EZ Suites récurrentes linéaires

EZ 1
EZ - SUITES RECURRENTES LINEAIRES
Voir aussi AR.
Une suite a= (an)n≥0à coefficients dans Cest dite récurrente linéaire s’il existe un polynôme non
nul
Q(X) =
r
X
k=0
ξkXk
tel que, pour tout entier naturel n,r
X
k=0
ξkan+k= 0 .
Un tel polynôme est appelé polynôme caractéristique de la suite a.
Théorème 1 L’ensemble Q(a)formé des polynômes caractéristiques de aet du polynôme nul
constitue un idéal et un sous-espace vectoriel de C[X].
a) Soit λet µdeux nombres complexes et Q1et Q2deux éléments de Q(a). On peut les écrire
Q1(X) =
r
X
k=0
ξkXket Q2(X) =
r
X
k=0
ζkXk,
et l’on a, pour tout n≥0,r
X
k=0
ξkan+k= 0 et
r
X
k=0
ζkan+k= 0 .
Alors r
X
k=0
(λξk+µζk)an+k= 0 ,
et le polynôme λQ1+µQ2est un polynôme caractéristique de a.
Donc Q(a)est un sous-espace vectoriel de C[X].
b) Si
Q(X) =
r
X
k=0
ξkXk
est dans Q(a), alors en particulier, pour tous entiers naturels ket s, on a
r
X
k=0
ξkan+k+s= 0 .

EZ 2
cela montre que le polynôme XsQest dans Q(a). Alors si Rest un polynôme quelconque, le polynôme
RQ s’écrit comme combinaison linéaire des polynômes XsQet appartient à Q(a)par linéarité. Donc
Q(a)est un idéal de C[X].
Dans ce qui suit on appellera polynôme minimal de a, le polynôme générateur unitaire de Q(a). Il
sera noté
Qa(X) = Xr−
r−1
X
k=0
ξkXk.
On a donc, si n≥0,
an+r=
r−1
X
k=0
ξkan+k.
Remarques
1. Si la suite aest la suite nulle, alors Q(a)est C[X]tout entier.
2. Si le polynôme minimal de aa un terme constant nul, on a
Qa(X) = Xr−
r−1
X
k=q
ξkXk
avec ξqnon nul et, si n≥0,
an+r=
r−1
X
k=q
ξkan+k.
Alors
Qa(X)
Xq=Xr−q−
r−1
X
k=q
ξkXk−q=Xr−q−
r−q−1
X
k=0
ξk+qXk
et
an+r=
r−q−1
X
k=0
ξk+qan+k+q.
Posons
bn=an+q.
On obtient
bn+r−q=
r−q−1
X
k=0
ξk+qbn+k,
et le polynôme Qa(X)/Xqest le polynôme minimal Qb(X)de la suite b= (bn)n≥0. Par ailleurs on
constate que
XrQa(1/X) = Xr−qQb(1/X) = 1 −
r−1
X
k=q
ξkXr−k.

EZ 3
Changement de variable
Théorème 2 Soit aune suite récurrente linéaire de polynôme caractéristique minimal Qa. Alors,
si λest un nombre complexe non nul, la suite bdéfinie par
bn=λnan,
a pour polynôme caractéristique minimal
Qb(X) = λrQaX
λ.
En effet, si l’on a
an+r=ξr−1an+r−1+···+ξ0an,
en multipliant par λn+r, il vient
bn+r=ξr−1λbn+r−1+···+ξ0λrbn,
et donc
Qb(X) = Xr−ξr−1λXr−1− · · · − ξ0λr=λrQaX
λ.
Majoration de la suite
Démontrons pour commencer un résultat sur les polynômes.
Lemme Soit Pun polynôme de degré r > 0, de la forme
P(X) = Xr−
r−1
X
k=0
βkXk,
où les coefficients βksont réels positifs, mais ne sont pas tous nuls. Alors le polynôme Ppossède
une racine réelle strictement positive et une seule. De plus cette racine est simple.

EZ 4
1) Calculons rP (X)−XP ′(X). On obtient
rP (X)−XP ′(X) = r Xr−
r−1
X
k=0
βkXk!−X rXr−1−
r−1
X
k=1
kβkXk−1!
=
r−1
X
k=0
(k−r)βkXk,
et cette expression est strictement négative sur ] 0,+∞[. Il en résulte que sur cet intervalle, les poly-
nômes Pet P′ne peuvent s’annuler simmultanément. S’il existe une racine positive de Pelle est donc
simple.
2) Montrons par récurrence sur le degré rque le polynôme Ppossède une racine réelle strictement
positive et une seule.
Un polynôme de degré 1est de la forme X−β0avec β0>0. Il y a donc bien une racine réelle stricte-
ment positive et une seule qui est β0.
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre r−1où r≥2, et soit Pun polynôme de degré r. Trois
cas peuvent se produire.
a) Les coefficients β0,...,βq−1sont nuls et βqne l’est pas. Alors
P(X)
Xq=Xr−q−
r−1
X
k=q
βkXk−q.
Ce polynôme vérifie les conditions du lemme et est de degré r−q≤r−1. Alors par hypothèse de
récurrence, il possède une racine réelle strictement positive et une seule, donc Pégalement.
b) Tous les coefficents autres que β0sont nuls, c’est-à-dire
P(X) = Xr−β0.
Donc Ppossède une racine réelle strictement positive et une seule β1/r
0.
c) Le nombre β0et un autre coefficient ne sont pas nuls. On a alors
P′(X) = rXr−1−
r−1
X
k=1
kβkXk−1.
On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à P′/r qui possède alors une racine réelle λstrictement
positive et une seule. Comme cette racine est simple, la fonction P′change de signe en λ. Alors P
décroît de P(0) = −β0<0àP(λ)qui par suite est négatif, puis croît strictement de P(λ)à+∞. Donc
Ppossède une racine réelle strictement positive et une seule. La propriété est donc vraie à l’ordre r,
donc pour tout r≥1.

EZ 5
Théorème 3 Pour toute suite arécurrente linéaire de polynôme caractéristique minimal Qa, il
existe deux nombres réels Kpositif, et λstrictement positif, tels que, pour tout entier n,
|an| ≤ K λn.
Si les coefficients ξksont tous nuls, on a an= 0 pour n≥ret le résultat est évident en prenant
λ= 1 et K= max
0≤k≤r−1|ak|.
Supposons désormais que l’on n’est pas dans cette situation.
Notons e Qale polynôme
e
Qa(X) = Xr−
r−1
X
k=0
|ξk|Xk,
et eala suite récurrente linéaire de polynôme caractéristique e Qatelle que, pour kcompris entre 0et
r−1,
eak=|ak|.
On montre par récurrence que, pour tout entier k≥0,
|ak| ≤ eak.
On a égalité lorsque 0≤k≤r−1. Supposons l’inégalité vraie jusqu’à l’ordre n+r−1. Alors
|an+r|=|ξr−1an+r−1+···+ξ0an|
≤ |ξr−1| |an+r−1|+···+|ξ0| |an|
≤ |ξr−1|ean+r−1+···+|ξ0|ean.
Mais le membre de droite vaut ean+r, donc
|an+r| ≤ ean+r,
et l’inégalité est vraie au rang n+r. Il en résulte qu’elle est vraie quel que soit k.
Si les coefficients ξkne sont pas tous nuls, alors d’après le lemme, le polynôme e Qapossède une racine
λstrictement positive. Posons
K= max
0≤k≤r−1|ak|λ−k.
Lorsque 0≤k≤r−1, on a donc
eak=|ak| ≤ K λk.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel k,
eak≤K λk.