TP révisions

TP MAPLE
Munsch Marc
22 juin 2010
Règle de Descartes
La règle de Descartes ramène l’étude du nombre de racines strictement po-
sitives d’un polynôme à coefficients réels à l’évaluation d’une fonction simple :
le nombre de changements de signe dans la suite des coefficients du polynôme.
On note V(a) = V(a1,· · · , ak)le nombre de changements de signe d’une
suite finie a∈(R∗)k. On a alors le résultat suivant :
Théoreme. Le nombre µ(P)de racines strictement positives(comptées avec
leur ordre de multiplicité) d’un polynôme
P(X) =
d
X
i=0
aiXi∈R[X]
est majoré par V(a0,· · · , ad). De plus la différence V(a0,· · · , ad)−µ(P)est
paire. Si le polynôme Pa toutes ses racines réelles, alors on a l’égalité µ(P) =
V(a0,· · · , ad).
Exercice 1 Démontrer le théorème puis implémenter la règle de Descartes.
On l’appliquera ensuite pour déterminer si une matrice symétrique est définie
positive par exemple sur la matrice Mde taille 10 où aij =1
i+j−1.
Factorisation de polynômes sur Z
Soit Pun polynôme à coefficients entiers. On aimerait factoriser P, une mé-
thode découverte par Schubert repose sur l’observation suivante : pour tout en-
tier r,P(r)est un entier. Supposons Pde degré met réductible alors on sait que
Pa un facteur de degré ≤m
2. Posons d=m 2si mest pair et d=m−1 2si mest im-
pair. Soient n0,· · · , nddes entiers distincts et posons P(n0) = r0,· · · , P (nd) =
rdqui sont entiers. Supposons maintenant que P(X) = A(X)B(X)avec deg(A)≤
d. Alors on a pour tout ni:
A(ni)B(ni) = P(ni) = ri
Donc A(ni)divise riet le vecteur (A(n0),· · · , A(nd)) est un vecteur de divi-
seurs de (r0,· · · , rd). Ainsi tout diviseur Ade degré ≤dfigure parmi un nombre
1

fini de polynômes possibles, les polynômes Qvérifiant (Q(n0),· · · , Q(nd)) =
(q0,· · · , qd)où (q0,· · · , qd)est un vecteur de diviseurs de (r0,· · · , rd). Pour
trouver un facteur de Pde degré ≤d, il suffit de les tester parmi les polynômes
interpolateurs des qiaux points ni. Ceci fournit donc un algorithme qui factorise
Pen un nombre fini d’étapes.
Exercice 2 Utiliser cette méthode pour montrer que le polynôme P(x) =
x4+x+ 1 est irréductible sur Z.
Spirale d’Ulam
Cette fameuse spirale est une représentation visuelle des nombres premiers.
Pour la tracer, on se place sur une feuille quadrillée. On part d’une origine
qui va représenter l’entier 1 puis on se déplace d’une case vers la droite qui
va représenter l’entier 2 et on continue ainsi de suite en dessinant une spirale
"carrée". On colorie chaque point qui représente un nombre premier.
Exercice 3 Ecrire une procédure qui prend en entrée un entier net sort les
coordonnées des (2n+ 1)2points de la spirale. Représenter graphiquement les
points de la spirale pour n= 200 par exemple.
Symbole de Jacobi
On pose pour pun nombre premier impair, et nun entier, n
ple symbole
de Legendre, valant 0si pdivise n, et si pne divise pas n,1si nest un carré
modulo pet −1sinon.
Rappeler pourquoi n
p=np−1
2mod p.
On prolonge cette définition à tout couple d’entiers net m, avec mimpair,
en posant :
n
m=Y
in
piei
où m=Qipei
iest la décomposition en produit de facteurs premiers de m.
Montrer que le symbole de Jacobi n
mne dépend que de la classe de n
modulo m. Montrer qu’il vaut 1si nest un carré modulo p, pour tout diviseur p
premier de m. Montrer que le fait que le symbole de Jacobi soit 1ne caractérise
pas les carrés inversibles modulo men général.
Dans le cas où met nsont premiers entre eux, on a la loi de réciprocité :
n
m= (−1)(n−1)(m−1)
4m
n
et les règles supplémentaires :
−1
m= (−1)m−1
2,2
m= (−1)m2−1
8
2

En déduire un algorithme permettant de calculer le symbole de Jacobi puis
l’implémenter. Donner sa complexité et la comparer au calcul du symbole de
Legendre par exponentiation rapide.
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