TD de révision : vrai ou faux ?

L3 – Intégration 1
2012-2013
TD de révision : vrai ou faux ?
Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. On justifiera chaque
réponse par une preuve ou un contre-exemple.
1. L’intersection de deux tribus est une tribu. L’union de deux tribus est une tribu.
2. P(X) est la seule tribu sur un ensemble X fini qui contienne les singletons. Même
affirmation pour X dénombrable, X non dénombrable.
3. Soit (E, A ) un espace mesurable
et f : E →
o R une fonction. Alors f est mesurable
n
si et seulement si ∀r ∈ Q, x ∈ E f (x) > r ∈ A .
4. Soit f : R → R une fonction admettant une primitive. Alors f : (R, B(R)) →
(R, B(R)) est mesurable.
5. Soit g : (E, A ) → (R, B(R)) une fonction mesurable et f : R → R continue. Alors
f ◦ g est mesurable.
6. Soit µ une mesure de probabilité sans atome sur [0, 1] (i.e. ∀x ∈ R+ , µ({x}) = 0) et
n ∈ N∗ . Il existe une partition [0, 1] = A1 ⊔ · · · ⊔ An telle que µ(Ai ) = 1/n.
7. Soit f : (X, A ) → (Y, B) une application mesurable, µ une mesure sur (X, A ) et
ν = f∗ (µ). Alors µ(X) = ν(Y).
8. Réciproquement, soit (X, A , µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés tels que µ(X) =
ν(Y). Alors il existe f : (X, A ) → (Y, B) mesurable telle que ν = f∗ (µ).
9. Soit (X, A , µ) = (N, P(N), card). Alors toute application mesurable f : (X, A ) →
(X, A ) telle que f∗ (µ) = µ est bijective. Même affirmation pour ([0, 1], B([0, 1]), λ).
10. Soit f : E → R une fonction
sur uno
espace mesuré (E, µ). Pour tout ε > 0,
n mesurable
< ε. Même question si µ(E) < +∞.
il existe N ∈ N tel que λ x ∈ E |f (x)| > N
11. Soit f : E → R une fonction
sur uno
espace mesuré (E, µ). Pour tout ε > 0,
n intégrable
< ε. Même question si µ(E) < +∞.
il existe N ∈ N tel que λ x ∈ E |f (x)| > N
12. Soit (E, µ) un espace
Z mesuré et (fn : E → Z(R+ , B(R+ )))n∈N une suite de fonctions
mesurables. Alors
lim inf fn dµ ≥ lim inf fn dµ.
n→∞
E n→∞
E
Z
Z
13. Sous les mêmes hypothèses,
lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
E
Z
ZE
14. Sous les mêmes hypothèses,
lim sup fn dµ ≥ lim sup fn dµ.
n→∞
n→∞
ZE
ZE
15. Sous les mêmes hypothèses,
lim sup fn dµ ≤ lim sup fn dµ.
E
n→∞
n→∞
E
16. Soit (E, µ) un espace mesuré et (fn : E → (R+ , B(R+ )))n∈N une
Z suite de fonctions
Z
mesurables convergeant en décroissant vers f : E → R. Alors
fn dµ −−−→
f.
Même question si l’on suppose f1 intégrable.
E
n→∞
E
17. Soit (E, µ) un espace mesuré et (fn : E → (R+ , B(R+ )))n∈N une suite de fonctions
mesurables convergeant
vers une fonction f : E → R par valeurs inférieures. Alors
Z
Z
fn dµ −−−→
E
n→∞
f.
E
18. Un ensemble mesurable A ⊂ Rn est borné si et seulement s’il est de mesure de
Lebesgue finie.
19. Un ouvert O ⊂ Rn non vide est de mesure de Lebesgue strictement positive.
20. Pour tout ε > 0, il existe un ouvert dense O ⊂ Rn de mesure de Lebesgue au plus ε.
21. Un compact K ⊂ Rn est de mesure de Lebesgue finie.
22. Un compact K ⊂ Rn est d’intérieur vide si et seulement s’il est de mesure nulle.
23. Soit f : Rn → Rn une fonction continue. Si N ⊂ Rn est négligeable, alors f [N] aussi.
Même affirmation pour f continûment différentiable.
24. Soit f : Rn → Rn une fonction continue. Si N ⊂ Rn est négligeable, alors f −1 [N]
aussi. Même affirmation pour f continûment différentiable.
25. Il existe des ensembles A ⊂ R non mesurables tels que λ∗ (A) = 0.
26. Pour tout ε > 0, il existe des ensembles A ⊂ R non mesurables tels que λ∗ (A) ≤ ε.
27. Soit E ⊂ R un ensemble mesurable non négligeable. Alors E contient un ensemble
non mesurable.
28. Soit E ⊂ R un ensemble négligeable et (εn )n∈N∗ une suite de nombres strictement
positifs. On peut recouvrir E par des intervalles (In )n∈N∗ tels que ∀n ∈ N∗ , λ(In ) < εn .
29. Soit (En )n∈N une suite de boréliens de [0, 1]. On suppose qu’il existe C > 0 tel que
∀n ∈ N, λ(En ) ≥ C. Alors il existe une sous-famille infinie des En dont l’intersection
est de mesure non nulle.
30. Soit (En )n∈N une suite de boréliens de [0, 1]. On suppose qu’il existe C > 0 tel que
∀n ∈ N, λ(En ) ≥ C. Alors il existe une sous-famille infinie des En dont l’intersection
est non vide.
31. Soit µ une mesure sur ([0, 1], B([0, 1])) telle que
∀A ∈ B([0, 1]), λ(A) = 1/2 ⇒ µ(A) = 1/2.
Alors µ = λ.
32. Soit (X, µ) un espace mesuré fini. Alors toute suite bornée dans L2 (X) admet une
sous-suite convergente.
33. L1 ([0, 1]) ⊂ L2 ([0, 1]).
34. Si 1 ≤ p < q, alors Lq ([0, 1]) ⊂ Lp ([0, 1]).
35. Si une suite converge dans Lp ([0, 1]) alors elle converge presque partout.
36. Soit 1 < p, q < ∞ deux exposants conjugués, f dans Lp ([0, 1]) et g dans Lq ([0, 1])
respectivement. Alors kf gk1 = kf kp kgkq si et seulement s’il existe (α, β) 6= (0, 0) tel
que α|f | = β|g| presque partout.