TD de révision : vrai ou faux ?

L3 – Intégration 1 2012-2013
TD de révision : vrai ou faux ?
Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. On justifiera chaque
réponse par une preuve ou un contre-exemple.
1. L’intersection de deux tribus est une tribu. L’union de deux tribus est une tribu.
2. P(X) est la seule tribu sur un ensemble Xfini qui contienne les singletons. Même
affirmation pour Xdénombrable, Xnon dénombrable.
3. Soit (E,A)un espace mesurable et f: E →Rune fonction. Alors fest mesurable
si et seulement si ∀r∈Q,nx∈E
f(x)> ro∈A.
4. Soit f:R→Rune fonction admettant une primitive. Alors f: (R,B(R)) →
(R,B(R)) est mesurable.
5. Soit g: (E,A)→(R,B(R)) une fonction mesurable et f:R→Rcontinue. Alors
f◦gest mesurable.
6. Soit µune mesure de probabilité sans atome sur [0,1] (i.e. ∀x∈R+, µ({x}) = 0) et
n∈N∗. Il existe une partition [0,1] = A1⊔ · · · ⊔ Antelle que µ(Ai) = 1/n.
7. Soit f: (X,A)→(Y,B)une application mesurable, µune mesure sur (X,A)et
ν=f∗(µ). Alors µ(X) = ν(Y).
8. Réciproquement, soit (X,A, µ)et (Y,B, ν)deux espaces mesurés tels que µ(X) =
ν(Y). Alors il existe f: (X,A)→(Y,B)mesurable telle que ν=f∗(µ).
9. Soit (X,A, µ) = (N,P(N),card). Alors toute application mesurable f: (X,A)→
(X,A)telle que f∗(µ) = µest bijective. Même affirmation pour ([0,1],B([0,1]), λ).
10. Soit f: E →Rune fonction mesurable sur un espace mesuré (E, µ). Pour tout ε > 0,
il existe N∈Ntel que λnx∈E
|f(x)|>No < ε. Même question si µ(E) <+∞.
11. Soit f: E →Rune fonction intégrable sur un espace mesuré (E, µ). Pour tout ε > 0,
il existe N∈Ntel que λnx∈E
|f(x)|>No < ε. Même question si µ(E) <+∞.
12. Soit (E, µ)un espace mesuré et (fn: E →(R+,B(R+)))n∈Nune suite de fonctions
mesurables. Alors ZE lim inf
n→∞ fndµ ≥lim inf n→∞ ZE
fndµ.
13. Sous les mêmes hypothèses, ZE lim inf
n→∞ fndµ ≤lim inf n→∞ ZE
fndµ.
14. Sous les mêmes hypothèses, ZE lim sup
n→∞
fndµ ≥lim sup
n→∞ ZE
fndµ.
15. Sous les mêmes hypothèses, ZE lim sup
n→∞
fndµ ≤lim sup
n→∞ ZE
fndµ.
16. Soit (E, µ)un espace mesuré et (fn: E →(R+,B(R+)))n∈Nune suite de fonctions
mesurables convergeant en décroissant vers f: E →R. Alors ZE fndµ −−−→
n→∞ ZE
f.
Même question si l’on suppose f1intégrable.

17. Soit (E, µ)un espace mesuré et (fn: E →(R+,B(R+)))n∈Nune suite de fonctions
mesurables convergeant vers une fonction f: E →Rpar valeurs inférieures. Alors
ZE
fndµ −−−→
n→∞ ZE
f.
18. Un ensemble mesurable A⊂Rnest borné si et seulement s’il est de mesure de
Lebesgue finie.
19. Un ouvert O⊂Rnnon vide est de mesure de Lebesgue strictement positive.
20. Pour tout ε > 0, il existe un ouvert dense O⊂Rnde mesure de Lebesgue au plus ε.
21. Un compact K⊂Rnest de mesure de Lebesgue finie.
22. Un compact K⊂Rnest d’intérieur vide si et seulement s’il est de mesure nulle.
23. Soit f:Rn→Rnune fonction continue. Si N⊂Rnest négligeable, alors f[N] aussi.
Même affirmation pour fcontinûment différentiable.
24. Soit f:Rn→Rnune fonction continue. Si N⊂Rnest négligeable, alors f−1[N]
aussi. Même affirmation pour fcontinûment différentiable.
25. Il existe des ensembles A⊂Rnon mesurables tels que λ∗(A) = 0.
26. Pour tout ε > 0, il existe des ensembles A⊂Rnon mesurables tels que λ∗(A) ≤ε.
27. Soit E⊂Run ensemble mesurable non négligeable. Alors Econtient un ensemble
non mesurable.
28. Soit E⊂Run ensemble négligeable et (εn)n∈N∗une suite de nombres strictement
positifs. On peut recouvrir Epar des intervalles (In)n∈N∗tels que ∀n∈N∗, λ(In)< εn.
29. Soit (En)n∈Nune suite de boréliens de [0,1]. On suppose qu’il existe C>0tel que
∀n∈N, λ(En)≥C. Alors il existe une sous-famille infinie des Endont l’intersection
est de mesure non nulle.
30. Soit (En)n∈Nune suite de boréliens de [0,1]. On suppose qu’il existe C>0tel que
∀n∈N, λ(En)≥C. Alors il existe une sous-famille infinie des Endont l’intersection
est non vide.
31. Soit µune mesure sur ([0,1],B([0,1])) telle que
∀A∈B([0,1]), λ(A) = 1/2⇒µ(A) = 1/2.
Alors µ=λ.
32. Soit (X, µ)un espace mesuré fini. Alors toute suite bornée dans L2(X) admet une
sous-suite convergente.
33. L1([0,1]) ⊂L2([0,1]).
34. Si 1≤p < q, alors Lq([0,1]) ⊂Lp([0,1]).
35. Si une suite converge dans Lp([0,1]) alors elle converge presque partout.
36. Soit 1< p, q < ∞deux exposants conjugués, fdans Lp([0,1]) et gdans Lq([0,1])
respectivement. Alors kfgk1=kfkpkgkqsi et seulement s’il existe (α, β)6= (0,0) tel
que α|f|=β|g|presque partout.