Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes
ou des sommes partielles des séries numériques.
Kevin Quirin et Pierre Vigué
2011-2012
Dans la suite, on prend K=Rou C.
1 Définitions, séries à termes positifs
1.1 Définitions
Définition. Soit (un)n∈KN. La série de terme général unest la suite (Sn)ndéfinie par
∀n∈N, Sn=
n
X
k=0
uk.
On note cette série Pun.
Snest la somme partielle d’indice n.
On dit que Punconverge si la suite (Sn)nconverge (sinon, on dit qu’elle diverge), et dans le cas de
la convergence, lim Snest la somme de la série, notée
∞
X
n=0
un.
Si Punconverge, on définit pour tout nle reste d’indice npar
Rn=
∞
X
n=0
un−Sn=
∞
X
k=n+1
uk
Exemple Soit q∈K. La série Pqnest appelée série géométrique, qui converge si et seulement si
|q|<1.
Dans ce cas,
∞
X
n=0
qn=1
1−q.
Définition. Une série Punest dite de Cauchy si (Sn)nest une suite de Cauchy.
Proposition. La série Punconverge si et seulement si
∀ε > 0,∃N∈N,∀n>N, ∀p∈N,
n+p
X
k=n
uk < ε.
Proposition. Si Punconverge, alors lim un= 0.
Définition. Une série Punest dite absolument convergente si P|un|converge.
Théorème. Une série absolument convergente est convergente.
1

1.2 Comparaison
Dans la suite, (un)n,(vn)n∈(R+)N.
Théorème. Punconverge si et seulement si (Sn)est majorée.
Théorème. On a les résultats suivants :
– Si ∀n∈N, un6vn, alors
Xvnconverge ⇒Xunconverge
– Si un=O(vn), alors
Xvnconverge )⇒(Xunconverge
Théorème. On suppose que un∼vn. Alors :
– Si Punconverge, alors Pvnaussi et les restes des séries sont équivalents.
– Si Pundiverge, alors Pvnaussi et les sommes partielles sont équivalentes.
Application : formule de Stirling
n!∼√2πnn+1
2e−n.
Exemple : développement asymptotique de la suite définie par un+1 = sin unet u0∈(0,π
2).
1.3 Critères usuels
Dans ce paragraphe, on suppose un>0pour tout n.
Proposition (Règle de d’Alembert).On suppose lim un+1
un
existe et vaut λ∈[0,∞].
– si λ < 1, alors Punconverge.
– si λ > 1, alors Pundiverge.
– si λ= 1+, alors Pundiverge.
Proposition (Règle de Cauchy).On suppose lim n
√unexiste et vaut λ∈[0,∞].
– si λ < 1, alors Punconverge.
– si λ > 1, alors Pundiverge.
– si λ= 1+, alors Pundiverge.
Proposition (Règle de Raab-Duhamel).On suppose que
un+1
un
=1
1 + a
n+O1 nα.
Si a > 1et α > 1, alors Punconverge.
1.4 Comparaison à des séries usuelles
Proposition (Séries de Riemann).Soit α∈R. Alors Pn−αconverge si et seulement si α > 1.
Proposition (Séries de Bertrand).Soient α, β ∈R. Alors X1
nαlogβnconverge si et seulement si
(α > 1) ou (α= 1 et β > 1).
La combinaison des résultats du 1.2 et sur les séries géométriques, de Riemann et de Bertrand permet
de traiter de nombreux exemples.
Exemples :
–Xsin2n
n2converge.
– La série harmonique X1
ndiverge.
2

2 Cas général
On revient maintenant au cas (un)n∈KN.
2.1 La transformation d’Abel
Principe de la méthode :
Soit un=αnvn. On note Sn=Pn
k=0 vk. Alors
n
X
k=0
uk=
n−1
X
k=0
(αk−αk+1)Sk+αnSn.
Théorème (Règle d’Abel).Avec les notations précédentes :
si (αn)est positive, décroissante, tend vers 0, et (Sn)bornée, alors Punconverge.
Application : Critère des séries alternées
Soit (an)∈(R+)Ndécroissante et tendant vers 0. Alors P(−1)nanconverge, et
∞
X
k=n+1
(−1)kak 6an+1.
Exemple :Xeinθ
nconverge pour tout θ∈R\2πZ.
2.2 Ordre des termes
Définition. On dit que Punest commutativement convergente et de somme Ssi pour toute bijection
ϕ:N→N,Puϕ(n)converge et a pour somme S.
Théorème. Sont équivalentes :
–Punconverge absolument
–Punconverge commutativement.
Théorème (de Riemann).Soit Punune série réelle semi-convergente, et soit α∈R.
Alors il existe une bijection ϕ:N→Ntelle que Puϕ(n)converge, et
∞
X
n=0
uϕ(n)=α.
Théorème (Sommation par paquets).Soit (Iα)α∈Aune partition de Net Punune série commutati-
vement convergente. Alors ∀α∈A,Pn∈Iαunest commutativement convergente, vers Sα, et Pα∈ASα
converge commutativement avec
∞
X
n=0
un=X
α∈AX n∈Iα
un
Théorème. Si une série converge, alors toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs
converge aussi vers la même limite. Pour une série à termes positifs, toute série obtenue par regroupement
de termes consécutifs est de même nature.
Exemple : on note pnle nème entier naturel non nul dont l’écriture décimale ne comporte pas de 9.
Alors P1
pnconverge.
2.3 Produit de convolution
Théorème (de Mertens).Soit Punune série absolument convergente de somme U, et soit Pvnune
série convergente de somme V.
Alors la série Pwn, où wn=Pn
i=0 uivn−i, converge, et a pour somme UV .
Exemple : contre-exemple de Cauchy Avec un=vn=(−1)n
√n+ 1, la série produit diverge.
3

