Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes
ou des sommes partielles des séries numériques.
Kevin Quirin et Pierre Vigué
2011-2012
Dans la suite, on prend K = R ou C.
1
1.1
Définitions, séries à termes positifs
Définitions
Définition. Soit (un )n ∈ KN . La série de terme général un est la suite (Sn )n définie par
∀n ∈ N, Sn =
n
X
uk .
k=0
P
On note cette série
un .
Sn est la somme
partielle
d’indice n.
P
On dit que
un converge si la suite (Sn )n converge (sinon, on dit qu’elle diverge), et dans le cas de
∞
X
la convergence, lim Sn est la somme de la série, notée
un .
n=0
P
Si
un converge, on définit pour tout n le reste d’indice n par
Rn =
∞
X
un − Sn =
n=0
Exemple Soit q ∈ K. La série
|q| < 1.
Dans ce cas,
P
∞
X
uk
k=n+1
q n est appelée série géométrique, qui converge si et seulement si
∞
X
qn =
n=0
1
.
1−q
P
un est dite de Cauchy si (Sn )n est une suite de Cauchy.
P
Proposition. La série
un converge si et seulement si
n+p X ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N, uk < ε.
Définition. Une série
k=n
P
un converge, alors lim un = 0.
P
P
Définition. Une série
un est dite absolument convergente si
|un | converge.
Proposition. Si
Théorème. Une série absolument convergente est convergente.
1
1.2
Comparaison
Dans la suite, (un )n , (vn )n ∈ (R+ )N .
P
Théorème.
un converge si et seulement si (Sn ) est majorée.
Théorème. On a les résultats suivants :
– Si ∀n ∈ N, un 6 vn , alors
X
X
vn converge ⇒
un converge
– Si un = O(vn ), alors
X
vn converge ) ⇒ (
X
un converge
Théorème.
n ∼ vn . Alors :
P On suppose que uP
– Si P un converge, alorsP vn aussi et les restes des séries sont équivalents.
– Si
un diverge, alors
vn aussi et les sommes partielles sont équivalentes.
Application : formule de Stirling
n! ∼
√
1
2πnn+ 2 e−n .
Exemple : développement asymptotique de la suite définie par un+1 = sin un et u0 ∈ (0, π2 ).
1.3
Critères usuels
Dans ce paragraphe, on suppose un > 0 pour tout n.
un+1
Proposition (Règle de d’Alembert). On suppose lim
existe et vaut λ ∈ [0, ∞].
un
P
– si λ < 1, alors P un converge.
– si λ > 1, alors Pun diverge.
– si λ = 1+ , alors
un diverge.
√
Proposition (Règle P
de Cauchy). On suppose lim n un existe et vaut λ ∈ [0, ∞].
– si λ < 1, alors P un converge.
– si λ > 1, alors Pun diverge.
– si λ = 1+ , alors
un diverge.
Proposition (Règle de Raab-Duhamel). On suppose que
un+1
=
un
1+
Si a > 1 et α > 1, alors
1.4
P
a
n
1
+O
1
nα
.
un converge.
Comparaison à des séries usuelles
n−α converge si et seulement si α > 1.
X
1
Proposition (Séries de Bertrand). Soient α, β ∈ R. Alors
converge si et seulement si
nα logβ n
(α > 1) ou (α = 1 et β > 1).
Proposition (Séries de Riemann). Soit α ∈ R. Alors
P
La combinaison des résultats du 1.2 et sur les séries géométriques, de Riemann et de Bertrand permet
de traiter de nombreux exemples.
Exemples :
X sin2 n
–
converge.
n2
X1
– La série harmonique
diverge.
n
2
2
Cas général
On revient maintenant au cas (un )n ∈ KN .
2.1
La transformation d’Abel
Principe de la méthode :
Pn
Soit un = αn vn . On note Sn = k=0 vk . Alors
n
X
uk =
k=0
n−1
X
(αk − αk+1 )Sk + αn Sn .
k=0
Théorème (Règle d’Abel). Avec les notations précédentes :
P
si (αn ) est positive, décroissante, tend vers 0, et (Sn ) bornée, alors
un converge.
Application : Critère des séries alternées
P
Soit (an ) ∈ (R+ )N décroissante et tendant vers 0. Alors (−1)n an converge, et
∞
X
k
(−1) ak 6 an+1 .
k=n+1
Exemple :
2.2
X einθ
n
converge pour tout θ ∈ R\2πZ.
Ordre des termes
P
Définition. On
un est commutativement convergente et de somme S si pour toute bijection
P dit que
ϕ : N → N,
uϕ(n) converge et a pour somme S.
Théorème.
Sont équivalentes :
P
– P un converge absolument
–
un converge commutativement.
P
Théorème (de Riemann). Soit
un une série réellePsemi-convergente, et soit α ∈ R.
