Etude et approximation locale des fonctions numériques

U.P.S. I.U.T. A, D´epartement d’Informatique Ann´ee 2009-2010
S2 : Analyse
Ch. 2 : Etude et approximation locale
des fonctions num´ eriques
1 Continuit´e, th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Continuit´e. Une fonction est dite continue en asi elle est d´efinie en a(f(a) existe) et
lim
x→af(x) = f(a).
Elle est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point ade cet intervalle.
En un point de discontinuit´e, le graphe de fpr´esente un saut. Le cas le plus fr´equent de
discontinuit´e est le cas o`u la fonction pr´esente une limite `a droite en a, une `a gauche et ces
deux limites sont diff´erentes (ou encore infinies).
Exemple - fest d´efinie sur Rpar f(x) = x2+ 1 si x≥0, et f(x) = −(x2+ 1) si x < 0 :
4
2
0
x
1
-2
2-1 0
-4
-2
Figure 1 – Une discontinuit´e en 0 avec limites `a droite et `a gauche
.
1

Mais il peut y avoir des discontinuit´es plus sauvages, sans limite `a droite ou `a gauche.
Exemple - fest d´efinie sur Rpar f(x) = sin(1/x) si x6= 0 et f(0) = 0 :
0,5
0
-0,5
x
0,3
-1
0,1
1
0,20-0,1-0,2-0,3
Figure 2 – Une discontinuit´e en 0 sans limites `a droite ou `a gauche
.
Crit`eres de continuit´e. D’apr`es les r´esultats du chapitre 1 sur les limites, la somme et le
produit de deux fonctions fet gcontinues en aest encore une fonction continue en aet, si
g(a)6= 0 le quotient f/g est encore continu en a.
La compos´ee de deux fonctions continues est continue.
Exemples de fonctions continues. Puisque x7→ xest continue sur R, d’apr`es ce qui
pr´ec´ede, toute fonction polynomiale est continue sur R.
Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes P/Q) est continue sur son domaine
de d´efinition c’est-`a-dire en dehors des points o`u Qs’annule.
Les fonctions usuelles vues au lyc´ee (fonctions trigonom´etriques, logarithme, exponentielle)
sont continues sur leurs domaines de d´efinition.
Exercice 1. On consid`ere la fonction fd´efinie sur R∗par f(x) = exp(sin x
x).
1. D´emontrer que fest continue sur son domaine de d´efinition.
2. Peut-on trouver une valeur d´efinissant f(0) qui permette de ”prolonger par continuit´e”
fsur Rtout entier ? (c’est-`a-dire telle que la fonction prolong´ee soit continue en 0)
2

Nous admettrons le r´esultat suivant (tr`es utile pour d´emontrer qu’une fonction est born´ee)
que nous v´erifierons sur un exemple :
Th´eor`eme - Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e [a, b]est born´ee (par met
M) et atteint ses bornes (il existe cet dtels que f(c) = met f(d) = M).
Exercice 2. V´erifier `a l’aide des deux questions ci-dessous que les deux hypoth`eses du
th´eor`eme sont indispensables :
1. D´eterminer l’image de l’intervalle [−2,+2] par chacune des 2 fonctions suivantes :
f(x) = x2;g(x) = 1/x si x6= 0, et g(0) = 0. Est-elle born´ee ? Ces bornes sont-elles
atteintes ?
2. D´eterminer l’image de l’intervalle [−2,+2[ par la fonction h(x) = 1/(x−2). Est-elle
born´ee ?
Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. (tr`es utile pour d´emontrer l’existence de solutions
d’une ´equation) : Soit fune fonction continue sur un intervalle ferm´e [a, b]. Pour toute valeur
interm´ediaire dentre f(a)et f(b), il existe cdans [a, b]tel que f(c) = d.
Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires dit que si fest continue sur [a, b], l’image de [a, b]
est non seulement born´ee par met M(avec bornes atteintes) mais est tout l’intervalle [m, M]
(sans trous) :
Exercice 3. Quelle est l’image de l’intervalle [−2,+2] par la fonction fde la figure 1 ?
Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires s’applique-t-il ici ?
Preuve du th´eor`eme par la m´ethode de dichotomie - On peut supposer qu’on est dans le
cas f(a)≤f(b) (l’autre cas est analogue). Soit dtelle que f(a)≤d≤f(b). Le principe est
de construire une suite d’intervalles emboit´es [an, bn] tels que (an) et (bn) soient des suites
adjacentes v´erifiant f(an)≤det f(bn)≥d. Leur limite commune donnera la solution c
cherch´ee. On pose :
•[a0, b0] = [a, b]. Puis, par r´ecurrence :
•Si f(an+bn
2)> d, on pose [an+1, bn+1] = [an,an+bn 2].
•Si f(an+bn
2)< d, on pose [an+1, bn+1] = [an+bn 2, bn].
•Si f(an+bn
2) = d, fin : on pose c=an+bn 2.
Clairement (an) est croissante, (bn) est d´ecroissante, et (bn−an) tend vers 0 puisque la longueur
de l’intervalle est divis´ee par deux `a chaque ´etape. Soit cleur limite commune. Montrons que
cv´erifie f(c) = d:
- puisque lim(an) = cet fest continue on a (voir ch. 1) : lim f(an) = f(c). De plus, puique
la suite f(an) est major´ee par d, on a f(c)≤d.
- de mˆeme puisque lim(bn) = c, et fest continue on a : lim f(bn) = f(c). La suite f(bn) ´etant
minor´ee par d, on a f(c)≥d, d’o`u finalement f(c) = d.
3

