FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. I

FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE.
I LA FONCTION EXPONENTIELLE
1° Généralités
Il existe de nombreuses situations en sciences expérimentales et en sciences économiques dans lesquelles des
phénomènes peuvent être modélisés par des équations du type y' = k y, où y désigne une fonction définie et
dérivable sur un intervalle I.
Résoudre sur I l’équation différentielle que l’on note y' = k y, c’est rechercher toutes les fonctions f dérivables sur
l’intervalle I qui vérifie la relation : f '(x) = k f(x) pour tout x de I
Si de plus, le problème considéré impose aux fonctions f cherchées des conditions qui se traduisent par une égalité
de la forme f(x0) = y0 où x0 et y0 sont deux réels donnés avec x0 élément de I, on dit que l’on résout
l’équation différentielle avec condition initiale (à savoir f(x0) = y0) que l’on note alors : y' = k y
y(x0) = y0
2° Cas particulier : équation différentielle y' = y, y(0) = 1. Fonction exponentielle
a) Définition
Il existe une fonction f, dérivable sur IR, solution de l'équation différentielle Y '= Y et telle que f(0) = 1 que l'on
appelle la fonction exponentielle.
Existence de f :
La méthode d'Euler suggère d'étudier les suites  1 + x
n
n
et  1 – x
n
n
.
On admet provisoirement que pour tout réel x ces deux suites convergent vers la même limite et on note
provisoirement exp (x).
b) Démonstration. Unicité de f
Démontrons d'abord que exp ne s'annule pas sur IR .
Soit la fonction φ définie sur IR par φ (x) = exp(x) exp(– x). φ est dérivable sur IR et
φ'(x) = exp'(x) exp(–x) – exp(x) exp'(– x) = 0.
La fonction φ est constante sur IR et égale à 1 car exp(0) = 1. donc φ(0) = 1
Donc pour tout réel x, exp(x) × exp(– x) = 1. exp ne s'annule donc pas sur IR .
Démontrons maintenant l'unicité de la solution.
Soit f une solution de y' = y
y(0) = 1
On définit h la fonction définie sur IR par h(x) = f(x)
exp(x)
Remarque : f est bien définie sur IR car la fonction exp est définie sur IR et elle ne s'annule pas sur IR.
On va démontrer que la fonction h est constante sur IR et pour tout réel x h(x) = 1 ce qui démontrera que les
fonction f et exp sont identiques.
h est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR et h est définie sur IR donc h est dérivable sur IR.
h '(x) = f
'(x) × exp (x) – f(x) × exp '(x)
(exp(x))2 = f(x) × exp(x) – f(x) × exp(x) (exp(x))2 = 0.
En effet pour tout réel x f '(x) = f(x) et exp '(x) = exp(x).
La fonction h a donc sa fonction dérivée nulle sur l'intervalle IR elle est donc constante sur IR.
Pour tout réel x h(x) =h(0) = f(0)
exp(0) = 1 1 = 1.
On a donc bien pour tout réel x, f(x)
exp(x) = 1 c'est à dire f(x) = exp(x).
2° Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive sur IR.
Démonstration
On démontre maintenant, par l'absurde, que la fonction exp est strictement positive.
S'il existait x0, tel que exp(x0) ≤ 0, alors, exp étant dérivable sur IR, elle est continue sur IR. En appliquant le
théorème des valeurs intermédiaires à la fonction exp sur [0 ; x0] ou [x0 ; 0], on trouverait une solution à l'équation
exp(x) = 0. Ceci est faux puisqu'on a montré que exp ne s'annule jamais, donc xo tel que exp(x0) ≤ 0 n'existe pas.
Remarque : si f est continue sur un intervalle I et si f ne s'annule pas sur cet intervalle alors f garde un signe
constant sur l'intervalle I.

