Chapitre 14

EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances
Capacités
Commentaires
*Médiatrice d’un segment.
– *Connaître et utiliser la définition de la
médiatrice ainsi que la caractérisation de ses
points par la propriété d’équidistance.
*Bissectrice d’un angle.
– *Connaître et utiliser la définition de la
bissectrice.
– Utiliser différentes méthodes pour tracer :
• la médiatrice d’un segment ;
• la bissectrice d’un angle.
Propriétés et construction
des triangles usuels.
– Connaître les propriétés relatives aux côtés
et aux *angles des triangles suivants : triangle
isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
– Utiliser ces propriétés pour reproduire ou
construire des figures simples.
– Construire une figure simple à l’aide d’un
logiciel de géométrie dynamique.
Propriétés des quadrilatères
usuels.
– Connaître les propriétés relatives aux côtés,
aux angles, aux diagonales pour le rectangle,
le carré et le losange.
*La bissectrice d’un angle est définie en sixième
comme la demi-droite qui partage l’angle en deux
angles adjacents de même mesure. La justification
de la construction de la bissectrice à la règle et au
compas est reliée à la symétrie axiale.
On travaillera à la fois les constructions sur papier par
les outils de dessin traditionnels et les constructions sur
écran à l’aide d’un logiciel de géométrie.
* La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en
évidence certaines propriétés.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en
italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure.
Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée – bien au contraire !
mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
2. a. Dans la symétrie d’axe (AI), le symétrique
Je révise
1:A
2:C
3:A
4:B
5:B
de BAI est IAC .
b. Comme la symétrie axiale conserve les angles,
on en déduit que : BAI = IAC
c. [AI) partage l’angle BAC en deux angles BAI et
Objectifs
– Mettre en évidence l’axe de symétrie d’un triangle
isocèle et en déduire des égalités d’angles.
– Mettre en évidence les trois axes de symétrie d’un
triangle équilatéral et en déduire des égalités d’angles.
1. a. • La droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].
Justification : Le point I est le milieu de [BC], donc I
appartient à la médiatrice de [BC].
• Le triangle ABC est isocèle en A, donc A est
équidistant des points B et C. Ainsi A appartient à la
médiatrice du segment [BC].
• La droite (AI) est donc la médiatrice de [BC].
b. Les symétriques respectifs des points A, B et C par
rapport à la droite (AI) sont A, C et B.
c. Le triangle ABC est ainsi son propre symétrique
par rapport à la droite (AI).
d. La droite (AI) est donc axe de symétrie du triangle
ABC.
100
IAC adjacents de même mesure, donc [AI) est la
bissectrice de l’angle BAC.
3. a. Dans la symétrie d’axe (AI), le symétrique
de ABC est ACB.
b. Comme la symétrie axiale conserve les angles,
on en déduit que : ABC = ACB.
c. « Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
base ont la même mesure ».
E
4. a. et b.
G
F
EFG étant équilatéral, EF = FG = GE.
EF = GE : EFG est isocèle en E.
EF = FG : EFG est isocèle en F.
FG = GE : EFG est isocèle en G.
EFG a trois axes de symétrie.
© Éditions Belin, 2009.
Activités
c. IJK est isocèle en I et en J donc IJK = IKJ et JIK = IKJ.
Ainsi : IJK = IKJ = JIK.
Les trois angles d’un triangle équilatéral ont la même
mesure.
Objectifs
– Mettre en évidence les deux axes de symétrie d’un
rectangle.
– Relier les propriétés des diagonales du rectangle à
celles de la symétrie axiale.
Mettre en évidence les deux axes de symétrie d’un losange
et faire énoncer les propriétés relatives aux diagonales et
aux angles.
1. 1. Les plis n° 1 et n° 2 représentent des axes de
symétrie pour le rectangle.
2. Le pli n° 3 n’est pas un axe de symétrie pour le
rectangle.
1.
2. 1. et 3.
Objectif
E
A
L
A
2. a. EGAL est un losange donc : EG = EL = AG = AL.
• Comme EG = EL, alors E appartient à la médiatrice
de [GL].
• Comme AG = AL, alors A appartient à la médiatrice
de [GL]. Ainsi (EA) est la médiatrice de [GL].
b. Dans la symétrie d’axe (EA), les symétriques
respectifs des points E, G, A et L sont E, L, A et G.
Ainsi le losange EGAL est son propre symétrique par
rapport à la droite (EA).
c. (EA) est donc axe de symétrie du losange EGAL.
