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TD2
Applications linéaires et espaces vectoriels
Exercice 1
On considère la matrice    
L'espace vectoriel étant rapporté à sa base canonique, on note  l'endomorphisme de associé à
 désigne la matrice unité d'ordre 4.
1. Montrer que les seuls nombres réels λ tels que la matrice  ne soit pas inversible sont
2. Déterminer le noyau de 
b. A-t-on 
c. A-t-on 
3. On considère les vecteurs 
Montrer que  est une base de Quelle est la matrice de relativement à cette
nouvelle base ?
Exercice 2
On désigne par S l'ensemble des suites réelles. On rappelle que si  et  sont
des éléments de S et λ un réel,  désigne la suite  telle que  et
 désigne la suite  telle que    est alors un espace vectoriel réel,
ce qu'on ne demande pas de vérifier.
1. Soient  trois réels fixés. On appelle E l'ensemble des suites réelles  vérifiant la
relation de récurrence linéaire
Démontrer que E est non vide et est un sous-espace vectoriel de S.
2. On note  l'application de E dans définie par :
Démontrer que f est un isomorphisme de E sur 
Que peut-on en conclure sur la dimension de E ?
3. Application
a. On considère le polynôme .
Factoriser ce polynôme et en déduire les solutions de l’équation 
b. On appelle  l’ensemble des suites telles que  sont trois réels donnés et
Chercher les suites géométriques de terme initial égal à 1 et non nulles qui appartiennent à
c. Justifier que les suites trouvées forment une famille libre de  En déduire que toute suite
 de  s’écrit pour tout entier  sous la forme

où  sont trois nombres réels.
d. On considère la suite  de  telle que . Déterminer 
Exercice 3
Soit  un nombre réel. On note l'ensemble des suites réelles définies sur , et  le sous- ensemble
de formé des suites  qui vérifient :
L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble 
1. Structure de F .
a. Démontrer que  est un sous-espace vectoriel de 
b. On considère l'application  : 
Démontrer que  est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que  est de dimension finie
et préciser sa dimension.
c. Justifier que des suites  de  forment une base de  si, et seulement si, la
matrice 
 est inversible.
d. On suppose dans cette question : 
On note  les suites définies par :
Déterminer  (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la
forme générale d'un élément de 
e. Reprendre la question précédente dans le cas 
2. Suites géométriques de 
a. Démontrer que la suite  appartient à  si, et seulement si, le réel  est racine de la fonction
polynomiale 
(avec la convention : )
b. Déterminer, en fonction du réel  le nombre de racines de la fonction  ainsi que leur valeur.
3. Cas où  admet trois racines distinctes.
a. Démontrer que, lorsque la fonction  admet trois racines distinctes les suites 
et  forment une base de l'espace vectoriel 
b. Dans le cas où  exprimer, en fonction de l'entier naturel  le terme général  de la suite,
appartenant à  qui vérifie :   
4. Cas où  admet une racine double.
a. Soit  un nombre réel et  la suite de terme général  Démontrer que, pour tout  de  :
b. En déduire que, lorsque  admet une racine double  et une racine simple  la suite 
appartient à  et démontrer que les suites  et  forment une base de 
c. Dans le cas où   exprimer le terme général  d'un élément quelconque  de  en
fonction de  et de l'entier naturel  préciser la limite de 