Chapitre 3 TRIGONOMÉTRIE 1 Les basiques Exercice les valeurs des fonctions trigonométriques en a, b, a+ b et a − b, lorsque cela est possible : 3.1 Calculer 5 sin a = 25 0 < a < π2 cos a = − 12 π2 < a < π cos a = 13 0 < a < π2 a) b) c) 3 π 1 3π 12 sin b = 5 2 < b < π sin b = − 3 π < b < 2 sin b = 13 0 < b < π2 d) sin a = sin b = 4 5 3 5 0 < a < π2 π 2 <b<π e) cos a = √12 cos b = − 12 Exercice 3.2 Calculer cos θ, sin θ, tan θ pour θ = π 12 0 < a < π2 0<b<π puis pour f) 5π 7π 12 , 12 et tan a = tan 2b = 11π 12 . 1 7 1 3 0<a< 0<b< (Idem avec π 2 π 2 π 3π 5π 8, 8 , 8 et 7π 8 ) Exercice 3.3 Ecrire sous la forme a cos (θ + α)√et b sin (θ + β) les√expressions suivantes : a) cos θ + √ sin θ, cos θ − sin θ √ b) √3 cos θ − sin 3 cos θ − sin √ θ, − √ √θ c) cos θ − 3 sin θ, − cos θ − 3 sin θ d) 2 cos θ + 6 sin θ, 3 cos θ − 3 sin θ Exercice 3.4 Résoudre les équations 1 a) cos x = 0 , cos x = √ , 2 3 b) sin x = 0 , sin x = 2 , c) tan x = 0 , tan x = 1 , suivantes : √ 3 cos x = 32 √ √2 sin x = 1 3 tan x = 1 , , , Exercice 3.5 Résoudre les inéquations suivantes : √ 3 a) cos x > 0 , −1√< cos x ≤ 2√ , |cos x| < 12 3 2 b) sin x ≤ 0 , − 2 ≤ sin x ≤√ 2 , |sin x| ≤ 12 1 c) tan x ≥ 0 , √3 ≤ tan x < 3 , |tan x| < 1 cos (2x) = 1 sin (−x) = 1 √ tan (2x) = − 3 , , , , , , cos (3x) = cos (x) sin (x) = sin π3 − x tan (2x) = tan (−x) −1 < cos 2x +√π4 ≤ 12 1 3+1 −√ 2 < sin 2x < 2 − 3 < tan (3x) < √13 , , , cos2 x > 12 3 − 4 sin2 x < 0 tan2 x − 1 ≥ 0 Exercice 3.6 Soit p et q deux réels tels que cos p = 0 et cos q = 0. Démontrer que tan p + tan q = résoudre les équations suivantes tan x = tan 2x, tan x + tan 2x = 0 et tan 2x + tan x2 = 0. Exercice 3.7 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes : 3x+4 tan (2x), tan (π − 3x), tan x+2 Exercice 3.8 Montrer que pour tout α on a 1 + cos α = 2 cos2 α2 , 1 − cos α = 2 sin2 α 2 sin(p+q) cos p cos q 2 et 1 + sin α = cos α2 + sin α2 Exercice 3.9 Après avoir préciser le domaine de définition des expressions suivantes, montrer les égalités : sin x x 1−cos x 1−sin x x 2 x 2 π a) 1+cos = tan b) = tan c) = tan − x 2 1+cos x 2 1+sin x 4 2 Exercice 3.10 Factoriser les expressions suivantes : 2 3x a) cos2 2x − cos2 x b) sin2 2x − sin2 x2 c) sin2 5x d) tan 2x − tan x 2 − cos 4 e) 1 + cos x + cos 2x + cos 3x f) sin x + sin 2x + sin 3x g) 1 + 2 cos x + cos 2x h) 1 + sin 2x − cos 2x i) tan x + tan 3x j) 1 − tan x tan 2x Exercice 3.11 Soit cos x = √ √ 6+ 2 4 et 0 < x < π2 . Calculer cos 2x et en déduire x. puis Trigonométrie 18 Exercice 3.12 Démontrer les relations cos (x + y) cos (x − y) = cos2 x − sin2 y sin (x + y) cos (x − y) = cos x sin x + cos y sin y 2 sin (x − y) tan x − tan y = lorsque cette dernière a un sens cos (x + y) + cos (x − y) Exercice 3.13 Simplifier les sommes S1 = cos ωt + cos ωt − 3π sin ωt − 3π 4 cos 4 . 