3. • Comme EG = AG et EL = AL, alors L et G
appartiennent à la médiatrice de [EA]. Ainsi (GL) est
la médiatrice de [EA].
• Dans la symétrie d’axe (GL), les symétriques respectifs
des points E, G, A et L sont A, G, E et L. Ainsi le
losange EGAL est son propre symétrique par rapport
à la droite (GL).
(GL) est donc axe de symétrie du losange EGAL.
4. a. Les diagonales du losange EGAL sont axes de
symétrie. Elles sont perpendiculaires et ont le même
milieu.
b. Dans la symétrie d’axe (GL), le symétrique de GEL
est GAL.
Dans la symétrie d’axe (EA), le symétrique de EGA est
(d1)
B
O
3 cm
G
D
5 cm
(d2)
C
2. Dans la symétrie d’axe (d1), le symétrique du
segment [AC] est le segment [BD].
La symétrie axiale conservant les distances, on en
déduit que AC = BD.
3. a. On constate que les diagonales [AC] et [BD]
se coupent en O.
b. Dans la symétrie d’axe (d1) :
– le symétrique du segment [OA] est le segment
[OB], donc : OA = OB ;
– le symétrique du segment [OD] est le segment
[OC], donc : OD = OC.
c. Dans la symétrie d’axe (d2) :
– le symétrique du segment [OA] est le segment
[OD], donc : OA = OD ;
– le symétrique du segment [OB] est le segment
[OC], donc : OB = OC.
d. D’après b. et c. : OA = OB = OC = OD.
Et comme O est le point d’intersection des
diagonales [AC] et [BD], on en déduit que O
est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
e. « Les diagonales d’un rectangle ont la même
longueur et le même milieu ».
ELA.
Comme la symétrie axiale conserve les angles, on en
c. (EA) est la bissectrice des angles GEL et GAL.
d. (GL) est la bissectrice des angles EGA et ELA.
5.
E
G
L
m
3c
A
Objectif
Mettre en évidence les quatre axes de symétrie du carré
et en déduire des égalités de longueurs et d’angles.
1. et 4. Construction d’un carré et de ses axes de
symétrie.
2. Un carré a ses quatre côtés de même longueur,
c’est donc un losange.
Un carré a ses quatre angles droits, c’est donc
un rectangle.
Un carré est donc à la fois un losange et un rectangle.
3. Un carré a quatre axes de symétrie (les deux d’un
losange et les deux d’un rectangle).
Chapitre
14
Symétrie axiale et figures usuelles
101
© Éditions Belin, 2009.
déduit que : GEL = GAL et EGA = ELA.
Ainsi, les angles opposés du losange EGAL ont la
même mesure.
5. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires,
ont le même milieu et ont la même longueur.
6.
E
F
6 1.
C
I
5
O
L
H
G
cm
4 cm
E
2. CE = LI = 5 cm.
CE
= 2,5 cm.
2
Justification : CIEL est un rectangle et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
ont le même milieu O et la même longueur.
3. OIE est un triangle isocèle en O et OLE est
un triangle isocèle en O.
Justification : OI = OE et OL = OE.
OL = OI = OC = OE =
Exercices
1 1. AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A.
2. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
base ont la même mesure.
7 Recopier et compléter le tableau ci-dessous en
Donc : ABC = ACB.
2 et 3 Construction d’un triangle isocèle
connaissant la longueur de sa base et la mesure
d’un angle à la base.
4 1. • Tracer un segment [CD] tel que : CD = 5 cm.
• Tracer la demi-droite [Dx) telle que : CDx = 75°.
• Tracer l’arc de cercle de centre C et de rayon
5 cm qui coupe la demi-droite [Dx) en E.
2.
D
5 cm
75°
C
mettant des croix dans les bonnes cases pour
indiquer que le quadrilatère (losange, rectangle
ou carré) vérifie la propriété.
Losange Rectangle
Côtés opposés
de même
longueur
✗
✗
✗
Angles opposés
de même
mesure
✗
✗
✗
Diagonales
perpendiculaires
✗
Diagonales de
même longueur
E
3. Le triangle CDE est isocèle en C, donc ses
angles à la base ont la même mesure.
Carré
Diagonales de
même milieu
✗
✗
✗
✗
✗
✗
Ainsi : CED = CDE = 75°.
Ainsi : AOB = 90° et AOB est rectangle en O.
102
8 1.
2.
© Éditions Belin, 2009.
