Chapitre 14

© Éditions Belin, 2009.
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EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances Capacités Commentaires
*Médiatrice d’un segment.
*Bissectrice d’un angle.
Propriétés et construction
des triangles usuels.
Propriétés des quadrilatères
usuels.
– *Connaître et utiliser la définition de la
médiatrice ainsi que la caractérisation de ses
points par la propriété d’équidistance.
– *Connaître et utiliser la définition de la
bissectrice.
– Utiliser différentes méthodes pour tracer :
• la médiatrice d’un segment ;
• la bissectrice d’un angle.
– Connaître les propriétés relatives aux côtés
et aux *angles des triangles suivants : triangle
isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
– Utiliser ces propriétés pour reproduire ou
construire des figures simples.
– Construire une figure simple à l’aide d’un
logiciel de géométrie dynamique.
– Connaître les propriétés relatives aux côtés,
aux angles, aux diagonales pour le rectangle,
le carré et le losange.
*La bissectrice d’un angle est définie en sixième
comme la demi-droite qui partage l’angle en deux
angles adjacents de même mesure. La justification
de la construction de la bissectrice à la règle et au
compas est reliée à la symétrie axiale.
On travaillera à la fois les constructions sur papier par
les outils de dessin traditionnels et les constructions sur
écran à l’aide d’un logiciel de géométrie.
* La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en
évidence certaines propriétés.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en
italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure.
Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée – bien au contraire !
mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
Je révise
1 : A 2 : C 3 : A 4 : B 5 : B
Activités
Objectifs
– Mettre en évidence l’axe de symétrie d’un triangle
isocèle et en déduire des égalités d’angles.
– Mettre en évidence les trois axes de symétrie d’un
triangle équilatéral et en déduire des égalités d’angles.
1. a. • La droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].
Justification : Le point I est le milieu de [BC], donc I
appartient à la médiatrice de [BC].
• Le triangle ABC est isocèle en A, donc A est
équidistant des points B et C. Ainsi A appartient à la
médiatrice du segment [BC].
• La droite (AI) est donc la médiatrice de [BC].
b. Les symétriques respectifs des points A, B et C par
rapport à la droite (AI) sont A, C et B.
c. Le triangle ABC est ainsi son propre symétrique
par rapport à la droite (AI).
d. La droite (AI) est donc axe de symétrie du triangle
ABC.
2. a. Dans la symétrie d’axe (AI), le symétrique
de BAI est IAC.
b. Comme la symétrie axiale conserve les angles,
on en déduit que : BAI = IAC
c. [AI) partage l’angle BAC en deux angles BAI et
IAC adjacents de même mesure, donc [AI) est la
bissectrice de l’angle BAC.
3. a. Dans la symétrie d’axe (AI), le symétrique
de ABC est ACB.
b. Comme la symétrie axiale conserve les angles,
on en déduit que : ABC = ACB.
c. « Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
base ont la même mesure ».
4. a. et b. E
G
F
EFG étant équilatéral, EF = FG = GE.
EF = GE : EFG est isocèle en E.
EF = FG : EFG est isocèle en F.
FG = GE : EFG est isocèle en G.
EFG a trois axes de symétrie.

