6. Des fonctions trigonométriques aux équations

CQFD 5
e
: corrigé (6P/S) – http://maths.deboeck.com © De Boeck Education s.a., 2014
Chapitre 6 – Des fonctions trigonométriques aux équations 1
6. Des fonctions trigonométriques
aux équations
Expliciter les savoirs et les procédures
1. Reconnaître les paramètres d’une fonction sinusoïdale
Amplitude Déphasage Période Fréquence Décalage vertical
a.
1 0 5 0,2 0
b.
3
1
4
−
1 1 0
c.
2 1 24
1
24
3
d.
1
2
1
4
2
1
2
1−
e.
2
2
3
4
1
4
0
f.
3
4π 4π
1
0,0796
4≈ π
1
2. Utiliser un tableur ou un logiciel graphique
Voir annexe 2 en pages 448 et 450 du manuel.
3. Au parc d’attraction
Rayon de la roue
→
25 m, donc 25A= .
Distance au sol du centre de la roue
→
25 m 5 m 30 m+ =
, donc 30b= .
Un tour en 120 secondes
360 3°/ sec
120sec
°
→ =
, donc
rad/sec
60
π
ω =
.
La fonction est
( ) 30 25sin 60 f t t
π
= + + ϕ
  ;
ϕ
est la phase à l’origine et n’est pas donné dans
l’énoncé (la valeur de
ϕ
dépend de la position du point observé au début du mouvement).
Néanmoins, si on suppose que, pour étudier le mouvement de la grande roue de Walibi, on peut
choisir librement l’origine de l’échelle de temps, on peut prendre
0ϕ =
. Cela revient à fixer 0t= à
un instant où le point considéré se trouve à la même hauteur que le centre de la roue et est en train de
monter.
On a alors ( ) 30 25sin 60
f t t
π
= +  
  .

CQFD 5
e
: corrigé (6P/S) – http://maths.deboeck.com © De Boeck Education s.a., 2014
Chapitre 6 – Des fonctions trigonométriques aux équations 2
4. Une autre démonstration
a.
( )
2 2 2
1 1 2 1 1cos( )
2 2cos( )
2 1 cos( )
c a b
a b
a b
= + − ⋅ ⋅ −
= − −
= − −
b.
2 2 2
2 2 2 2
(cos cos ) (sin sin )
cos 2cos cos cos sin 2sin sin sin
1 1 2cos cos 2sin sin
2(1 cos cos sin sin )
c a b a b
a a b b a a b b
a b a b
a b a b
= − + −
= − + + + +
= + − +
= − +
c.
1 cos( ) 1 cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
− − = − +
− = −
5. Un théorème de Ptolémée ( Almageste , Livre I, ch. 9)
a. Hypothèse
ABCD quadrilatère inscriptible à un cercle
Thèse
AC BD AD BC AB CD
⋅ = ⋅ + ⋅
Démonstration
On détermine le point E de la diagonale
[
]
AC
tel que
ABD EBC
=
.
Les angles
ADB
et
ACB
sont des angles inscrits intercep-
tant le même arc de cercle ; ils sont donc égaux.
Les triangles ABD et EBC sont donc semblables car ils ont deux angles égaux. On a
AB BD AD
EB BC EC
= =
.
On en déduit
AD BC BD EC
⋅ = ⋅
(1)
Les triangles ABE et DBC sont également semblables car
ABE DBC
=
et
BAE BAC BDC
= =
. On a
AB AE BE
DB DC BC
= =
; on en déduit
AB CD AE BD
⋅ = ⋅
(2)
En additionnant les relations (1) et (2), on obtient
(
)
AD BC AB CD BD EC AE BD BD AE EC
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Comme les points A , E et C sont alignés, on a
AD BC AB CD AC BD
⋅ + ⋅ = ⋅
.
A
C
D
B
E

CQFD 5
e
: corrigé (6P/S) – http://maths.deboeck.com © De Boeck Education s.a., 2014
Chapitre 6 – Des fonctions trigonométriques aux équations 3
b. Soit E le symétrique de D par rapport au centre du cercle (voir
figure).
Les angles
DEB
et
(
)
a b
+
sous-tendent la même corde mais
sont situés de part et d’autre de celle-ci ; ils sont donc supplé-
mentaires et ont même sinus :
( )
(
)
( )
sin sin 180 sin
DEB a b a b
= ° − + = +
.
Le triangle DBE est rectangle en B ; on a donc
sin
DB DB
DEB
DE AC
= =
.
Par le théorème de Ptolémée, on a
AD BC AB CD AC BD
⋅ + ⋅ = ⋅
.
En divisant les deux membres de cette égalité par
AC AC
⋅
, on obtient
AC BD
AC
⋅
AD BC AB CD
AC AC AC AC
AC
⋅ ⋅
= +
⋅ ⋅
⋅
(
)
( )
sin cos sin cos sin
sin sin cos sin cos
a b b a a b
a b a b b a
+ = ⋅ + ⋅
+ = +
c. Énoncé
Si dans un quadrilatère convexe, le produit des diagonales est
égal à la somme des produits des côtés opposés, alors ce qua-
drilatère est inscriptible.
Hypothèse
Quadrilatère convexe ABCD
AC BD AD BC AB CD
⋅ = ⋅ + ⋅
Thèse
ABCD est inscriptible dans un cercle
Démonstration
On peut faire passer une circonférence par trois sommets, par exemple A , B et C , du quadrilatère.
Si la circonférence passe par le sommet D , la thèse est vérifiée.
Supposons que cette circonférence ne passe pas par le point D , mais par un point S de la diago-
nale BD . On détermine alors un point E tel que
BCE BDA
=
et
CBE ABD
=
. Les triangles BCE
et BDA sont semblables car ils ont deux angles égaux. On a donc :
ou
BC EC
BC DA BD EC
BD DA
= ⋅ = ⋅
(1)
ou
BC BE BC BD
BD BA BE BA
= =
(2)
Les triangles BCD et BEA sont semblables car ils ont un angle égal (
DBC ABE
=
) compris entre
des côtés proportionnels (2). On en déduit
ou
CD BD
CD BA AE BD
AE BA
= ⋅ = ⋅
(3).
0
A
C
D
B
a
b
c
d
E
A
C
D
B
E
S

