Feuille d`exercices no 3

L3 Int´egration
Feuille d’exercices no3
Exercice 1. (mesure image)
Soient (Ω,B, µ) un espace mesur´e et (Ω0,B0) un espace mesurable. Soit ´egalement
φ: Ω →Ω0une application mesurable. Montrer qu’on d´efinit une mesure µφsur
(Ω0,B0) en posant, pour tout A∈B0:µφ(A) = µ(φ−1(A)).On dit que µφest la
mesure image de µpar l’application φ.
Exercice 2. Soit f:R→R. On suppose qu’il existe un ensemble d´enombrable
D⊂Rtel que la restriction de f`a R\Dest continue. Montrer que fest bor´elienne.
Exercice 3. Montrer qu’il existe des fonctions f:R→Rbor´eliennes qui ne sont
continues en aucun point.
Exercice 4. Soit Ω un ensemble, et soit (Ai)i∈Iune partition d´enombrable de Ω.
On note Bla tribu engendr´ee par la famille (Ai)i∈I.
(1) Montrer que Best exactement ´egale `a l’ensemble des A∈ P(Ω) qui peuvent
s’´ecrire sous la forme A=Si∈JAi, o`u Jest un sous-ensemble de I(d´ependant
de A).
(2) Montrer qu’une fonction f: Ω →Rest B-mesurable si et seulement si elle
est constante sur chaque ensemble Ai.
Exercice 5. Soit Ω un espace topologique, et soit f: Ω →Rune fonction arbitraire.
On note Cfl’ensemble des points de continuit´e de f.
(1) Montrer qu’un point x∈Ω appartient `a Cfsi et seulement si la propri´et´e
suivante est v´erifi´ee : pour tout ε > 0, il existe un voisinage ouvert Ode x
tel que ∀u, v ∈O:|f(u)−f(v)| ≤ ε.
(2) Montrer que Cfest un ensemble bor´elien. Plus pr´ecis´ement, montrer que Cf
est une intersection d´enombrable d’ouverts.
Exercice 6. On dit qu’une fonction f:R2→Rest s´epar´ement continue si elle
est continue par rapport `a chaque variable s´epar´ement; autrement dit : pour tout
x∈Rfix´e, la fonction y7→ f(x, y) est continue, et pour tout y∈Rfix´e, la fonction
x7→ f(x, y) est continue.
(1) Montrer qu’il existe des fonctions s´epar´ement continues qui ne sont pas con-
tinues.
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(2) Soit f:R2→Rs´epar´ement continue. On note Ila famille de tous les
intervalles ferm´es I⊂R`a extr´emit´es rationnelles. Montrer que pour α∈R
fix´e et pour (x, y)∈R2, on a l’´equivalence suivante:
f(x, y)> α ⇐⇒ ∃k∈N∗∃I∈ I x∈Iet ∀u∈I:f(u, y)≥α+1
k.
(3) Montrer que toute fonction s´epar´ement continue est bor´elienne.
Exercice 7. Dans tout l’exercice, (Y, d) est un espace m´etrique.
(1) Soit (yn) une suite de points de Yconvergeant vers un point y∈Y. Montrer
que pour tout ouvert O⊂Y, on a l’´equivalence suivante :
y∈O⇐⇒ ∃ε > 0∃N∈N∀p≥N: dist(yp, Y \O)≥ε .
(2) Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (fn) est une suite de fonctions
mesurables de Ω dans Y. On suppose que la suite (fn) converge simplement
vers une fonction f: Ω →Y. Montrer que fest mesurable.
Exercice 8. Montrer que si f:R→Rest d´erivable en tout point, alors f0est une
fonction bor´elienne.
Exercice 9. Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (fn) une suite de fonctions
mesurables sur Ω, `a valeurs dans un espace m´etrique (Y, d). Soit ´egalement b∈Y.
Montrer que l’ensemble A={x∈Ω; limn→∞ fn(x) = b}est mesurable (i.e. A∈B).
Exercice 10. Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (fn)n∈Nune suite de fonctions
mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. On note Al’ensemble des points x∈Ω tels que
la suite (fn(x)) converge dans R. Montrer que l’ensemble Aest mesurable.
Exercice 11. (tribu engendr´ee par une application)
Soit Ω un ensemble, et soit φ: Ω →R. On pose Bφ={φ−1(A); A∈B(R)}, o`u
B(R) est la tribu bor´elienne de R.
(1) Montrer que Bφest une tribu. Plus pr´ecis´ement, montrer que Bφest la
plus petite tribu sur Ω rendant φmesurable. On dit que Bφest la tribu
engendr´ee par φ.
(2) Montrer que si g:R→Rest bor´elienne, alors g◦φest Bφ-mesurable
(3) Montrer inversement que si f: Ω →Rest Bφ-mesurable, alors il existe une
fonction bor´elienne g:R→Rtelle que f=g◦φ. (On pourra commencer par
le cas o`u fest une fonction ´etag´ee, puis traiter le cas d’une fonction positive,
et enfin le cas g´en´eral).
(4) Dans cette question, on prend Ω = Ret φ(x) = |x|. Montrer qu’une fonction
f:R→Rest Bφ-mesurable si et seulement si elle est bor´elienne et paire.

