Suites - LPO de Chirongui

Suites : arithmético-géométriques et conjointes - Série 3
Exercice 1
On souhaite étudier la suite (un)de premier terme u0=5 définie par la relation de récurrence suivante :
un+1 =1
3un+ 4 pour tout n∈N
On définie la suite vnpar :
vn=un−6pour tout n∈N
1. Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et sa raison.
2. Exprimer vnen fonction du rang n.
3. En déduire l’expression de unen fonction de n.
4. En déduire la limite de la suite un.
Exercice 2
On considère la suite un)définie sur N∗par :
u1= 0 ;un+1 = 0,2·un+ 0,04 pour tout n∈N∗
On définit la suite vnsur N∗par la relation :
vn=un−0,05
1. Montrer que la suite vnest une suite géométrique dont on précisera la raison.
2. Déterminer l’expression des termes de la suite vnen fonction de n. En déduire l’expression des termes la suite unen
fonction de n.
3. En déduire la limite de la suite un.
Exercice 3
On définit les suites unet vnsur l’ensemble Ndes entiers naturels par :
u0= 0 ;v0= 1 ;
un+1 =un+vn
2
vn+1 =un+ 2·vn
3
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites unet vn.
Partie A
1. Calculer u1et v1.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : u,vet wdes nombres réels.
Net kdes nombres entiers
Initialisation : uprend la valeur 0
vprend la valeur 1
Début de l’algorithme
Entrer la valeur de N
Pour kvariant de 1àN
wprend la valeur u
uprend la valeur w+v
2
vprend la valeur w+ 2·v
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des
variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

kw u v
1
2
b. Pour un nombre Ndonné, à quoi correspond les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans
cet exercice ?
Partie B
1. a. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel, on a :
vn−un>0
b. En déduire que la suite unest une suite croissante et vnest une suite décroissante.
2. Justifier que les suites unet vnsont convergentes.
Partie C
1. On considère la suite wndéfinie, pour tout entier naturel n, par :
wn=vn−un
a. Démontrer que la suite wnest géométrique.
b. Justifier que les limites des suites unet vnsont égales.
2. On considère la suite tndéfinie, pour tout entier naturel n, par :
tn= 2·un+ 3·vn
a. Démontrer que la suite tnest constante.
b. En déduire la valeur de la limite des suites unet vn.