Cours - Suites récurrentes linéaires d`ordre 2.nb

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
On note S le -espace vectoriel des suites de complexes pour les lois + et . usuelles définies par:
"
H
u
n
L
,
H
v
n
L
œS," l œ ,
H
u
n
L
+
H
v
n
L
=
H
u
n
+v
n
L
et l.
H
u
n
L
=
H
lu
n
L
.
Le vecteur nul de S, la suite nulle, est notée (0)
Dans tout le problème,
a
et
b
sont deux nombres complexes fixés.
On note alors E l’ensemble des suites
H
u
n
L
de S telles que: "nœ,u
n+
2
=a u
n+
1
+b u
n
.
L’objectif est de calculer le terme général u
n
en fonction de
n
d’une telle suite, qui s’appelle une suite récurrente linéaire d’ordre 2.
Dans toute le problème, on pose, pour zœ,z
0
=1.
1) Démontrer que E est un sous espace vectoriel de S.
2) Soient
H
u
n
L
et
H
v
n
L
les deux suites de E déterminées par:
;
u
0
=
1
et
u
1
=
0
v
0
=0 et v
1
=1 . On note
B
=
H
H
u
n
L
,
H
v
n
L
L
.
a) Démontrer que
B
est une famille libre de E.
b) Démontrer que
B
est une famille génératrice de E.
On en déduit que E est de dimension finie et que dim E=2.
Dans la suite
H
K
L
est l’équation du second degré d’inconnue zœ
H
K
L
:z
2
-a z -b=0 et D son discriminant.
3) Soit a œ . Démontrer que la suite géométrique
H
a
n
L
est dans E si et seulement si a est une solution de
H
K
L
.
4) Dans cette question D ∫ 0. On note alors a et
b
les deux solutions distinctes de
H
K
L
.
a) Démontrer que B=
H
H
a
n
L
,
H
b
n
L
L
est une base de E.
b) En déduire que pour toute suite
H
u
n
L
de E, il existe un unique couple
H
l
,
m
L
de complexes tel que "nœ,u
n
= l a
n
+ m b
n
.
c) Justifier que l et m sont parfaitement déterminés par u
0
et u
1
.
d) Application: calculer le terme F
n
de la suite de Fibonacci qui est définie par les relations:
F
0
=F
1
=1 et "nœ,F
n+
2
=F
n+
1
+F
n
.
5) Dans cette question D = 0. On note alors a la seule solution de (K).
a) Démontrer que B=
H
H
a
n
L
,
H
na
n
L
L
est une base de E, sauf dans un cas particulier où l’on précisera E. Dans la suite on n’est pas
dans ce cas particulier.
b) En déduire que pour toute suite
H
u
n
L
de E, il existe un unique couple
H
l
,
m
L
de complexes tel que "nœ,u
n
= l a
n
+ m na
n
.
c) Justifier que l et m sont parfaitement déterminés par u
0
et u
1
.
d) Application: calculer le terme x
n
de la suite qui est définie par les relations:
x
0
=x
1
=1 et "nœ,x
n+
2
=4x
n+
1
-4x
n
.
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