AC
BD
= 3 cm ; OB =
= 2 cm.
2
2
Justification : ABCD est un losange et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
ont le même milieu O.
2. • ABC est un triangle isocèle en B
Justification : ABCD est un losange donc ses
côtés ont la même longueur.
Ainsi : BA = BC et ABC est isocèle en B.
• AOB est un triangle rectangle en O.
Justification : ABCD est un losange et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
sont perpendiculaires en O.
5 1. OA =
9 Les élèves s‘aideront du savoir-faire 1 page 236.
10 1. et 2. À l’échelle
14 2. (LI) est la médiatrice du segment [MN] et l’axe
de symétrie du triangle LMN.
1
.
2
15 2. On place le milieu I de [RT]. (SI) est l’axe de
O
cm
symétrie du triangle RST.
5
16
I
50°
T
L
3 cm
J
5 cm
K
11 1.
P
I
17 1. et 2.
A
70°
6 cm
1
À l’échelle .
2
E
L
X
U
E
3. Les triangles AXU et AEU sont rectangles en U.
4. (AU) est l’axe de symétrie du triangle AXE
2. On constate que les bissectrices des angles
EPI et ELI sont parallèles.
De même, on constate que les bissectrices des
isocèle en A et la bissectrice de l’angle XAU.
Comme XAE = 70°, on a : XAU =
angles PIL et PEL sont parallèles.
12 1. et 2. a.
18
XAE
= 35°.
2
A
J
5 cm
20°
B
(d )
U
E
C
2. b. On constate que les trois bissectrices se
coupent en un même point.
19
(d)
O
13
O
30°
5 cm
30°
B
E
Chapitre
14
Symétrie axiale et figures usuelles
103
© Éditions Belin, 2009.
I
D
20 1. Le triangle OLA a deux angles OLA et LAO
1
.
2
25 1. et 2. À l’échelle
de même mesure, donc OLA est isocèle en O.
2. Le triangle OLA est isocèle en O, donc les
segments [OL] et [OA] ont la même longueur.
21 12,6 : 3 = 4,2.
Chaque côté du triangle équilatéral mesure 4,2 cm.
A
D
B
C
26 À l’échelle
1
.
2
6 cm
R
22
(d1)
2 cm
S
4c
m
A
4 cm
T
27 1. et 2. À l’échelle
B
23 1. À l’échelle
U
C
1
.
2
1
.
2
F
E
R
110°
2,8 c
m
4 cm
F
4 cm
I
G
H
28 1. IN = PO = 6 cm.
E
2. FIER est un losange, donc ses diagonales sont
les bissectrices de ses angles.
Ainsi [IR) est la bissectrice de l’angle FIE.
FIE
= 55°.
2
3. Les angles opposés d’un losange ont la même
Comme FIE = 110°, on a : FIR =
mesure, donc : FRE = FIE = 110°.
Propriété : si un quadrilatère est un rectangle,
alors ses diagonales ont le même milieu et la
même longueur.
PO
= 3 cm.
2. JO = JP = JI = JN =
2
Propriété : si un quadrilatère est un rectangle,
alors ses diagonales ont le même milieu et la
même longueur.
29 1. et 2.
24
O
(Ꮿ)
T
R
(d )
R
O
C
E
S
(d1)
104
E (d2)
3. Le cercle (Ꮿ) passe par les points E, C et T.
Justification : RECT est un rectangle, donc ses
diagonales [TE] et [RC] ont le même milieu O et
ont la même longueur. Ainsi : OR = OE = OC = OT.
© Éditions Belin, 2009.
(d’)
30 1. et 2. À l’échelle
1
.
2
Thème de convergence
34 Le triangle étant équilatéral, ses côtés ont la même
longueur. Ainsi, les trois éléments (combustible,
comburant, source de chaleur) ont la même
importance.
À l’oral
35 1. L’axe de symétrie d’un angle est la bissectrice
31 1. À l’échelle
de cet angle.
2. La médiatrice d’un segment est un axe de
symétrie de ce segment.
1
.
2
F
36 1. Un triangle isocèle a un seul axe de symétrie :
5 cm
la médiatrice de sa base.
2. Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la
même mesure.
3. Un triangle équilatéral à trois axes de symétrie.
O
I
37 1. Un losange a deux axes de symétrie :
R
ses diagonales.
2. Un rectangle a deux axes de symétrie :
les médiatrices de ses côtés.
U
2. FOUR est un carré, donc ses diagonales
ont le même milieu, la même longueur et sont
perpendiculaires.