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Exercice 12. (fonctions de 1`ere classe)
On dit qu’une fonction f:R→Rest de 1`ere classe de Baire si fest limite
simple d’une suite de fonctions continues.
(1) En raisonnant comme dans l’exercice 7, montrer que si f:R→Rest une
fonction de 1`ere classe de Baire, alors, pour tout ouvert O⊂R, l’ensemble
f−1(O) est r´eunion d´enombrable de ferm´es. (En fait, on peut montrer que la
r´eciproque est vraie; mais c’est un peu plus d´elicat).
(2) Montrer que si A⊂Ret si 1Aest une fonction de 1`ere classe de Baire, alors
Aest `a la fois r´eunion d´enombrable de ferm´es et intersection d´enombrable
d’ouverts. En d´eduire, `a l’aide du th´eor`eme de Baire, qu’il existe des fonctions
bor´eliennes qui ne sont pas de 1`ere classe de Baire.
(3) Soit f:R→R. On suppose qu’il existe une suite de fonctions de 1`ere classe
de Baire (ϕk) qui converge uniform´ement vers f.
(a) Pourquoi existe-t-il une sous-suite (ψk) de (ϕk) telle que kψk−fk∞≤
2−k−1pour tout k∈N?
(b) On pose u0=ψ0et uk=ψk−ψk−1pour k≥1. Montrer que les
uksont de 1`ere classe, qu’on a kukk∞≤2−kpour tout k≥1, et que
P∞
k=0 uk=f.
(c) Montrer que pour tout k≥1, il existe une suite de fonctions continues
(uk,n)n∈Nqui converge simplement vers uket v´erifiant de plus ∀n∈N:
kuk,nk∞≤2−k.
(d) Pour n∈N, on pose fn=P∞
k=1 uk,n. Pourquoi la fonction fnest-elle
continue?
(e) Montrer que la fonction fest de 1`ere classe de Baire.
Exercice 13. (th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e)
Soit (Ω,B, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) <∞. Soit ´egalement T: Ω →Ω une
application mesurable. On suppose que Tpr´eserve la mesure µ, ce qui signifie
qu’on a µ(T−1(A)) = µ(A) pour tout A∈B.
(1) Soit A∈B, et soit p∈N∗. On pose
F={x∈A;∀n≥p:Tn(x)6∈ A},
o`u Tn=T◦ · · · ◦ Test la n-i`eme it´er´ee de T.
(a) Montrer que les ensembles (Tkp)−1(F), k≥0, sont deux `a deux disjoints.
(Pour k < k0, on pourra ´ecrire Tk0p=T(k0−k)p◦Tkp).
(b) Montrer qu’on a µ(F) = 0.
(2) Soit A∈Bv´erifiant µ(A)>0. Montrer qu’il existe un point x∈Atel que
Tn(x)∈Apour une infinit´e d’entiers n.

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Exercice 14. (th´eor`eme d’Egorov)
Soit (Ω,B, µ) un espace mesur´e, avec µ(Ω) = 1. Soit ´egalement (fn) une suite de
fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. On suppose que la suite (fn) converge
simplement vers une fonction f. Dans toute la suite, on fixe ε > 0.
(1) Soit k∈N∗. Pour n∈N, on pose
An={x∈Ω; ∀p≥n:|fp(x)−f(x)|<1
k}.
Montrer qu’il existe un entier nktel que µ(Ank)>1−2−kε.
(2) Montrer qu’il existe un ensemble A∈Btel que µ(A)>1−εet tel que la
suite (fn) converge uniform´ement sur A.
Exercice 15. (th´eor`eme de Lusin)
Soit Ω un espace m´etrique, et soit f: Ω →Rune fonction bor´elienne. Soit ´egalement
µune mesure bor´elienne sur Ω telle que µ(Ω) = 1. Le but de l’exercice est de
d´emontrer le r´esultat suivant : pour tout ε > 0, il existe un ferm´e Kε⊂Ωtel que
µ(Kε)>1−εet tel que la restriction de f`a Kεest continue. On aura besoin d’utiliser
le fait que la mesure µest r´eguli`ere, au sens suivant : pour tout bor´elien A⊂Ω et
pour tout η > 0, on peut trouver un ferm´e Ftel que F⊂Aet µ(F)> µ(A)−η.
Dans toute la suite, on fixe ε > 0.
(1) Pour k∈N, on d´efinit une fonction ϕk: Ω →Rde la fa¸con suivante :
ϕk(x) = nk(x) 2−k, o`u nk(x) est l’unique entier n∈Ztel que n2−k≤f(x)<
(n+ 1) 2−k. Montrer que les fonctions ϕksont bor´eliennes, et que la suite
(ϕk) converge uniform´ement vers f.
(2) Soit k∈Nfix´e. Pour n∈Z, on pose Ak,n ={x∈Ω; nk(x) = n}.
(a) Combien vaut µSn∈ZAk,n?
(b) En utilisant la r´egularit´e de la mesure µ, montrer qu’il existe un entier
Nk∈Net des ferm´es Fk,−Nk, . . . , Fk,Nktels que Fk,n ⊂Ak,n pour tout
n∈ {−Nk, . . . , Nk}et
µ Nk
[
n=−Nk
Fk,n!>1−ε
2k+2 ·
(3) Avec les notations de (2), on pose Ek=SNk
n=0 Fk,n. Montrer que pour tout
k∈N, la restriction de ϕk`a Ekest continue.
(4) D´emontrer le r´esultat souhait´e en consid´erant Kε=Tk∈NEk.