Alors il existe une bijection ϕ : N → N telle que
uϕ(n) converge, et
∞
X
uϕ(n) = α.
n=0
P
Théorème (Sommation par paquets).
un une série commutatiP Soit (Iα )α∈A une partition de N et
P
vement convergente. Alors ∀α ∈ A, n∈Iα un est commutativement convergente, vers Sα , et α∈A Sα
converge commutativement avec
∞
X
n=0
un =
X X
un
α∈A n∈Iα
Théorème. Si une série converge, alors toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs
converge aussi vers la même limite. Pour une série à termes positifs, toute série obtenue par regroupement
de termes consécutifs est de même nature.
ème
Exemple
entier naturel non nul dont l’écriture décimale ne comporte pas de 9.
P 1: on note pn le n
Alors
converge.
pn
2.3
Produit de convolution
P
P
Théorème (de Mertens). Soit
un une série absolument convergente de somme U , et soit
vn une
série convergente P
de somme V . P
n
Alors la série
wn , où wn = i=0 ui vn−i , converge, et a pour somme U V .
(−1)n
Exemple : contre-exemple de Cauchy Avec un = vn = √
, la série produit diverge.
n+1
3
2.4
Séries doubles
Théorème. Soit (up,q )(p,q)∈N2 une suite à double entrée. Sont équivalentes :
!
∞
X X
P
(i) Pour tout q ∈ N, p up,q converge abolument et
|up,q | converge
q
(ii) Pour tout p ∈ N,
P
q
up,q converge abolument et
p=0
∞
X X
p
Dans ce cas,
∞ X
∞
X
up,q =
p=0 q=0
Exemple :
∞
X
!
|up,q |
converge
q=0
∞ X
∞
X
up,q .
q=0 p=0
(ζ(k) − 1) = 1,
k=2
où ζ est la fonction de Riemann
ζ(k) =
∞
X
n−k .
n=1
3
Utilisation de fonctions
3.1
Utilisation d’une intégrale
Théorème. Soit f : R+ → R+ décroissante, continue par morceaux. Alors σf (n) et
même nature.
R∞
0
f (t)dt ont
Exemple : On a :

E
9
10
X

 = 2997.
n=1
Z
1
Théorème. Soient x0 > 0 et f : [x0 , ∞) → C de classe C . Si
Z ∞
f (t)dt sont de même nature.
∞
|f 0 (t)|dt converge, alors
P
f (n) et
x0
x0
Application : On peut prolonger ζ : {s ∈ C | <(s)} → C à {s ∈ C | <(s) > 0}\{1}.
3.2
Séries entières
Définition. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme
complexe, et (an )n ∈ CN .
On appelle rayon de convergence le nombre
P
n
an z n , où z est une variable
R = sup{r > 0 | ∃M > 0, ∀n ∈ N, |an rn | < M }.
P
Théorème
(d’Abel angulaire). Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 1, telle que
P
an converge. On note f la somme de cette série entière sur le disque unité. Pour θ0 ∈ [0, π2 ), on pose
∆θ0 = {z ∈ C, |z| < 1 | ∃ρ > 0, ∃ϕ ∈ [−θ0 , θ0 ], z = 1 − ρeiϕ .
Alors
lim
z→1,z∈∆θ0
f (z) =
∞
X
n=0
4
an .
Exemple : On a
∞
X
π
(−1)n
= lim arctan x = .
x→1,x<1
2n + 1
4
n=0
P
Théorème (taubérien faible). Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 1, et soit f
la somme de cette série sur le disque unité. On suppose :
1
∃S ∈ C,
lim f (x) = S et an = o
.
x→1,x<1
n
P
Alors
an converge, vers S.
3.3
Séries de Fourier
Définition. Soit f : R → C une fonction 2π-périodique, continue par morceaux. On appelle coefficients
de Fourier de f les nombres :
Z 2π
1
f (t)e−int dt.
∀n ∈ Z, cn (f ) =
2π 0
P
On appelle série de Fourier associée à f la série n∈Z cn (f )einx .
Théorème (de Dirichlet). Si f est 2π-périodique et C 1 par morceaux, alors pour tout x ∈ R,
∞
X
cn (f )einx
n=−∞
f (x+ ) + f (x− )
.
converge vers
2
Application : Formule d’Euler
On définit les nombres de Bernoulli bn par
∞
X
bn n
z
=
z .
z
e − 1 n=0 n!
On a alors :
X 1
(2π)2k
= (−1)k−1
b2k .
2k
n
2(2n)!
n>1
Théorème
X (Formule de Parseval). Soit f : R → C une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
Alors
|cn (f )|2 converge, et
n∈Z
X
n∈Z
1
|cn (f )| =
2π
2
2π
Z
|f (t)|2 dt.
0
Exemple : on peut retrouver avec la formule de Parseval :
∞
X
1
π4
=
.
n4
90
n=1
Théorème (Formule sommatoire de Poisson). Soit f ∈ S(R). On pose pour tout n ∈ Z, fˆ(n) =
Z
R
Alors
X
f (n) =
n∈Z
X
fˆ(n).
n∈Z
Application : Pour tout s > 0 :
X
2
e−πn
s
= s−1/2
n∈Z
X
n∈Z
5
e−πk
2
/s
.
f (t)e−2iπnt dt.