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Chapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 101
c. IJK est isocèle en I et en J donc IJK = IKJ et JIK = IKJ.
Ainsi : IJK = IKJ = JIK.
Les trois angles d’un triangle équilatéral ont la même
mesure.
Objectif
Mettre en évidence les deux axes de symétrie d’un losange
et faire énoncer les propriétés relatives aux diagonales et
aux angles.
1. E
G
A
L
2. a. EGAL est un losange donc : EG = EL = AG = AL.
• Comme EG = EL, alors E appartient à la médiatrice
de [GL].
• Comme AG = AL, alors A appartient à la médiatrice
de [GL]. Ainsi (EA) est la médiatrice de [GL].
b. Dans la symétrie d’axe (EA), les symétriques
respectifs des points E, G, A et L sont E, L, A et G.
Ainsi le losange EGAL est son propre symétrique par
rapport à la droite (EA).
c. (EA) est donc axe de symétrie du losange EGAL.
3. • Comme EG = AG et EL = AL, alors L et G
appartiennent à la médiatrice de [EA]. Ainsi (GL) est
la médiatrice de [EA].
• Dans la symétrie d’axe (GL), les symétriques respectifs
des points E, G, A et L sont A, G, E et L. Ainsi le
losange EGAL est son propre symétrique par rapport
à la droite (GL).
(GL) est donc axe de symétrie du losange EGAL.
4. a. Les diagonales du losange EGAL sont axes de
symétrie. Elles sont perpendiculaires et ont le même
milieu.
b. Dans la symétrie d’axe (GL), le symétrique de GEL
est GAL.
Dans la symétrie d’axe (EA), le symétrique de EGA est
ELA.
Comme la symétrie axiale conserve les angles, on en
déduit que : GEL = GAL et EGA = ELA.
Ainsi, les angles opposés du losange EGAL ont la
même mesure.
c. (EA) est la bissectrice des angles GEL et GAL.
d. (GL) est la bissectrice des angles EGA et ELA.
5. E
G
L
A
3 cm
Objectifs
– Mettre en évidence les deux axes de symétrie d’un
rectangle.
– Relier les propriétés des diagonales du rectangle à
celles de la symétrie axiale.
1. 1. Les plis n° 1 et n° 2 représentent des axes de
symétrie pour le rectangle.
2. Le pli n° 3 n’est pas un axe de symétrie pour le
rectangle.
2. 1. et 3.
(d1)
(d2)
O
AB
DC
5 cm
3 cm
2. Dans la symétrie d’axe (d1), le symétrique du
segment [AC] est le segment [BD].
La symétrie axiale conservant les distances, on en
déduit que AC = BD.
3. a. On constate que les diagonales [AC] et [BD]
se coupent en O.
b. Dans la symétrie d’axe (d1) :
– le symétrique du segment [OA] est le segment
[OB], donc : OA = OB ;
– le symétrique du segment [OD] est le segment
[OC], donc : OD = OC.
c. Dans la symétrie d’axe (d2) :
– le symétrique du segment [OA] est le segment
[OD], donc : OA = OD ;
– le symétrique du segment [OB] est le segment
[OC], donc : OB = OC.
d. D’après b. et c. : OA = OB = OC = OD.
Et comme O est le point d’intersection des
diagonales [AC] et [BD], on en déduit que O
est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
e. « Les diagonales d’un rectangle ont la même
longueur et le même milieu ».
Objectif
Mettre en évidence les quatre axes de symétrie du carré
et en déduire des égalités de longueurs et d’angles.
1. et 4. Construction d’un carré et de ses axes de
symétrie.
2. Un carré a ses quatre côtés de même longueur,
c’est donc un losange.
Un carré a ses quatre angles droits, c’est donc
un rectangle.
Un carré est donc à la fois un losange et un rectangle.
3. Un carré a quatre axes de symétrie (les deux d’un
losange et les deux d’un rectangle).

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5. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires,
ont le même milieu et ont la même longueur.
6. E F
H G
Exercices
1 1. AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A.
2. Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la
base ont la même mesure.
Donc : ABC = ACB.
2 et 3
Construction d’un triangle isocèle
connaissant la longueur de sa base et la mesure
d’un angle à la base.
4 1. • Tracer un segment [CD] tel que : CD = 5 cm.
• Tracer la demi-droite [Dx) telle que : CDx = 75°.
• Tracer l’arc de cercle de centre C et de rayon
5 cm qui coupe la demi-droite [Dx) en E.
2. D
75°
5 cm
E
C
3. Le triangle CDE est isocèle en C, donc ses
angles à la base ont la même mesure.
Ainsi : CED = CDE = 75°.
5 1. OA = AC
2 = 3 cm ; OB = BD 2 = 2 cm.
Justification : ABCD est un losange et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
ont le même milieu O.
2. • ABC est un triangle isocèle en B
Justification : ABCD est un losange donc ses
côtés ont la même longueur.
Ainsi : BA = BC et ABC est isocèle en B.
• AOB est un triangle rectangle en O.
Justification : ABCD est un losange et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
sont perpendiculaires en O.
Ainsi : AOB = 90° et AOB est rectangle en O.
6 1.
L
CI
E
O
4 cm
5 cm
2. CE = LI = 5 cm.
OL = OI = OC = OE = CE
2 = 2,5 cm.
Justification : CIEL est un rectangle et ses
diagonales se coupent en O, donc ses diagonales
ont le même milieu O et la même longueur.
3. OIE est un triangle isocèle en O et OLE est
un triangle isocèle en O.
Justification : OI = OE et OL = OE.
7 Recopier et compléter le tableau ci-dessous en
mettant des croix dans les bonnes cases pour
indiquer que le quadrilatère (losange, rectangle
ou carré) vérifie la propriété.
Losange Rectangle Carré
Côtés opposés
de même
longueur
✗✗✗
Angles opposés
de même
mesure
✗✗✗
Diagonales
perpendiculaires ✗✗
Diagonales de
même longueur ✗✗
Diagonales de
même milieu ✗✗✗
8 1.
2.

