LIMITES : Opérations, comparaison et asymptotes I) Limites des

Limites 1/2
LIMITES : Opérations, comparaison et asymptotes
I) Limites des fonctions de référence, des polynômes et des fonctions rationnelles
1) Fonctions de référence
A l’infini
• Pour tout entier n>0 : lim
x
n
x
→+∞ =+∞ ; lim xn
x
→+∞ =
10 ;
• si n est pair : lim
x
n
x
→−∞ =+∞ ; lim xn
x
→−∞ +
=
10 ;
• si n est impair : lim
x
n
x
→−∞ =−∞ ; lim xn
x
→−∞ −
=
10.
• lim
xx →+∞ =+∞ ; lim xx →+∞ +
=
10.
En zéro
• Pour tout entier n>0 : lim
x
n
x
→= 00 ;
• lim
xx →+= 00.
• lim
xx→+=+∞ 0
1 ; lim
xx→−=−∞ 0
1.
• lim
xx →+=+∞ 02
1 ; lim
xx →−=+∞ 02
1
2) Polynômes et fonctions rationnelles en ±∞
Théorème : • une fonction polynôme a, en +∞ ou −∞, la même limite que son terme de plus haut degré.
• une fonction rationnelle a, en +∞ ou −∞, la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.
II) Théorèmes sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux fonctions.
Dans tout ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions dont on connaît, pour chacune, la limite « au même
endroit », soit en +∞, soit en −∞, soit en un réel a. L et L’ désignent deux nombres réels.
Les théorèmes suivants permettent de conclure dans la plupart des cas ; les cas où l’on ne peut pas conclure
(appelés formes indéterminées) , sont signalés par .
1) Limite de la somme f + g
Si lim f est égale à L L L +∞ −∞ +∞
et lim g est égale à L' +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors lim f + g est égale à L + L’ +∞ −∞ +∞ −∞ ? ?
2) Limite du produit fg
Si lim f est égale à L L ≠ 0 ±∞ 0
et lim g est égale à L' ±∞ ±∞ ±∞
alors lim fg est égale à LL’ ±∞ ±∞ ? ?
3) Limite du quotient f
g
Si lim f est égale à L L L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞ 0 ±∞
et si lim g est égale à L' ≠ 0 ±∞
0
+
0
−
0
+
0
− 0 ±∞
alors lim f
g est égale à L
L
′
0 +∞ −∞ −∞ +∞ ? ? ? ?
x xn →, n pair x xn →, n impair xxn →1, n impair xxn →1, n pair
Règle des signes
? ?

Limites 2/2
III) Comparaison
Théorème : Si, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et lim ( )
xgx →+∞
=
+∞
, alors
lim ( )
xfx →+∞
=
+∞
.
Remarque : on a un énoncé analogue lorsque f(x) ≤ g(x) et
−∞
=
+∞→)(lim xg x.
Théorème : Si, pour x assez grand, u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si
lim ( ) lim ( )
x x
ux v x l
→+∞ →+∞
=
=
, alors lim ( )
xfxl →+∞
=
.
Remarque : on a un énoncé analogue en −∞.
IV) Limites et asymptotes
1) Asymptote verticale : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la
forme ]a ; b] (ou [b ; a[ ).
Si on a lim ( )
xafx →
=
±∞
, alors la courbe C f représentant la fonction f
admet une asymptote verticale d’équation x = a.
Remarque : dans le cas des fonctions
rationnelles, un tel calcul de limite
s’obtient en utilisant les résultats ci-contre
du théorème sur la limite d’un quotient.
2) Asymptote horizontale : Si lim ( )
xfxl →+∞
=
, alors la courbe
représentative C f de f admet en +∞ la droite d’équation yl
=
comme
asymptote horizontale.
Remarque : on a un énoncé analogue en −∞.
3) Asymptote oblique : Si
[
]
0)()(lim
=
+
−
+∞→baxxf x, alors la droite
d’équation yax b
=
+
est asymptote à la courbe représentative C f de f
en +∞.
Remarques : • f(x) peut alors s’écrire sous la forme
fxax bx( ) ( )
=
+
+
ϕ
avec lim ( )
xx →+∞
=
ϕ
0.
• On a un énoncé analogue en −∞.
O
C f
C g
Si g(x) tend vers +∞, f(x) ne
peut que faire pareil...
O
yl
=
Vers +∞, C u et C v coincent C f contre
la droite d’équation y = l
C u
C f
C v
O
x=a
lim ( )
xafx →−
=
+∞
C flim ( )
xafx →+
=
−∞
C f
a
L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞
0
+
0
−
0
+
0
−
+∞ −∞ −∞ +∞
yl
=
O
lim ( )
xfxl →−∞
=
1
C f1
C f2
lim ( )
xfxl →+∞
=
2
l
C f
yax b
=
+
O
ϕ
( ) ( ) ( )xfxax b
=
−
+
ϕ
( )x
→
0
x