3° propriété ("caractéristique" de la fonction exp)
Pour tous nombres réels a et b, exp (a + b) = exp(a) × exp(b).
Démonstration
Soit la fonction g définie sur IR par g(x) = exp(a+ b – x) ×exp(x) où a et b sont des nombres réels. g est dérivable
sur IR, et on a pour tout réel x : g '(x) = – exp(a + b – x) × exp (x) + exp(a + b – x) × exp '(x) = 0
car exp '(x) = exp(x)
la fonction g est donc constante sur l'intervalle IR
g(a) = g(b) = exp(a) × exp(b)
g(0) = g(a + b) = exp(a + b)
on a donc : exp(x + b) = exp(x) exp(b).
La propriété est "caractéristique" de la fonction exp
f est dérivable sur IR
pour tout réel a et b : f(a + b) = f(a) × f(b)
f '(0) = 1
caractérise la fonction exp.
C'est à dire que si une fonction f vérifie 
f est dérivable sur IR
pour tout réel a et b : f(a + b) = f(a) × f(b)
f '(0) = 1
.
Alors cette fonction est la fonction exp.
Démonstration
Soit f une fonction vérifiant 
f est dérivable sur IR
pour tout réel a et b : f(a + b) = f(a) × f(b)
f '(0) = 1
Pour tout réel a, f(a + 0) = f(a) × f(0) donc pour tout réel a : f(a) (1 – f(0)) = 0
Comme f '(0) ≠ 0 on peut dire que la fonction f n'est pas constant sur I et donc qu'il existe un réel a tel que f(a) ≠ 0.
On peut donc conclure que f(0) = 1
Pour tout réel a on pose ga la fonction définie sur IR par : ga(x) = f(a + x) = f(a) × f(x).
ga est la composée de deux fonctions dérivables sur IR elle est donc dérivable sur IR
on peut alors calculer la fonction dérivable de g de deux manières différentes
En utilisant l'égalité : ga(x) = f(a + x)
Pour tout réel x on a donc :
Pour tout réel x on a ga(x) = f(a + x) donc ga '(x) = f '(a + x) × (x + a)'
En utilisant l'égalité : ga(x) = f(a) × f(x)
Pour tout réel x on a :ga(x) = f(a) × f(x) donc ga '(x) = f(a) × f '(x)
En comparant les deux calculs on peut dire que :
Pour tout réel x f '(a + x) = f (a) × f '(x).
Pour x = 0 on obtient (pour tout réel a): f '(a + 0) = f(a) × f '(0) c'est à dire f '(a) = f(a) (car f '(0) = 1)
On peut dire que pour tout réel a, f '(a) = f(a)
f vérifie f(0) = 1
f ' = f f est donc la fonction exp

II NOTATION ex
1° Cas de x ∈
∈∈
∈ IQ
Le nombre réel exp(l) se note e.
• Tout d'abord, on montre, par récurrence, que, pour tout nombre n entier naturel, on a :
« exp(n) = (exp(1))n. »
Initialisation
On a : exp(0) = 1 et (exp(1))0 = 1
La propriété est donc vraie pour n = 0
Hérédité
Considérons un entier k, on ait exp(k) = exp(1))k.
On a vu qu'alors :
exp((k + 1)) = exp(k) × exp(1)= exp(1))k × exp(1) = (exp(1))k+ 1 .
On a bien exp(k + 1) = (exp(1))k+1
Conclusion
La propriété est vérifiée pour n = 0.et elle est héréditaire donc pour tout nombre entier n exp(n) = (exp(1)n = en
• Pour tout entier relatif m on a : exp(m) = em
Si m ∈ IN la propriété a été vérifié.
Si m = – n avec n ∈ IN
Par définition, exp(1) = e et on a vu que, exp(n) × exp(–n) = 1.
Donc exp(m) = exp(–n) = 1
exp(n) = 1 (exp(1))n = (exp(1)–n = (exp(1))m = em
• Pour tout nombre rationnel q : exp(q) = eq
Si q est un nombre rationnel, on peut écrire q = p × a avec a = 1
q , q entier strictement positif et p un entier relatif. :
exp(1) = exp(q a) = (exp(a))q.
On peut donc dire que : exp(a) = (exp(1))
1
q
exp(q) = exp(p a) = exp(a)p =  (exp(1))
1
q
p
= (exp(1))
p
q Soit exp(q) = (exp(1)q = eq
Donc, pour tout q élément de IQ, exp(q) = eq .
2° Notation
• On étend cette propriété à IR et on convient de noter ex le nombre exp(x) pour tout x élément de IR.
Remarques Ainsi e
2
a un sens, c'est l'image de 2 par la fonction exp : x
→
ex .
On a aussi e0 = 1 ; el = e ; e–1 = 1 ; e
2
1
= e
3° Conséquences
Pour tous nombres réels a et b . ea+b = ea ×eb
e–a = 1
ea
ea–b = ea
eb
Pour tout nombre réel a et tout nombre rationnel r : era = (e°)r.
Exemples
ex+1 = ex × e ; ex–2 = ex × e2 ; e2x = (ex)2 ; e
2
x
= ex.
Remarque
Ne pas confondre e
(
)
b
a
et
( )
ea b ; ainsi e
2
x
= exp(x2) alors que (ex)2 = e2x.