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Chapitre 14 Symétrie axiale et figures usuelles 103
14 2. (LI) est la médiatrice du segment [MN] et l’axe
de symétrie du triangle LMN.
15 2. On place le milieu I de [RT]. (SI) est l’axe de
symétrie du triangle RST.
16
K
I
3 cm
5 cm
J
17 1. et 2.
À l’échelle 1
2.
A
X
U
E
6 cm
70°
3. Les triangles AXU et AEU sont rectangles en U.
4. (AU) est l’axe de symétrie du triangle AXE
isocèle en A et la bissectrice de l’angle XAU.
Comme XAE = 70°, on a : XAU = XAE
2 = 35°.
18 A
20° B
C
(d)
5 cm
19
I
(d)
O
B
9 Les élèves s‘aideront du savoir-faire 1 page 236.
10 1. et 2. À l’échelle 1
2.
50°
L
O
T
5 cm
11 1.
PI
EL
2. On constate que les bissectrices des angles
EPI et ELI sont parallèles.
De même, on constate que les bissectrices des
angles PIL et PEL sont parallèles.
12 1. et 2. a.
J
U
E
2. b. On constate que les trois bissectrices se
coupent en un même point.
13
O
D
30°
30°
E
5 cm

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20 1. Le triangle OLA a deux angles OLA et LAO
de même mesure, donc OLA est isocèle en O.
2. Le triangle OLA est isocèle en O, donc les
segments [OL] et [OA] ont la même longueur.
21 12,6 : 3 = 4,2.
Chaque côté du triangle équilatéral mesure 4,2 cm.
22
B
A
C
4 cm
23 1. À l’échelle 1
2.F
E
RI
4 cm
110°
2. FIER est un losange, donc ses diagonales sont
les bissectrices de ses angles.
Ainsi [IR) est la bissectrice de l’angle FIE.
Comme FIE = 110°, on a : FIR = FIE
2 = 55°.
3. Les angles opposés d’un losange ont la même
mesure, donc : FRE = FIE = 110°.
24 O
R
(d1)(d2)
S
E
25 1. et 2. À l’échelle 1
2.
(d1)
2 cm
B
A
C
D
26 À l’échelle 1
2.
R
6 cm
S
T
U
4 cm
27 1. et 2. À l’échelle 1
2.
E
F
G
H
4 cm
2,8 cm
28 1. IN = PO = 6 cm.
Propriété : si un quadrilatère est un rectangle,
alors ses diagonales ont le même milieu et la
même longueur.
2. JO = JP = JI = JN = PO
2 = 3 cm.
Propriété : si un quadrilatère est un rectangle,
alors ses diagonales ont le même milieu et la
même longueur.
29 1. et 2.
RT
EC
O
(d)
(Ꮿ)
(d’)
3. Le cercle (Ꮿ) passe par les points E, C et T.
Justification : RECT est un rectangle, donc ses
diagonales [TE] et [RC] ont le même milieu O et
ont la même longueur. Ainsi : OR = OE = OC = OT.