2π 3 + cos ωt − 4π 3 et S2 = sin ωt + sin ωt − π4 cos π4 + Exercice 3.14 Résoudre les équations trigonométriques (3.1) (3.2) cos 3x − cos 2x = 0, on donnera uniquement les solutions dans [−π, π] sin x − sin 5x = 0, on donnera uniquement les solutions dans [−π, π] Exercice 3.15 Résoudre sin x tan x + 2 cos x = 2 Exercice 3.16 Résoudre π √ 2 cos 2x + = 2 3 π cos 3x + = sin x 2 a) b) Exercice 3.17 Résoudre 1 4 cos x cos 2x sin x + 2 cos x sin x + 2 = 0 = 0 Les techniques Exercice 3.18 Résoudre les équations suivantes : √ √ a) cos x + sin x = 1 b) cos(2x) − 3 sin(2x) = 2 √ √ 6 cos 2x + 2 sin 2x = −2 c) Exercice 3.19 Résoudre les équations suivantes : a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0 b) sin x + 2 cos x + sin 3x = 0 tan x+tan 3x tan 2x−tan x d) cos x + cos 3x = sin x + sin 3x e) 1−tan x tan 3x = 1+tan 2x tan x Exercice 3.20 Résoudre les inéquations suivantes : a) cos x + cos x + π3 > 0 b) sin 2x > sin 3x c) d) cos x + sin x − 1 < 0 e) tan x > tan 3x f) Exercice 3.22 Démontrer que les systèmes (I) Résoudre (I). Exercice 3.23 Résoudre le système cos x cos y sin x sin y sin x cos y cos x sin y = = cos x + 2 sin x −√cos 3x = 0 √ 3−tan x √ 3 tan 2x √ = 1− 1+ 3 tan x 3+tan 2x cos x sin2√ x > sin x cos2 x √ tan2 x − 3 − 1 tan x − 3 < 0 Exercice 3.21 Calculer tan 4a en fonction de tan a. On définit deux réels a et b par tan a = 15 , a ∈ 0, π2 et tan b = c) f) √ 3+1 √4 3−1 4 1 239 , = = . 3 4 1 4 b ∈ 0, π2 . Déterminer c = 4a − b. et (II) sin (x + y) = sin (x − y) = 1 1 2 sont équivalents. 19 Les exotiques Exercice 3.24 Montrer que cos4 x = Exercice 3.25 Résoudre : 3 8 + 1 2 cos 2x + 1 8 cos 4x, puis calculer cos4 π 8 + cos4 3π 8 + cos4 5π 8 + cos4 7π 8 . √ 3 − 4 cos2 x > 1 + 3 sin x. Exercice 3.26 Résoudre les équations suivantes : 2 a) sin √ 2x√=cos 2x √ c) 1 + 2 sin x + 2 − 1 cos2 x + sin 2x = 2 e) 2 sin2 x + cos x − 1 = 0 b) d) f) cos2 x − sin2 x = cos 5x 2 cos2 x − sin x − 1 = 0 2 sin2 (x) + 2 sin (x) cos (x) − 1 = 0 √ √ Exercice 3.27 On considère la fonction f définie par f (x) = cos (3x) − 2 + 3 cos (2x) + 3 + 2 3 cos (x) − √ 2+ 3 1. Exprimer cos (3x) et cos (2x) à l’aide de cos (x) , sin (x) et de leur puissances. 2. En déduire que f (x) s’exprime uniquement à l’aide de cos (x). 3. Déterminer le signe de f en fonction de x sur l’intervalle [0, 2π] Exercice 3.28 Un calcul de Somme 1. Exprimer tan p − tan q à l’aide de sin (p − q) , cos p et cos q. 2. Soit α ∈ R tel que sin α = 0, simplifier la somme S= n k=0 1 cos (kα) cos ((k + 1) α) (on suppose que α est tel que cos kα = 0 pour k ∈ {1, · · · n}) Que vaut S si sin α = 0 (on considéra deux cas). 