III ETUDE DE LA FONCTION x
→
→→
→
ex
D'après sa définition : solution de l'équation différentielle Y ' = Y et telle que f(0) = 1, la fonction x
→
ex est
dérivable sur IR donc continue sur IR, et égale à sa dérivée.
1° Variations
• x
→
ex est strictement croissante sur IR.
Démonstration
On a (ex )' = ex et pour tout x ex > 0.
2° Limite en 0
lim
x → 0
ex – 1
x = 1
Démonstration
La fonction x
→
ex est dérivable en 0 donc son taux de variation ex – 1
x a pour limite en 0 le nombre dérivé de
x
→
ex en 0, soit : lim
x → 0 ex – 1
x = e0
3° limites en + ∞
∞∞
∞ et en – ∞
∞∞
∞
lim
x → +∞
ex = + ∞ lim
x → –∞
ex = 0
Démonstration
• Pour étudier la limite en + ∞ , on montre d'abord que, pour tout x,
ex ≥ x Soit la fonction f définie sur R par f (x) = ex – x.
f est dérivable sur IR et f (x) = ex – 1.
Comme exp est croissante sur IR et e0 = 1, on obtient le tableau de
variations de f ci-dessous.
Comme, pour tout x, f(x) > 0, on a ex > x et,
d'après un des théorèmes « des gendarmes », on a : lim
x → +∞
ex = + ∞
.• Pour étudier la limite en – ∞ , on pose X = – x et on a ex = e–X = 1
eX. :
lim
x → –∞
ex = lim
x → –∞
e–X = lim
x → +∞
1
eX = 0 car lim
x → +∞
eX = + ∞
4° Tableau de variations de la fonction exp et représentation graphique
x
−
∞
1
1
+
∞
signe de f '
+
+
+
+
∞
f e
1
0
• La courbe représentative de la fonction : x
→
ex passe par les points de coordonnée (0 ; l) et (1 ; e).
• La tangente à la courbe représentative de la fonction : x
→
ex au point de coordonnées (0 ;1) a pour équation
y = x + 1. De plus, pour h « assez petit » : eh ≈ 1 + h.
• La courbe représentative de la fonction x
→
ex est au-dessus de l'axe des abscisses, qui est une droite asymptote.
5° Conséquences
• Pour tout nombre réel x : ex > 0.
• Pour tous nombres réels x et y : ex = ey équivaut à x = y . ex > ey' équivaut à x > y.
Exemples
• e3x = ex+1 équivaut à 3x = x + 1. • ex ≥ 1 équivaut à x ≥ 0. • ex = 1 équivaut à x = 0.
6° Fonction eu(x)
Soit u une fonction définie sur un intervalle I.
Si u est dérivable sur I, alors la fonction x
→
eu(x) est dérivable sur I et sa dérivée est : x
→
u '(x) eu(x).
Démonstration
D'après le théorème de la dérivée d'une fonction composée, x
→
ex étant dérivable sur IR et u dérivable sur I, la
fonction composée : x
→
u-(x)
→
eu(x) est dérivable sur I de dérivée x
→
u'(x) eu(x).
Exemple La fonction x
→
esin x est dérivable sur IR de dérivée x –
→
cos x esin x.
x
−
∞
0
+
∞
f '
–
+
f
1

7° Des limites fondamentales
lim
x → +∞
ex
x = + ∞ lim
x → –∞
x ex = 0
Démonstration
• On a vu que, pour tout x, ex > x.
Donc, pour tout x, ex/2 ≥ x
2 et, pour tout x ≥ 0,
( )
ex/2 2 ≥ 
x
2
2
soit ex ≥ x2
4 donc ex x ≥ x 4.
D'après un des « théorèmes des gendarmes », on obtient lim
x → +∞
ex
x = + ∞ .
• On a x ex = x
e–x .En posant X = – x, on a : x ex = – X eX .
Or lim
x → +∞
X
eX = 0 donc lim
x → –∞
x ex = lim
x → +∞
– X
eX = 0
8° Autres limites
Pour tout nombre entier n strictement positif n
• lim
x → +∞ ex
xn = + ∞ • lim
x → –∞ xn ex = 0.
Démonstration
• Comme ex > 0, - = ex
xn = 
ex/n
n×x/n
n
.
On pose X = x
n on a lim
x → +∞
eX
X = + ∞ donc : lim
x → +∞
ex
xn = lim
x → +∞
eX
n X
n
= + ∞
• On pose x = – X. On a : xn ex = (– X)n e–X, soit xn ex = (– 1)n Xn
eX.
Donc lim
x → –∞ xn ex = lim x → +∞ (– 1)n Xn
eX = 0
Pour les limites en + ∞ et en –∞, on retiendra que « exp l'emporte sur x » .
III EQUATION DIFFERENTIELLE Y'= A Y+ B
1° Théorème
Soit a un nombre réel.
• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y '= a Y sont définies sur IR par : f(x) = k eax où k est une
constante réelle.
• Soit (x0; y0) un couple de nombre réels.
L'équation différentielle Y '= a Y admet une solution unique sur R vérifiant les conditions initiales : y0 = f(x0).
Démonstration
La fonction x
→
eax est solution de l'équation Y ' = a Y.
Si f est une autre solution de l'équation Y ' = a Y
Soit g la fonction définie sur
°
par g(x) = f(x)
eax
On a : g '(x) = f '(x) eax – a f(x) eax
(eax)2 = 0 donc g est une fonction constante donc f est de la forme k × eax
La condition y0 = f(x0) s'écrit y0 = k ea xo soit k = y0
eaxo.
Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y'= aY et vérifiant y0 = f (x0).
Exemple : Soit l'équation différentielle Y ' = – 2 Y.
Les solutions sont les fonctions x
→
ke–2x définies sur IR. Parmi ces solutions, une seule vérifie f(1) = 3
f(1) = 3 équivaut à 3 = k e–2, soit k = 3 e2, donc f(x) = 3 e2 e–2x = 3e2–2x.
Remarque : Le réel a et le point A(xo ; yo) sont donnés.
Parmi les courbes représentatives des solutions de Y ' = a Y, il existe une seule courbe passant par A.