Chapitre 3 TRIGONOMÉTRIE

Chapitre 3
TRIGONOMÉTRIE
1 Les basiques
Exercice 3.1 Calculer les valeurs des fonctions trigonométriques en a,b,a+bet a−b, lorsque cela est possible :
a) sin a=
2
5
0< a <
π
2
sin b=
3
5
π
2
< b < π b) cos a=−
1
2
π
2
< a < π
sin b=−
1
3
π < b <
3π
2
c) cos a=
5
13
0< a <
π
2
sin b=
12
13
0< b <
π
2
d) sin a=
4
5
0< a <
π
2
sin b=
3
5
π
2
< b < π e) cos a=
1
√2
0< a <
π
2
cos b=−
1
2
0< b < π f) tan a=
1
7
0< a <
π
2
tan
b
2
=
1
3
0< b <
π
2
Exercice 3.2 Calculer cos θ,sin θ,tan θpour θ=
π
12
puis pour
5π
12
,
7π
12
et
11π
12
. (Idem avec
π
8
,
3π
8
,
5π
8
et
7π
8
)
Exercice 3.3 Ecrire sous la forme acos (θ+α)et bsin (θ+β)les expressions suivantes :
a) cos θ+ sin θ,cos θ−sin θb) √3 cos θ−sin θ,−√3 cos θ−sin θ
c) cos θ−√3 sin θ,−cos θ−√3 sin θd) √2 cos θ+√6 sin θ,√3 cos θ−√3 sin θ
Exercice 3.4 Résoudre les équations suivantes :
a) cos x= 0 ,cos x=
1
2
,√3 cos x=
3
2
,cos (2x) = 1 ,cos (3x) = cos (x)
b) sin x= 0 ,sin x=
√3
2
,√2 sin x= 1 ,sin (−x) = 1 ,sin (x) = sin 
π
3
−x
c) tan x= 0 ,tan x= 1 ,√3 tan x= 1 ,tan (2x) = −√3,tan (2x) = tan (−x)
Exercice 3.5 Résoudre les inéquations suivantes :
a) cos x > 0,−1<cos x≤
√3
2
,|cos x|<
1
2
,−1<cos 2x+
π
4
≤
1
2
,cos
2
x >
1
2
b) sin x≤0,−
√3
2
≤sin x≤
√2
2
,|sin x| ≤
1
2
,−
1
2
<sin 2x <
√3+1
2
,3−4 sin
2
x < 0
c) tan x≥0,
1
√3
≤tan x < √3,|tan x|<1,−√3<tan (3x)<
1
√3
,tan
2
x−1≥0
Exercice 3.6 Soit pet qdeux réels tels que cos p= 0 et cos q= 0. Démontrer que tan p+ tan q=
sin(p+q)
cos pcos q
puis
résoudre les équations suivantes tan x= tan 2x,tan x+ tan 2x= 0 et tan 2x+ tan
x
2
= 0.
Exercice 3.7 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes :
tan (2x),tan (π−3x),tan 
3x+4
x+2
Exercice 3.8 Montrer que pour tout αon a 1 + cos α= 2 cos
2α
2
,1−cos α= 2 sin
2α
2
et 1 + sin α=cos
α
2
+ sin
α
2
2
Exercice 3.9 Après avoir préciser le domaine de définition des expressions suivantes, montrer les égalités :
a)
sin x
1+cos x
= tan
x
2
b)
1−cos x
1+cos x
= tan
2x
2
c)
1−sin x
1+sin x
= tan
2
π
4
−
x
2
Exercice 3.10 Factoriser les expressions suivantes :
a) cos
2
2x−cos
2
xb) sin
2
2x−sin
2x
2
c) sin
25x
2
−cos
23x
4
d) tan 2x−tan x
e) 1 + cos x+ cos 2x+ cos 3xf) sin x+ sin 2x+ sin 3xg) 1 + 2 cos x+ cos 2x
h) 1 + sin 2x−cos 2xi) tan x+ tan 3xj) 1−tan xtan 2x
Exercice 3.11 Soit cos x=
√6+√2
4
et 0< x <
π
2
. Calculer cos 2xet en déduire x.