2.4 Séries doubles
Théorème. Soit (up,q)(p,q)∈N2une suite à double entrée. Sont équivalentes :
(i) Pour tout q∈N,Ppup,q converge abolument et X
q ∞
X
p=0 |up,q|!converge
(ii) Pour tout p∈N,Pqup,q converge abolument et X
p ∞
X
q=0 |up,q|!converge
Dans ce cas,
∞
X
p=0
∞
X
q=0
up,q =
∞
X
q=0
∞
X
p=0
up,q.
Exemple :
∞
X
k=2
(ζ(k)−1) = 1,
où ζest la fonction de Riemann
ζ(k) =
∞
X
n=1
n−k.
3 Utilisation de fonctions
3.1 Utilisation d’une intégrale
Théorème. Soit f:R+→R+décroissante, continue par morceaux. Alors σf (n)et R∞
0f(t)dtont
même nature.
Exemple : On a :
E
109
X
n=1
= 2997.
Théorème. Soient x0>0et f: [x0,∞)→Cde classe C1. Si Z∞
x0|f0(t)|dtconverge, alors Pf(n)et
Z∞
x0
f(t)dtsont de même nature.
Application : On peut prolonger ζ:{s∈C| <(s)} → Cà{s∈C| <(s)>0}\{1}.
3.2 Séries entières
Définition. On appelle série entière toute série de fonctions de la forme Pnanzn, où zest une variable
complexe, et (an)n∈CN.
On appelle rayon de convergence le nombre
R= sup{r>0| ∃M > 0,∀n∈N,|anrn|< M }.
Théorème (d’Abel angulaire).Soit Panznune série entière de rayon de convergence R>1, telle que
Panconverge. On note fla somme de cette série entière sur le disque unité. Pour θ0∈[0,π
2), on pose
∆θ0={z∈C,|z|<1| ∃ρ > 0,∃ϕ∈[−θ0, θ0], z = 1 −ρeiϕ.
Alors
lim
z→1,z∈∆θ0
f(z) =
∞
X
n=0
an.
4

Exemple : On a
∞
X
n=0
(−1)n
2n+ 1 = lim
x→1,x<1arctan x=π
4.
Théorème (taubérien faible).Soit Panznune série entière de rayon de convergence R>1, et soit f
la somme de cette série sur le disque unité. On suppose :
∃S∈C,lim
x→1,x<1f(x) = Set an=o1
n.
Alors Panconverge, vers S.
3.3 Séries de Fourier
Définition. Soit f:R→Cune fonction 2π-périodique, continue par morceaux. On appelle coefficients
de Fourier de fles nombres :
∀n∈Z, cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt.
On appelle série de Fourier associée à fla série Pn∈Zcn(f)einx.
Théorème (de Dirichlet).Si fest 2π-périodique et C1par morceaux, alors pour tout x∈R,
∞
X
n=−∞
cn(f)einx
converge vers f(x+) + f(x−)
2.
Application : Formule d’Euler
On définit les nombres de Bernoulli bnpar
z
ez−1=
∞
X
n=0
bn
n!zn.
On a alors :
X
n>1
1
n2k= (−1)k−1(2π)2k 2(2n)! b2k.
Théorème (Formule de Parseval).Soit f:R→Cune fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
Alors X
n∈Z|cn(f)|2converge, et
X
n∈Z|cn(f)|2=1
2πZ2π
0|f(t)|2dt.
Exemple : on peut retrouver avec la formule de Parseval :
∞
X
n=1
1
n4=π4 90 .
Théorème (Formule sommatoire de Poisson).Soit f∈ S(R). On pose pour tout n∈Z,ˆ f(n) = ZR f(t)e−2iπntdt.
Alors X
n∈Z
f(n) = X
n∈Z
ˆ
f(n).
Application : Pour tout s > 0:
X
n∈Z
e−πn2s=s−1/2X
n∈Z
e−πk2/s.
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