Théorie de la mesure et intégration

ENS-Cachan Hugo Harari-Kermadec
2D2 / 1&2D3 h[email protected]
Théorie de la mesure
et intégration
Notes du cours
12 janvier 2016
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Table des matières
Introduction générale 4
1 Ensembles, Algèbres et Tribus 5
1.1 Définitions............................................. 5
1.2 Propositions............................................ 7
1.3 Exemples ............................................. 9
2 Mesures 11
2.1 Définitions............................................. 11
2.2 MesuredeLebesgue ....................................... 14
2.3 Exemplesetcompléments .................................... 15
3 Fonctions Mesurables 18
3.1 Définitions............................................. 18
3.2 Propriétésgénérales ....................................... 18
3.3 Fonctionsmesurablesréelles................................... 19
3.4 Approximation d’une fonction mesurable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Mesures de probabilité 23
4.1 Introduction............................................ 23
4.2 Indépendance........................................... 24
4.3 Variablesaléatoires........................................ 26
5 Intégration des fonctions mesurables positives 27
5.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Intégrale des fonctions mesurables quelconques 32
6.1 Définitions............................................. 32
6.2 Propriétés............................................. 32
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Bibliographie
George, C. (1980). Exercices et problèmes d’intégration. Gauthier-Villars.
Gramain, A. (1988). Intégration. Hermann.
Jacod, J. Théorie de l’intégration. http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/amaury/LM364/jacod.pdf.
Ovide, A. (1976). Mesure et intégration ; exo et pb avec solutions. Vuibert.
Vo Khac, K. (1993). Théorie de la mesure ; exo et pb corrigés. Hermann.
Moodle
Exercices, corrigés et annales sur la page moodle du cours :
https://elearn.ens-cachan.fr/course/view.php?id=558
Remerciements
Merci à Amélie Carrère pour son aide dans la rédaction de la première version de ces notes.
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Introduction générale
Objectif : Construire une mesure qui généralise la longueur, que l’on sait calculer pour les intervalles.
En dimension plus grande, on veut généraliser la surface, le volume… On cherche donc une fonction
λ:PRd−→ R+=
avec les propriétés suivantes :
Invariance par translation :
λ(A) = λ(A+x)où A+x=
σ-additivité :
Soit (A1... An...) = (An)n∈Nune suite de parties de Rp.
λ [
n∈N
An!=
Normalisation :
λ[0; 1]d= 1
Théorème 1 (Vitali, 1905 :)
Il n’existe aucune fonction
λ:−→ R+
qui vérifie ces trois propriétés.
Astuce : On laisse tomber les ensembles trop compliqués à mesurer. On va donc définir une (immense)
classe d’ensembles mesurables. Pour la classe des Boréliens (classe engendrée par les intervalles), il existe
une unique fonction λqui vérifie les 3 propriétés, que l’on appelle mesure de Lebesgue.
Intégration de Riemann versus intégration de Lebesgue :
—Riemann On a à faire à des fonctions constantes par morceaux : les fonctions ”en escaliers”, qu’on
intègre en mesurant la surface sous chaque marche (un rectangle par marche):
Zf=X
k
f(xk)·(xk+1 −xk)
—Lebesgue On a à faire à des fonctions qui prennent un nombre fini de valeurs : les fonctions
”étagées”, qu’on intègre en multipliant la hauteur du palier par la mesure du palier (éventuellement
composé d’une infinité de morceaux) :
Zf=X
i
yi·λ(f←({yi})) où
On peut en profiter pour remarquer que l’inverse f←est ici définie pour les parties : elle prend
comme argument un singleton et comme valeur une partie. On y reviendra.
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Chapitre 1
Ensembles, Algèbres et Tribus
On cherche à construire une collection de parties de Rd, contenant les ensembles que l’on pourra
mesurer.
1.1 Définitions
La théorie des ensembles est l’un des fondements les plus profonds des mathématiques, base théorique
de l’arithmétique elle-même. Bolzano puis Cantor étudient ce domaine au XIXe. Alors qu’on pensait
formaliser des notions «naturelles», on y a découvert des problèmes ardus, comme le paradoxe du barbier
(Russell, début XXe).
Paradoxe du barbier Soit Al’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas :
A={E,}
L’ensemble Ase contient-il ?
D’où la contradiction. Et réciproquement...
Pour casser ce paradoxe, on sépare éléments et ensembles, en définissant une série de «natures»
hiérarchisées : éléments, parties, ensembles, ensembles de parties, etc. Les notations signalent les niveaux
: en minuscule les éléments, en majuscule les parties, en majuscule ronde les collections et en double barre
les ensembles :
Rang 0élément e
Rang 1Apartie {e}La plus grande partie est l’ensemble E
Rang 2Acollection de parties {{e}} La plus grande collection est P(E).
P(E)est l’ensemble des parties de E.
On distingue bien les opérateurs ∈et ⊂:
e∈E, a ∈ {a},
Il faut donc se méfier des termes comme «contient» qui marche à la fois pour les parties (Econtient A)
et les éléments (Econtient a).
En particulier, on ne peut jamais écrire e∈ A, puisque
On se place donc dans un ensemble E(par exemple R) et on considère l’ensemble de ses parties, P(E).
Définition 1 (Complémentaire)
Soit A∈ P (E)une partie de E, son complémentaire est
Ac={x∈E, x 6∈ A}=E\A
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