Travaux pratiques informatiques N˚2 Seconde 9 Le nombre d’or Information Le Nombre d’Or est un nombre remarquable au sens où on le retrouve dans de nombreuses oeuvres d’art , dans la nature en général et en Mathématiques. Les figures que l’on considère comme harmonieuses présentent souvent des proportions liées à ce nombre Dans ce TP , vous allez en partant de la définition donnée par Vitruve (1er siècle avant JC ) déterminer une valeur approchée du Nombre d’Or Hervé Gurgey 1 2 octobre 2009 Travaux pratiques informatiques N˚2 Seconde 9 Définition géométrique On retrouve une définition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve, architecte romain au Ier siècle avant notre ère. Sur un segment [AB] est placé un point C délimitant deux segments [AC] et [CB]. Le nombre d’or est déterminé par une proportion : Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que de la grande au tout Le Nombre d’Or , noté φ , est l’inverse de ce rapport. Considérons un segment [AB] et un point C sur ce segment : A• • C •A 1. La phrase de Vitruve peut être traduite par l’une des égalités ci-dessous : BC CB AC AC Quelle est-elle ? AC = BC = = AB AC AC CB CA AB 2. Lorsque cette égalité est vérifiée, comment est défini le nombre φ ? Utilisation d’un logiciel comme GeoplanGeospace ou GeoGebra. Considérons que le segment [AB] mesure une unité de longueur. On pourra afficher le repère du logiciel. 1. Première méthode pour obtenir une valeur approchée de φ avec le logiciel. (a) Construire un segment [AB] de longueur 1. (b) Construire un point libre C sur le segment [AB]. AC AB (c) Créer les nombres r1 = et r2 = et afficher leurs valeurs (3 décimales). CB AC (d) i. En observant les valeurs de r1 et r2 affichées, déplacer le point C (avec la souris), jusqu’à obtenir l’ « égalité » des deux rapports. Pour obtenir plus de précision, il peut être nécessaire de piloter le point C au clavier en étant attentif au pas du déplacement. ii. Combien de positions conviennent ? iii. Donner une valeur approchée de la valeur commune φ de r1 et r2 . Utilisation d’un logiciel de calcul formel 1. Rendez vous sur le site mathenatholu à la rubrique : logiciels incontournables Ouvrir alors l’article Xcas puis cliquez sur le lien Cliquez sur le petit ecran noir dans le bandeau supérieur 2. Dans la zone de saisie ; tapez solve (x/(1 − x) = 1 − x) 3. Deux solution sont proposées . Notez la solution positive √ 1+ 5 4. Puisque φ = 1/x montrer que φ = 2 Hervé Gurgey 2 2 octobre 2009