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TD2
Applications linéaires et espaces vectoriels
Exercice 1
1 1 2 2
0 0 1 1
On considère la matrice 1 1 1 0
1 1 1 0
L'espace vectoriel étant rapporté à sa base canonique, on note l'endomorphisme de associé à
. désigne la matrice unité d'ordre 4.
1. Montrer que les seuls nombres réels λ tels que la matrice ne soit pas inversible sont
0, 1 et 3.
2. Déterminer le noyau de .
b. A-t-on ?
c. A-t-on ?
3. On considère les vecteurs ₁ 1,1,0,0, ₂ 1,0,1,0 , ₃ 0,0,1,1, ₄ 1,0,1,1.
Montrer que ₁, ₂, ₃, ₄ est une base de . Quelle est la matrice de relativement à cette
nouvelle base ?
Exercice 2
On désigne par S l'ensemble des suites réelles. On rappelle que si # #$ $%& et ' '$ $%& sont
des éléments de S et λ un réel, # ' désigne la suite ( ($ $%& telle que )* + 0, ($ #$ '$ et
# désigne la suite , ,$ $%& telle que )* + 0, ,$ #$ -. ., /, . est alors un espace vectoriel réel,
ce qu'on ne demande pas de vérifier.
1. Soient 0, 1, 2 trois réels fixés. On appelle E l'ensemble des suites réelles # #$ $%& vérifiant la
relation de récurrence linéaire
3 )* + 0,
#$45 / 0#$46 / 1#$47 / 2#$ 0
Démontrer que E est non vide et est un sous-espace vectoriel de S.
2. On note l'application de E dans 5 définie par :
)# #$ $%& 3,
# #₀, #₁, #₂
Démontrer que f est un isomorphisme de E sur 5 .
Que peut-on en conclure sur la dimension de E ?
3. Application
a. On considère le polynôme 9, , 5 3, 6 4, / 12.
Factoriser ce polynôme et en déduire les solutions de l’équation 9, 0.
b. On appelle 37 l’ensemble des suites telles que #& , #7 , #6 sont trois réels donnés et
)* + 0, #$45 3#$46 4#$47 / 12#$ 0.
Chercher les suites géométriques de terme initial égal à 1 et non nulles qui appartiennent à
37 .
c. Justifier que les suites trouvées forment une famille libre de 37 . En déduire que toute suite
#$ de 37 s’écrit pour tout entier * sous la forme
#$ 2$ / ;2$ / <3$
où , ;, < sont trois nombres réels.
d. On considère la suite #$ de 37 telle que #& 1, #7 0, #6 1. Déterminer , ;, <.
Exercice 3
Soit 0 un nombre réel. On note = l'ensemble des suites réelles définies sur =, et > le sous- ensemble
de = formé des suites #$ $= qui vérifient :
)* =, #$45 30 ? #$47 / 1 30#$
L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble >.
1. Structure de F .
a. Démontrer que > est un sous-espace vectoriel de = .
b. On considère l'application ϕ :
> A 5
#$ $= B #& , #7 , #6 Démontrer que ϕ est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que > est de dimension finie
et préciser sa dimension.
c. Justifier que des suites #$ $= , '$ $= , ($ $= de > forment une base de > si, et seulement si, la
#& '& (&
matrice C#7 '7 (7 D est inversible.
#6 '6 (6
d. On suppose dans cette question : 0 0 .
On note E, EF, EFF les suites définies par :
E G⁻¹1,0,0, EF G⁻¹0,1,0, EFF G⁻¹0,0,1
Déterminer E, EF, EFF (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la
forme générale d'un élément de > .
e. Reprendre la question précédente dans le cas 0 1J3.
2. Suites géométriques de >
a. Démontrer que la suite $ $= appartient à > si, et seulement si, le réel est racine de la fonction
polynomiale
K: , A , 5 30, / 30 1
(avec la convention : 0⁰ 1)
b. Déterminer, en fonction du réel 0, le nombre de racines de la fonction K ainsi que leur valeur.
3. Cas où K admet trois racines distinctes.
a. Démontrer que, lorsque la fonction K admet trois racines distinctes 1, 7 et 6 , les suites 1$= ,
7$ $= et 6$ $= forment une base de l'espace vectoriel >.
b. Dans le cas où 0 7, exprimer, en fonction de l'entier naturel *, le terme général #$ de la suite,
appartenant à >, qui vérifie :
#7 10,
#6 8
#& 1,
4. Cas où K admet une racine double.
a. Soit un nombre réel et #$ $= la suite de terme général * $ . Démontrer que, pour tout * de = :
#$45 30 ? #$47 1 30#$ $ * ? K / ? KF
b. En déduire que, lorsque K admet une racine double & et une racine simple 7 la suite *&$ $=
appartient à >, et démontrer que les suites &$ $= , *& $ $= et 7 $ $= forment une base de >.
c. Dans le cas où 0 1J4, exprimer le terme général #$ d'un élément quelconque #$ $= de > en
fonction de #& , #7 et #6 et de l'entier naturel *; préciser la limite de #$ $= .