38 ABC : triangle isocèle en A.
KLN : triangle isocèle en K.
DEF : triangle équilatéral.
RST : triangle rectangle et isocèle en S.
Donc : IO = IF et FIO = 90°. Ainsi le triangle FID
est rectangle et isocèle en I.
3. FOUR est un carré donc FOU = 90°.
Comme [OI) est la bissectrice de FOU, on en déduit
que : FOI =
FOU
= 45°.
2
43 1. On sait que OA = OB et CA = CB.
Si un point est équidistant des extrémités d’un
segment, alors il appartient à la médiatrice de ce
segment.
Donc O et C appartiennent à la médiatrice de [AB].
Ainsi (OC) est la médiatrice de [AB] ; le symétrique
de A par rapport à (OC) est le point B.
32 1. et 2.
A
2. a. Le symétrique de l’angle AOC par rapport
à (OC) est l’angle COB.
b. La symétrie axiale conserve les angles donc
AOC = COB.
c. La demi-droite [OC) partage l’angle xOy en
deux angles adjacents de même mesure, donc
B
[OC) est la bissectrice de l’angle xOy.
d’un petit carré).
2. ABC = ABD + DBC = 45° + 45° = 90°.
3. AB = BC.
4. AB = BC = CD = DA, donc ABCD est un losange.
y
44
x
z
ABC = BCD = CDA = 90°, donc ABCD est un
rectangle.
ABCD, étant à la fois un losange et un rectangle,
est un carré.
124°
v
O
u
Chapitre
14
Symétrie axiale et figures usuelles
105
© Éditions Belin, 2009.
33 1. ABD = DBC = 45° (la moitié de l’angle droit
• [Oy) est la bissectrice de l’angle xOv,
donc : xOy =
xOv 124°
=
= 62°.
2
2
• xOu = uOv − xOv.
xOu = 180° − 124°. xOu = 56°.
• [Oz) est la bissectrice de l’angle xOu,
donc : xOz =
xOu 56°
= 28°.
=
2
2
b. Le triangle RCE étant isocèle en E, on en déduit
que : EC = ER.
3. FR = FC et EC = ER.
On en déduit que (EF) est la médiatrice du
segment [RC] et un axe de symétrie pour
le quadrilatère CERF.
2
F
4. À l’échelle ,
3
40°
Ainsi : yOz = xOy + xOz.
6 cm
40°
yOz = 62° + 28°. yOz = 90°.
R
L’angle yOz est donc droit.
C
50°
50°
45 [IS] est une corde du cercle Ꮿ de centre O donc :
OI = OS. Ainsi le triangle OIS est isocèle en O.
Or, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
base ont la même mesure. On en déduit que :
ont la même mesure : EBD = ACB = 50°.
EBD = EDB = 50°. Or, si un triangle a deux angles
de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Donc le triangle BED est isocèle en E.
47 1. ABC est isocèle en A, donc : ACB = ABC = 30°.
2. A, C et D sont alignés dans cet ordre donc :
ACD = 180°.
ACD = ACB + BCD. 180° = 30° + BCD.
base ont la même mesure. BLA = ABL = 30°.
3. EBL = EBA − ABL = 90° − 30° = 60°.
ELB = ELA − BLA = 90° − 30° = 60°.
4. EBL = ELB = 60°.
Si un triangle a deux angles de même mesure,
alors ce triangle est isocèle.
Donc EBL est isocèle en E. On en déduit que EB = EL.
51 1. À l’échelle
1
.
2
(Ꮿ1)
I
A
cm
J
48 1. DAC = ACD. Si un triangle a deux angles
de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Donc ADC est isocèle en D.
ADC est isocèle en D, donc AD = CD.
2. AD = CD et BA = BC.
Or, si un point est équidistant des extrémités
d’un segment, alors il appartient à la médiatrice
de ce segment. Ainsi, les points B et D
appartiennent à la médiatrice du segment [AC].
On en déduit que la droite (DB) est la médiatrice
du segment [AC] et que c’est un axe de symétrie
pour le quadrilatère ABCD.
B
2
Ainsi : BCD = 180° − 30° = 150°.
3. (CI) est perpendiculaire à (BD) et passe par
le milieu I de [BD]. (CI) est l’axe de symétrie du
triangle BCD.
BCD 150°
= 75°.
=
Ainsi : BCI =
2
2
centre A et de rayon 2 cm, donc : AL = AB = 2 cm.
