PROBABILITÉS I. LOI DE PROBABILITÉ On réalise des

PROBABILITÉS
I. LOI DE PROBABILITÉ
On réalise des expériences aléatoires, encore appelées épreuves, qui peuvent être répétées dans des conditions
identiques, On connaît l’ensemble des résultats possibles, sans pour autant en prévoir le résultat à priori.
On suppose que l’épreuve a un nombre fini n d’issues ou d’éventualités. On les notera e i .
On désigne par U l’ensemble de ces n issues e i . U est appelé l’univers.
U = {e 1 ; e 2 ; e 3 ; … ; e n}
Définition 1
Définir une loi de probabilité sur l’univers U, c’est associer à chaque issue e i
On a toujours
un réel positif pi , tel que p1 + p2 + … + pn = 1.
0  p i.  1
Ce réel p i est appelé probabilité de l’issue e i .
On représente souvent une loi de probabilité par un tableau.
issues e i
e1
probabilités pi p1
e2
p2
e3
p3
…
…
en
pn
Exercice 1 On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro porté par
la face supérieure.
issues e i
L’univers est U = { ……
La loi de probabilité est donnée par le tableau
probabilités pi
ci-contre.
Définition 2
On dit que la loi est équirépartie, ou qu’il y a équiprobabilité, lorsque toutes les issues
ont la même probabilité.
Dans l’exercice 1 la loi est équirépartie.
Propriété 1 Si la loi est équirépartie alors chacune des n issues a pour probabilité 1 .
n
Démonstration
On a p1 + p2 + … + pn = 1 et p1 = p2 = … = pn = p donc n p = 1, soit p = 1 .
n
Exercice 2 On dispose d’un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Une étude statistique permet d’observer que les faces de 1 à 5 ont
la même fréquence de sortie et que plus le nombre de lancers
augmente plus la fréquence de sortie de la face 6 se rapproche de 0.3.
Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
ei
pi
II. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
Définition 3 Un événement A est une partie, ou un sous-ensemble, de l’univers U . On note : A  U .
Vocabulaire
 On dit que l’issue e i réalise l’événement A lorsque e i  A.
 U est appelé événement certain, toutes les issues le réalisent.
  est appelé événement impossible, aucune issue ne le réalise.
Définition 4 Une loi de probabilité est définie sur l’univers U.
La probabilité de l’événement A est la somme des probabilités pi des issues qui le réalisent. On la note p (A).
La probabilité de l’événement impossible  est p () = 0 .
1/2
Propriété 2  La probabilité de l’événement certain U est p (U) = 1 .
 Pour tout événement A, 0  p (A)  1.
Toute probabilité non comprise
entre 0 et 1 doit impérativement être
signalée comme fausse.
Exercice 3 On lance le dé pipé de l’exercice 2.
1) Soit A l’évènement « Obtenir un résultat pair ». Compléter.
A est réalisé par les issues ……
On peut noter A = {……
La probabilité de l’évènement A est p (A) = ……
Si le dé n’est pas pipé alors la probabilité de l’évènement A est p (A) = ……
2) Définir les évènements B = { 1 , 2 } et C = { 4 , 5 , 6 } par une phrase et calculer leur probabilité.
3) Définir par une phrase un événement certain puis un événement impossible.
Propriété 3 Lorsqu’il y a équiprobabilité :
p(A) = nombre d’issues réalisant A = nombre de cas favorables
nombre total d’issues dans U
nombre total de cas
III. ÉVÉNEMENTS A  B , A  B et Ā
Définition 5 Soient A et B deux événements de l’univers U.
 L’événement A et B, noté A  B , est constitué des issues qui réalisent à la fois A et B.
 L’événement A ou B , noté A  B , est constitué des issues qui réalisent au moins l’un des deux événements.
 Lorsque A  B =  (aucune issue ne réalise A et B en même temps) on dit que A et B sont incompatibles
ou disjoints.
Propriété 4  p (A  B) + p (A  B ) = p (A) + p (B) .
 p (A  B) = p (A) + p (B) si, et seulement si, A et B sont incompatibles.
Exercice 4 Suite de l’exercice 3. Compléter puis calculer p (A  B) et p (B  C) à l’aide de la propriété 4.
A  B est réalisé par ……
donc p (A  B ) = ……
B  C est réalisé par ……
donc p (B  C ) =
A  B = { 2 , 4 , 6 }  { 1 , 2 } = ……
B  C = { 1 , 2 }  { 4 , 5 , 6 } = ……
p (A  B) = ……
p (B  C) = ……
Définition 6
L’événement contraire de l’évènement A est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A.
On le note Ā (on lit : « A barre »).
 Le contraire de l’événement impossible  est l’événement certain  (  = U ) et vice-versa ( U =  ).
 Un événement A et son contraire Ā sont incompatibles : A  Ā = .
Propriété 5 p (Ā) + p (A) = 1
Cette propriété est particulièrement utile pour calculer p (A) lorsque
le calcul de p (Ā) est plus simple que celui de p (A) .
Exercice 5 Suite de l’exercice 3. Définir par une phrase les événements Ā et ̅.
Calculer p (Ā) et p (̅) à l’aide de la propriété 5
2/2