mod 3)
Mais, dans Z3, 02= 0,12= 1 et 22= 1. Donc, la derni`ere ´equation est impossible. Donc, l’´equation X2= 3Y2+8
n’admet pas de solutions enti`eres. ¤
2. Probl` emes
2.1. Probl` emes choisis pour les congruences.
2.1.1 (The USSR Olympiad problem book).
(1) Montrer que 36n−26nest divisible par 35, pour tout entier n.
(2) Montrer que n5−5n3+ 4nest divisible par 120, pour tout entier n.
2.1.2 (The USSR Olympiad problem book).Soit n≥1 un entier. Montrer que si PGCD(n, 10) = 1, alors
n101 ≡n(mod 1000).
2.1.3 (The USSR Olympiad problem book).Quels sont les restes possibles lorsqu’on divise la 100 `eme puissance
d’un nombre par 125.
2.1.4. Soit nun entier positif tel que n=a1a2. . . ar´ecrit en base 10. Montrer que
(1) 3|nsi et seulement si 3|Pr
i=1 ai.
(2) 11|nsi et seulement si 11|Pr
i=1(−1)r−iai.
2.1.5. Soit n≥1 un entier.
(1) Montrer que le produit de nentiers cons´ecutifs (tous positifs) est toujours divisible par n!.
(2) Montrer que n!(n−1)!|(n!)!.
2.1.6 (Putnam, 1955, A-4).Est-ce qu’il existe 1000000 d’entiers naturels cons´ecutifs tel que chacun est divisible
par le carr´e d’un nombre premier?
2.1.7. Soit n≥1 un entier et d´esignons par pi, le i-`eme nombre premier, i≥1. Trouver le plus petit entier
naturel xqui satisfait
x≡pi−1 (mod pi)
pour tout 1 ≤i≤n.
2.1.8 (Putnam, 1956, B-6).La suite (an)n≥1est d´efinit par a1= 2, an+1 =a2
n−an+ 1. Montrer que toute paire
d’´el´ements de la suite sont copremiers et que P∞
i=1 1/an= 1.

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2.2. Probl` emes choisis pour les ´ equations diophantiennes.
2.2.1 (The USSR Olympiad problem book).Montrer que la seule solution enti`ere de
x2+y2+z2= 2xyz
est x=y=z= 0.
2.2.2 (Putnam, 1954, B1).Montrer que pour tout entier z, il existe deux entiers xet ytels que z3=x2−y2
2.2.3 (Winning Solutions).Trouver toutes les solutions enti`eres de
1 + x+x2+x3= 2y
2.2.4 (Winning Solutions).Trouver toutes les solutions enti`eres de
x2+xy +y2=x2y2
2.2.5 (Winning Solutions).Montrer que l’´equation diophantienne
a2+b2−8c= 6
n’admet pas de solutions
2.2.6 (Winning Solutions).Trouver toutes les solutions enti`eres (et non n´egatives) de
3a+ 1 = 5b+ 7c
2.3. Probl` emes suppl´ ementaires.
2.3.1 (The USSR Olympiad problem book *).Soient n≥1 et k≥1 deux entiers avec kimpair. Montrer que
n
X
i=1
i¯
¯
¯
n
X
i=1
ik.
2.3.2 (Winning Solutions).Montrer que 7|(a2+b2) seulement si 7|aet 7|b.
2.3.3 (Winning Solutions).Trouver les entiers positifs ntels que 2ndonne un reste de 15 lorsqu’on le divise par
17?
2.3.4 (Winning Solutions).Calculer PGCD(n3+ 1, n2+ 2) pour tout entier npositif.
2.3.5 (Winning Solutions).R´esoudre la congruence x3≡53 (mod 120). Indication : On peut transformer le
probl`eme en le syst`eme
x3≡2 (mod 3)
x3≡3 (mod 5)
x3≡5 (mod 8).
2.3.6 (Winning Solutions).Soit n≥1 un entier. Montrer qu’il existe deux entiers naturels aet btels que
PGCD(a+r, b +s)>1,pour tout r, s = 1,2, . . . , n.
Indication : Construire une matrice n×nde nombres premiers distincts P= (prs)n×net montrer qu’il existe a
et btels que prs divise a+ret b+spour tout r, s = 1,2, . . . , n. Utiliser le Th´eor`eme chinois.
2.3.7 (USAMO 1979).D´eterminer toutes les solutions non-n´egatives de l’´equation diophantienne
n4
1+n4 2+··· +n4 14 = 1599.
Deux solutions qui peuvent ˆetre obtenues l’une de l’autre par une permutation des indices sont consid´er´ees ´egales.
2.3.8 (The USSR Olympiad problem book).Considerez la suite d´efinie par
a1= 7, an= 7an−1, n = 2,3, . . . .
Quels sont les deux derniers chiffres de a1001?
2.3.9 (The USSR Olympiad problem book *).Trouver tous les entiers positifs nqui sont divisibles par tous les
entiers plus petits ou ´egaux `a √n.