18 Trigonométrie
Exercice 3.12 Démontrer les relations
cos (x+y) cos (x−y) = cos
2
x−sin
2
y
sin (x+y) cos (x−y) = cos xsin x+ cos ysin y
tan x−tan y=2 sin (x−y)
cos (x+y) + cos (x−y)lorsque cette dernière a un sens
Exercice 3.13 Simplifier les sommes S
1
= cos ωt +cos ωt −
2π
3
+cos ωt −
4π
3
et S
2
= sin ωt+sin ωt −
π
4
cos
π
4
+
sin ωt −
3π
4
cos
3π
4
.
Exercice 3.14 Résoudre les équations trigonométriques
cos 3x−cos 2x= 0,on donnera uniquement les solutions dans [−π, π](3.1)
sin x−sin 5x= 0,on donnera uniquement les solutions dans [−π, π](3.2)
Exercice 3.15 Résoudre
sin xtan x+ 2 cos x= 2
Exercice 3.16 Résoudre
a) 2 cos 2x+π
3=√2
b) cos 3x+π
2= sin x
Exercice 3.17 Résoudre
sin x+1
4 cos x= 0
sin x+cos 2x
2 cos x= 0
2 Les techniques
Exercice 3.18 Résoudre les équations suivantes :
a) cos x+ sin x= 1 b) cos(2x)−√3 sin(2x) = √2c) √6 cos 2x+√2 sin 2x=−2
Exercice 3.19 Résoudre les équations suivantes :
a) sin x+ sin 2x+ sin 3x= 0 b) sin x+ 2 cos x+ sin 3x= 0 c) cos x+ 2 sin x−cos 3x= 0
d) cos x+ cos 3x= sin x+ sin 3xe)
tan x+tan 3x
1−tan xtan 3x
=
tan 2x−tan x
1+tan 2xtan x
f)
√3−tan x
1+√3 tan x
=
1−√3 tan 2x
√3+tan 2x
Exercice 3.20 Résoudre les inéquations suivantes :
a) cos x+ cos x+
π
3
>0b) sin 2x > sin 3xc) cos xsin
2
x > sin xcos
2
x
d) cos x+ sin x−1<0e) tan x > tan 3xf) tan
2
x−√3−1tan x−√3<0
Exercice 3.21 Calculer tan 4aen fonction de tan a.
On définit deux réels aet bpar tan a=
1
5
,a∈0,
π
2
et tan b=
1
239
,b∈0,
π
2
. Déterminer c= 4a−b.
Exercice 3.22 Démontrer que les systèmes (I)sin xcos y=
3
4
cos xsin y=
1
4
et (II)sin (x+y) = 1
sin (x−y) =
1
2
sont équivalents.
Résoudre (I).
Exercice 3.23 Résoudre le système cos xcos y=
√3+1
4
sin xsin y=
√3−1
4
.

Les exotiques 19
Exercice 3.24 Montrer que cos
4
x=
3
8
+
1
2
cos 2x+
1
8
cos 4x, puis calculer cos
4π
8
+ cos
43π
8
+ cos
45π
8
+ cos
47π
8
.
Exercice 3.25 Résoudre : √3−4 cos
2
x > 1 + 3 sin x.
Exercice 3.26 Résoudre les équations suivantes :
a) sin 2x= cos
2
xb) cos
2
x−sin
2
x= cos 5x
c) 1 + √2sin
2
x+√2−1cos
2
x+ sin 2x=√2d) 2 cos
2
x−sin x−1 = 0
e) 2 sin
2
x+ cos x−1 = 0 f) 2 sin
2
(x) + 2 sin (x) cos (x)−1 = 0
Exercice 3.27 On considère la fonction fdéfinie par f(x) = cos (3x)−2 + √3cos (2x) + 3 + 2√3cos (x)−
2 + √3
1. Exprimer cos (3x)et cos (2x)à l’aide de cos (x),sin (x)et de leur puissances.
2. En déduire que f(x)s’exprime uniquement à l’aide de cos (x).
3. Déterminer le signe de fen fonction de xsur l’intervalle [0,2π]
Exercice 3.28 Un calcul de Somme
1. Exprimer tan p−tan qà l’aide de sin (p−q),cos pet cos q.
2. Soit α∈Rtel que sin α= 0, simplifier la somme
S=
n
k=0
1
cos (kα) cos ((k+ 1) α)
(on suppose que αest tel que cos kα = 0 pour k∈ {1,···n})
Que vaut Ssi sin α= 0 (on considéra deux cas).