Le triangle ABL a deux côtés [AB] et [AL] de
même longueur, donc ABL est isocèle en A.
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
cm
46 ABC est isocèle en A, donc ses angles à la base
50 2. Les points B et L appartiennent au cercle de
2
OIS = ISO.
E
(Ꮿ2)
2. • I et J appartiennent au cercle (Ꮿ1) de centre
A et de rayon 2 cm, donc : IA = JA = 2 cm.
• I et J appartiennent au cercle (Ꮿ2) de centre B
et de rayon 2 cm, donc : IB = JB = 2 cm.
IA = JA = IB = JB = 2 cm.
• AIBJ a ses quatre côtés de même longueur,
donc c’est un losange.
• Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires,
donc les droites (AB) et (IJ) sont perpendiculaires.
E
52 1.
49 1. FCE = FCR + RCE. 90° = 40° + RCE.
D
2. a. RCE = CRE = 50°.
Si un triangle a deux angles de même mesure,
alors ce triangle est isocèle.
Donc le triangle RCE est isocèle en E.
106
C
A
B
© Éditions Belin, 2009.
Ainsi : RCE = 90° − 40° = 50°.
56 1. 4 = 2 × 2 et 9 = 3 × 3.
donc : FL = 2 cm et FO = 3 cm.
2. et 3.
F
3c
m
2c
m
2. • On sait que ABCD est un losange. Or si un
quadrilatère est un losange, alors ses diagonales
sont perpendiculaires. Donc : (AC) ⊥ (BD).
• On sait que : (AC) ⊥ (BD) et (AE) // (BD)
Or si deux droites sont parallèles et qu’une
troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors
elle est aussi perpendiculaire à l’autre.
Donc les droites (AE) et (AC) sont perpendiculaires.
53 1. a. et b.
(Ꮿ)
O
L
O
(d)
U
B
FL × LO 2 × 3
=
= 3.
2
2
Aire de FLUO, en cm2 : 2 × 3 = 6.
4. Aire de FLO, en cm2 :
A
2. • A et B appartiennent au cercle (Ꮿ) de centre O,
donc OA = OB.
• B appartient à la médiatrice (d) du segment [OA],
donc OB = AB.
Ainsi : OA = OB = AB.
Le triangle OAB est équilatéral. On en déduit
donc que les angles du triangle OAB ont la
même mesure.
54 1. et 3.
A
E
D
B
57 1. OAB = DAB − DAO = 90° − 50° = 40°.
2. ABCD est un rectangle et O est le point
d’intersection de ses diagonales, donc : OA = OB.
Ainsi le triangle AOB est isocèle en O.
3. AOB étant isocèle en O, alors ses angles
à la base OAB et OBA ont la même mesure :
OAB = OBA = 40°.
[AI) est la bissectrice de l’angle OAB,
OAB 40°
= 20°.
=
2
2
[BI) est la bissectrice de l’angle OBA,
donc : IAB =
C
OBA 40°
= 20°.
=
2
2
4. IAB = IBA = 20°, donc le triangle AIB est
isocèle en I.
donc : IBA =
(AD) et (BC) sont parallèles.
2. ABCD n’a pas d’axe de symétrie.
55 1. a. et 2. a.
J
O
M
Argumenter et débattre
58 1. Faux.
2. Vrai.
6. Faux.
5. Faux.
L
3. Faux.
7. Faux.
4. Vrai.
8. Faux.
K
1. b. IJKL est un rectangle et ses diagonales
se coupent en O. Or, si un quadrilatère est un
rectangle, alors ses diagonales ont le même
milieu et la même longueur. Donc OI = OL.
2. b. M est le symétrique de O par rapport à la
droite (IL) donc : MI = OI et ML = OL.
Comme OI = OL, on en déduit que :
OI = OL = MI = ML.
Le quadrilatère IOLM ayant ses quatre côtés de
même longueur, on en déduit que IOLM est un
losange.
Pour les curieux
59 1. Blason de la principauté de Monaco : triangles
isocèles, triangles rectangles et losanges.
Blason de l’ancien duché de Bavière : losanges.
Armoiries du pape Grégoire XII : triangles
rectangles et isocèles ; carrés.
Blason de la ville de Barcelone : triangles rectangles
et isocèles ; carré.
2. Le blason de la ville de Monaco et les armoiries
du pape Grégoire XII.
Chapitre
14
Symétrie axiale et figures usuelles
107
© Éditions Belin, 2009.
I