Le nombre d`or

Travaux pratiques informatiques N˚2 Seconde 9
Le nombre d’or
Information
Le Nombre d’Or est un nombre remarquable au sens o`u on le retrouve dans de nombreuses oeuvres
d’art , dans la nature en g´en´eral et en Math´ematiques.
Les figures que l’on consid`ere comme harmonieuses pr´esentent souvent des proportions li´ees `a ce nombre
Dans ce TP , vous allez en partant de la d´efinition donn´ee par Vitruve (1er si`ecle avant JC ) d´eterminer
une valeur approch´ee du Nombre d’Or
Herv´e Gurgey 12 octobre 2009

Travaux pratiques informatiques N˚2 Seconde 9
D´efinition g´eom´etrique
On retrouve une d´efinition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve, architecte romain au Ier si`ecle
avant notre `ere.
Sur un segment [AB] est plac´e un point Cd´elimitant deux segments [AC] et [CB].
Le nombre d’or est d´etermin´e par une proportion :
Il y a de la petite partie `a la grande, le mˆeme rapport que de la grande au tout
Le Nombre d’Or , not´e φ, est l’inverse de ce rapport.
Consid´erons un segment [AB] et un point C sur ce segment :
A A
•• •
C
1. La phrase de Vitruve peut ˆetre traduite par l’une des ´egalit´es ci-dessous :
Quelle est-elle ? AC
AB =BC AC
BC
AC =AC CB
CB
CA =AC AB
2. Lorsque cette ´egalit´e est v´erifi´ee, comment est d´efini le nombre φ?
Utilisation d’un logiciel comme GeoplanGeospace ou GeoGebra.
Consid´erons que le segment [AB] mesure une unit´e de longueur.
On pourra afficher le rep`ere du logiciel.
1. Premi`ere m´ethode pour obtenir une valeur approch´ee de φavec le logiciel.
(a) Construire un segment [AB] de longueur 1.
(b) Construire un point libre C sur le segment [AB].
(c) Cr´eer les nombres r1=AC
CB et r2=AB AC et afficher leurs valeurs (3 d´ecimales).
(d) i. En observant les valeurs de r1et r2affich´ees, d´eplacer le point C (avec la souris), jusqu’`a
obtenir l’ «´egalit´e »des deux rapports. Pour obtenir plus de pr´ecision, il peut ˆetre n´ecessaire
de piloter le point C au clavier en ´etant attentif au pas du d´eplacement.
ii. Combien de positions conviennent ?
iii. Donner une valeur approch´ee de la valeur commune φde r1et r2.
Utilisation d’un logiciel de calcul formel
1. Rendez vous sur le site mathenatholu `a la rubrique : logiciels incontournables
Ouvrir alors l’article Xcas puis cliquez sur le lien
Cliquez sur le petit ecran noir dans le bandeau sup´erieur
2. Dans la zone de saisie ; tapez solve (x/(1 −x) = 1 −x)
3. Deux solution sont propos´ees . Notez la solution positive
4. Puisque φ= 1/x montrer que φ=1 + √5
2
Herv´e Gurgey 22 octobre 2009