Cours - Suites récurrentes linéaires d`ordre 2.nb

Cours - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2.nb
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Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
On note S le -espace vectoriel des suites de complexes pour les lois + et . usuelles définies par:
" Hun L, Hvn L œ S, " l œ , Hun L + Hvn L = Hun + vn L et l.Hun L = Hl un L.
Le vecteur nul de S, la suite nulle, est notée (0)
Dans tout le problème, a et b sont deux nombres complexes fixés.
On note alors E l’ensemble des suites Hun L de S telles que: " n œ , un+2 = a un+1 + b un .
L’objectif est de calculer le terme général un en fonction de n d’une telle suite, qui s’appelle une suite récurrente linéaire d’ordre 2.
Dans toute le problème, on pose, pour z œ , z0 = 1.
1) Démontrer que E est un sous espace vectoriel de S.
2) Soient Hun L et Hvn L les deux suites de E déterminées par: ;
u0 = 1 et u1 = 0
. On note B = HHun L, Hvn LL.
v0 = 0 et v1 = 1
a) Démontrer que B est une famille libre de E .
b) Démontrer que B est une famille génératrice de E .
On en déduit que E est de dimension finie et que dim E = 2.
Dans la suite HKL est l’équation du second degré d’inconnue z œ HKL : z2 - a z - b = 0 et D son discriminant.
3) Soit a œ . Démontrer que la suite géométrique Han L est dans E si et seulement si a est une solution de HKL.
4) Dans cette question D ∫ 0. On note alors a et b les deux solutions distinctes de HKL.
a) Démontrer que B = HHan L, Hbn LL est une base de E .
b) En déduire que pour toute suite Hun L de E , il existe un unique couple Hl, mL de complexes tel que " n œ , un = l an + m bn .
c) Justifier que l et m sont parfaitement déterminés par u0 et u1 .
d) Application: calculer le terme Fn de la suite de Fibonacci qui est définie par les relations:
F0 = F1 = 1 et " n œ , Fn+2 = Fn+1 + Fn .
5) Dans cette question D = 0. On note alors a la seule solution de (K ).
a) Démontrer que B = HHan L, Hn an LL est une base de E , sauf dans un cas particulier où l’on précisera E. Dans la suite on n’est pas
dans ce cas particulier.
b) En déduire que pour toute suite Hun L de E , il existe un unique couple Hl, mL de complexes tel que " n œ , un = l an + m n an .
c) Justifier que l et m sont parfaitement déterminés par u0 et u1 .
d) Application: calculer le terme xn de la suite qui est définie par les relations:
x0 = x1 = 1 et " n œ , xn+2 = 4 xn+1 - 4 xn .