3 Les exotiques Exercice 3.29 Discuter et résoudre : a) m cos x − (m + 1) sin x − m = 0 b) cos2 x + 8 cos x sin x + 7 sin2 x = 0 Exercice 3.30 Montrer que sin2 (18◦ ) + cos2 (36◦ ) = 34 . Exercice 3.31 Montrer que sin3 (18◦ ) + sin2 (18◦ ) = 18 . Exercice 3.32 Montrer que le sinus et le cosinus d’angle α sont des nombres rationnels si et seulement si tan n’est pas défini ou est aussi rationnel. α 2 Exercice 3.33 Résoudre l’équation cos1999 (x) + cos2000 (x) + cos2001 (x) = 3 π π Exercice 3.34 4 La fonction f est définie pour x ∈ − 2 , 2 par f (tan (x)) = sin (2x) . Calculer f 3 . Exercice 3.35 On sait que, pour tout x, on a cos (2x) = cos2 (x) − sin2 (x) . Quel sont les réels x tels que cos (3x) = cos3 (x) − sin3 (x). Même question pour cos(4x) = cos4 (x) − sin4 (x) . Exercice 3.36 Soit k ∈ R et f (x) = sin6 x + cos6 x − k sin4 x + cos4 x . Simplifier f ′ (x) , en déduire la valeur de k pour laquelle f est constante et les valeurs de k pour lesquelles l’équation f (x) = 0 admet une solution. Exercice 3.37 Comment doit-on choisir λ pour que l’équation 1 + sin2 λx = cos x ait une unique solution ? Trigonométrie 20 4 Les olympiques Exercice 3.38 On sait que ∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Pouvez vous résoudre cosn (x) + sinn (x) = 1 pour n ≥ 3. Et pour l’équation cosn (x) − sinn (x) = 1, orsque n ≥ 2 ? Exercice 3.39 Sujet des 21ème Olympiades. USA 1992 : 1 1 1 cos (1◦ ) Prouver que + + ... + = cos (0◦ ) cos (1◦ ) cos (1◦ ) cos (2◦ ) cos (88◦ ) cos (89◦ ) sin2 (1◦ ) Exercice 3.40 Déterminer tous les vrais triangles tels que la somme des cosinus des angles soit égale à 93) Exercice 3.41 Soit α = 3 . (ESTP 2 π , calculer sin (α) sin (2α) + sin (2α) sin (3α) + ... + sin ((n − 2)α) sin ((n − 1) α) n Exercice 3.42 Soit a, b, c ∈ R tels que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 0 et sin(a) + sin(b) + sin(c) = 0. Montrer que cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) = 0 et sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) = 0. Exercice 3.43 (Olympiades Bulgares π d’Hiver 1997) π π Trouver les réels x tels que tan 12 − x , tan 12 et tan x + 12 forment une progression géométrique. Rappel : les réels non nuls a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ssi il existe q tel que b = aq, c = bq. on pourra utiliser la caractérisation suivante : ( a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ) ⇐⇒ ( ac = b2 ou a = b = c = 0 ) Exercice 3.44 (Olympiades polonaises 1992) tan (x 3 cotan (x1 ) = 2 tan (x2 ) 1) + tan (x2 ) + 3 cotan (x2 ) = 2 tan (x3 ) Résoudre le système .. .. . . tan (xn ) + 3 cotan (xn ) = 2 tan (x1 ) Exercice 3.45 Que dire du triangle ABC si −B + tan B −C + tan C −A =0 tan A B et C sont les angles aux sommets A, B et C du triangle. où A, Exercice 3.46 Que dire du triangle ABC si sin B̂ + sin Ĉ sin  = cos B̂ + cos Ĉ où Â, B̂ et Ĉ sont les angles aux sommets A, B et C du triangle. Exercice 3.47 Soit ABC un triangle, on note α, β et γ les angles aux sommets A, B et C. On suppose que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Montrer que le triangle est rectangle. 5 Le grenier Exercice 3.48 Simplifier 1 + tan x tan 2x