Remarque - Cet algorithme est en g´en´eral infini (le 3`eme cas f(an+bn
2) = d´etant exceptionnel).
A l’it´eration n, il fournit une approximation de la solution cavec une erreur inf´erieure `a
(bn−an) = (b−a)/2n, ce qui permet de d´ecider du nombre d’it´erations n´ecesaires pour
obtenir un r´esultat avec une pr´ecision donn´ee.
Exercice 4. On consid`ere les fonctions x7→ xet x7→ cos(3πx)sur l’intervalle [0,1] (voir la
figure 3 ci-dessous).
1. Montrer que l’´equation cos(πx) = xadmet au moins une solution dans l’intervalle [0,1].
Est-elle unique ?
2. Donner une approximation d’une solution de cette ´equation avec une erreur inf´erieure
`a 0,05.
1
0,6
0,5
00,4
-0,5
-1
0,20
x
10,8
Figure 3 – Graphes de x7→ xet x7→ cos(3πx) sur [0,1]
.
4

2 D´erivabilit´e, th´eor`eme des accroissements finis.
Rappel. L’´equation d’une droite non verticale du plan muni des coordonn´ees (x, y) s’´ecrit
de mani`ere unique sous la forme y=px +q. Le coefficient pest son coefficient directeur
(ou pente). Si Met Nsont deux points de cette droite de coordonn´ees connues (xM, yM) et
(xN, yN), on calcule la pente par :
p=yN−yM
xN−xM
.
On obtient ensuite le coefficient qen consid´erant n’importe quel point connu Msur la droite :
b=yM−axM.
D´efinition. Soit fune fonction, aune valeur de son ensemble de d´efinition, Ale point
de coordonn´ees (a, f(a)) et Mun point quelconque de son graphe, de coordonn´ees (x, f (x)).
La fonction fest d´erivable en asi la s´ecante (AM) admet une position limite (non verticale)
lorsque Mtend vers A. Cette position limite est appel´ee tangente en A.
La fonction fest donc d´erivable si le coefficient directeur f(x)−f(a)
x−ade (AM) admet une
limite (finie) quand xtend vers a. Cette valeur limite (le coefficient directeur de la tangente)
est not´ee f′(a) :
f′(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a.
La fonction fest d´erivable sur un intervalle ouvert Isi elle est d´erivable en tout point ade
I. La fonction f′:a7→ f′(a) (fonction ”coefficients directeurs des tangentes”) est appel´ee
fonction d´eriv´ee de f.
Exercice 5. On consid`ere la fonction f:x7→ x2+ 1.
1. D´emontrez par un calcul de limite qu’elle est d´erivable au point Ad’abscisse a= 1, et
calculer l’´equation de la tangente en A.
2. En d´eduire la d´erivabilit´e et la tangente en a=−1(sans autre calcul).
3. Etudier la d´erivabilit´e en 0. Faire une repr´esentation graphique du graphe de fsur
[−2,+2] en pla¸cant d’abord ces 3 tangentes.
Remarque. Si fest d´erivable en aalors fest continue en a. Il suffit d’appliquer le
th´eor`eme sur le produit des limites `a f(x)−f(a) = f(x)−f(a)
x−a×(x−a).
La figure 2 du chapitre 1 (page 4) donne un exemple de fonction avec un point (en x=−2)
de continuit´e mais de non d´erivabilit´e : le taux d’accroissement admet une limite `a droite (et
donc une ”demi-tangente” `a droite), une limite `a gauche (et donc une ”demi-tangente” `a
gauche), mais les coefficients directeurs de ces demi-tangentes sont distincts. On parle alors
seulement de d´erivabilit´e `a droite ou `a gauche.
A nouveau, il y a des exemples de non d´erivabilit´e plus sauvages (sans l’existence de
demi-tangentes) :
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