3 Les exotiques
Exercice 3.29 Discuter et résoudre :
a) mcos x−(m+ 1) sin x−m= 0 b) cos
2
x+ 8 cos xsin x+ 7 sin
2
x= 0
Exercice 3.30 Montrer que sin
2
(18
◦
) + cos
2
(36
◦
) =
3
4
.
Exercice 3.31 Montrer que sin
3
(18
◦
) + sin
2
(18
◦
) =
1
8
.
Exercice 3.32 Montrer que le sinus et le cosinus d’angle αsont des nombres rationnels si et seulement si tan 
α
2
n’est pas défini ou est aussi rationnel.
Exercice 3.33 Résoudre l’équation cos
1999
(x) + cos
2000
(x) + cos
2001
(x) = 3
Exercice 3.34 La fonction fest définie pour x∈−
π
2
,
π
2
par f(tan (x)) = sin (2x).
Calculer f
4
3
.
Exercice 3.35 On sait que, pour tout x, on a cos (2x) = cos
2
(x)−sin
2
(x).Quel sont les réels xtels que cos (3x) =
cos
3
(x)−sin
3
(x). Même question pour cos(4x) = cos
4
(x)−sin
4
(x).
Exercice 3.36 Soit k∈Ret f(x) = sin
6
x+ cos
6
x−ksin
4
x+ cos
4
x. Simplifier f
′
(x),en déduire la valeur de k
pour laquelle fest constante et les valeurs de kpour lesquelles l’équation f(x) = 0 admet une solution.
Exercice 3.37 Comment doit-on choisir λpour que l’équation 1 + sin
2
λx = cos xait une unique solution ?

20 Trigonométrie
4 Les olympiques
Exercice 3.38 On sait que ∀x∈R,cos
2
(x) + sin
2
(x) = 1. Pouvez vous résoudre cos
n
(x) + sin
n
(x) = 1 pour n≥3.
Et pour l’équation cos
n
(x)−sin
n
(x) = 1, orsque n≥2?
Exercice 3.39 Sujet des 21
`eme
Olympiades. USA 1992 :
Prouver que 1
cos (0
◦
) cos (1
◦
)+1 cos (1
◦
) cos (2
◦
)+... +1 cos (88
◦
) cos (89
◦
)=cos (1
◦
)
sin
2
(1
◦
)
Exercice 3.40 Déterminer tous les vrais triangles tels que la somme des cosinus des angles soit égale à 3
2. (ESTP
93)
Exercice 3.41 Soit α=π
n,calculer sin (α) sin (2α) + sin (2α) sin (3α) + ... + sin ((n−2)α) sin ((n−1) α)
Exercice 3.42 Soit a, b, c ∈Rtels que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 0 et sin(a) + sin(b) + sin(c) = 0. Montrer que
cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) = 0 et sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) = 0.
Exercice 3.43 (Olympiades Bulgares d’Hiver 1997)
Trouver les réels xtels que tan 
π
12
−x,tan 
π
12
et tan x+
π
12
forment une progression géométrique.
Rappel : les réels non nuls a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ssi il existe qtel que b=aq, c =
bq.
on pourra utiliser la caractérisation suivante :
(a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ) ⇐⇒ (ac =b
2
ou a=b=c= 0 )
Exercice 3.44 (Olympiades polonaises 1992)
Résoudre le système 
tan (x
1
) + 3 cotan (x
1
) = 2 tan (x
2
)
tan (x
2
) + 3 cotan (x
2
) = 2 tan (x
3
)
.
.
..
.
.
tan (x
n
) + 3 cotan (x
n
) = 2 tan (x
1
)
Exercice 3.45 Que dire du triangle ABC si
tan  A− B+ tan  B− C+ tan  C− A= 0
où  A,  Bet  Csont les angles aux sommets A, B et Cdu triangle.
Exercice 3.46 Que dire du triangle ABC si
sin ˆ A=sin ˆ
B+ sin ˆ C
cos ˆ B+ cos ˆ C
où ˆ A, ˆ Bet ˆ Csont les angles aux sommets A, B et Cdu triangle.
Exercice 3.47 Soit ABC un triangle, on note α, β et γles angles aux sommets A, B et C. On suppose que
cos
2
α+ cos
2
β+ cos
2
γ= 1
Montrer que le triangle est rectangle.
5Le grenier
Exercice 3.48 Simplifier 1 + tan xtan 2x