CQFD 5
e
: corrigé (6P/S) – http://maths.deboeck.com © De Boeck Education s.a., 2014
Chapitre 6 – Des fonctions trigonométriques aux équations 4
En additionnant les égalités (1) et (3), on a
( )
AE BD BD EC BC AD CD AB
BD AE EC BC AD CD AB
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
+ = ⋅ + ⋅
Or, par hypothèse,
AC BD AD BC AB CD
⋅ = ⋅ + ⋅
, ce qui prouve que
AE EC AC
+ =
.
Cette dernière égalité n’est possible que si le point E est sur la diagonale ; donc
BCE BCA
=
et
ADB ASD
=
. Donc
D S
=
et la circonférence passant par A , B et C passe aussi par le point D .
Le quadrilatère ABCD est donc inscriptible.
Remarque
La démonstration est identique si le point D est extérieur au cercle passant par les points A ,
B et C .
6. Résoudre une équation élémentaire
a. Sans calculatrice.
1) 1 cos 0
cos 1
2
x
x
x k
− =
=
= π
2) 2sin 1 0
1
sin
2
2
6
ou
72
6
x
x
x k
x k
+ =
= −
π
= − + π
π
= + π
3) 2cos 3 0
3
cos 2
52
6
x
x
x k
+ =
−
=
π
= ± + π
b. Avec calculatrice.
( )
1) 3sin 1 0
1
sin 3
0,34 2 ou
0,34 2 2,80 2
x
x
x k
x k k
− =
=
= + π
= π − + π = + π
(
)
( )
3) 2 tan 0,38 1, 4
tan 0,38 0,7
0,38 0,611
0,231
x
x
x k
x k
+ =
+ =
+ = + π
= + π
( )
2) 4sin 3 0
sin 0,75
0,848 2 ou
0,848 2 2,294 2
x
x
x k
x k k
− =
=
= + π
= π − + π = + π
( )
1
4) 2sin 4 2
sin 0,25
4
0,253 2 ou 0,253 2
4 4
0,533 2 ou 2,103 2
x
x
x k x k
x k x k
π
+ =
π
+ =
π π
+ = + π + = π − + π
= − + π = + π

CQFD 5
e
: corrigé (6P/S) – http://maths.deboeck.com © De Boeck Education s.a., 2014
Chapitre 6 – Des fonctions trigonométriques aux équations 5
Appliquer une procédure
7. Construire un graphique
a. Étapes de la construction
1. de sin x à sin 4x par une compression horizontale de facteur
1
4
.
2. de sin 4x à sin 4 sin 4
12 3
x x
π π
− = − par translation horizontale de vecteur ;0
12
π
3. de sin 4 3
xπ −
à 2sin 4 3
xπ −
par étirement vertical de facteur 2
4.
2sin 4 3 xπ −
à 2sin 4 1
3
xπ − +
par translation verticale de vecteur
( )
0;1 .
b. Étapes de la construction
1. de
cos x
à cos2x par une compression horizontale de facteur
1
2
.
2. de cos2x à 3 3 cos 2 cos 2
8 4
x x
π π
+ = + par translation horizontale de vecteur
3;0
8
π
−
3. de 3
cos 2 4 xπ +
à 2 3
cos 2
3 4
xπ +
par compression verticale de facteur
2
3
.
Transformation de la fonction 2 3
( ) cos 2
3 4
f x x π = +
en fonction sinusoïdale
2 3 2 3
( ) cos 2 sin 2
3 4 3 2 4
2 2
sin 2 sin 2
3 4 3 4
f x x x
x x
π π π
= + = − −
π π
= − − = − +
8. Associer graphique et expression analytique
Amplitude Déphasage Période Décalage
vertical Graphique
1
( ) 3sin 2 5 f x x π = +
3 10
π
− π 0
fig. 35
( )
2
1
( ) sin 3 1
2
f x x = + 1
2 0 2 3
π 1
fig. 32
3
3
( ) sin 2 2
4
f x x π
= + −
1 3
8
π
− π – 2
fig. 33