Cours du 15 septembre

4eCours
Dans ce cours, nous avons poursuivi l’´etude de la notion de limite en consid´erant des exemples. La mati`ere
est celle du chapitre 3 des pages 17 `a 18.
Exemple 1. Nous avons
lim
(x,y)→(1,3)(x2−5y) = −14.
Intuitivement x2approche 12= 1 et −5yapproche −15 lorsque (x, y) approche (1,3). Si nous utilisons la
d´efinition de limite, nous pouvons v´erifier ceci. Soit ε > 0. Nous voulons trouver δ > 0 tel que
|x2−5y−(−14)|< ε si max{|x−1|,|y−3|} < δ.
Notons que
|x2−5y−(−14)|=|(x2−12)−5(y−3)|≤|x2−1|+ 5|(y−3)|=|(x−1)(x+ 1)|+ 5|(y−3)|
parce que |a+b|≤|a|+|b|pour tous nombres r´eels a,b. Ceci est l’in´egalit´e du triangle. Prenons maintenant
δ= min nε
10,1o.
Si max{|x−1|,|y−3|} < δ alors |x−1|< δ ≤1 et |x+ 1|=|x−1+2| ≤ |x−1|+ 2 ≤1 + 2 = 3 par
l’in´egalit´e du triangle. Cons´equemment si max{|x−1|,|y−3|} < δ, alors
|x2−1|=|(x−1)(x+ 1)|=|x−1| |x+ 1|<3δ≤3ε
10et 5|y−3|<5δ≤5ε 10.
Finalement si max{|x−1|,|y−3|} < δ, alors
|x2−5y−(−14)|=|(x2−12)−5(y−3)|≤|x2−1|+ 5|(y−3)|<3ε
10+5ε 10=8ε 10< ε.
Exemple 2. Soit la fonction
f(x, y) = 
(3x−5y)2
(x2+ 4y2),si (x, y)6= (0,0);
0,si (x, y) = (0,0).
Calculons la limite
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) (si elle existe).
Sur l’axe des x(c’est-`a-dire les points o`u y= 0) sauf `a l’origine, alors la fonction est toujours ´egale `a 9. En
effet,
f(x, 0) = (3x−5(0))2
(x2+ 4(0)2)=9x2 x2= 9.
Sur l’axe des y(c’est-`a-dire les points o`u x= 0) sauf `a l’origine, alors la fonction est toujours ´egale `a 25. En
effet,
f(0, y) = (3(0) −5(y))2
(02+ 4(y)2)=25y2 4y2=25 4.
De ceci, nous pouvons conclure que
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) n’existe pas.
1

Exemple 3. Soit la fonction
f(x, y) = 
5x4y
(x6+ 7y3)si x6+ 7y36= 0;
0 si x6+ 7y3= 0.
Calculons la limite
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) (si elle existe).
Si nous consid´erons la valeur de fsur l’axe des x, sauf `a l’origine (c’est--dire x6= 0 et y= 0), nous obtenons
f(x, 0) = 5x4(0)
(x6+ 7(0)3)= 0.
De mˆeme, si nous consid´erons la valeur de fsur l’axe des y, sauf `a l’origine (c’est--dire x= 0 et y6= 0), nous
obtenons
f(0, y) = 5(0)4(y)
((0)6+ 7y3)= 0.
Ce qui pr´ec`ede ne nous permet pas d’affirmer que la limite existe, mais plutˆot que si elle existe, alors elle
doit ˆetre ´egale `a 0.
Consid´erons maintenant les valeurs de fpour les points, sauf l’origine, sur la droite d’´equation y=mx de
pente met passant par l’origine. Nous pouvons supposer que m6= 0, car le cas o`u m= 0 est celui de l’axe
des x. Nous obtenons
f(x, mx) = 5x4(mx)
x6+ 7(mx)3=5mx2 7m3+x3
Si (x, y)→(0,0) sur la droite d’´equation y=mx, c’est-`a-dire x→0, alors f(x, mx)→0. Ceci ne montre
pas que la limite de f(x, y) est ´egale `a 0 lorsque (x, y)→(0,0), mais ne le contredit pas aussi.
Si nous consid´erons maintenant les valeurs de fpour les points, sauf l’origine, sur la parabole d’´equation
y=x2passant par l’origine, nous obtenons
f(x, x2) = 5x4(x2)
(x6+ 7(x2)3)=5 8.
De ceci nous pouvons conclure que la limite de f(x, y) n’existe pas. En effet il existe des points de la
parabole y=x2aussi pr`es que nous pouvons le d´esirer de (0,0) et pour chacun de ces points, fprend la
valeur 5/86= 0. Le graphe de cette fonction est illustr´e sur la figure suivante.
2

-1
-0,5
0y
-20
10,5 0,5
-15
0
-10
x-0,5 1
-1
-5
0
5
10
Exemple 4. Soit la fonction
f(x, y) = 
(x4−5xy2)
(x2+y2)si (x, y)6= (0,0);
0 si (x, y) = (0,0).
Calculons la limite
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) (si elle existe).
Si nous consid´erons la valeur de fsur l’axe des x, sauf `a l’origine (c’est--dire x6= 0 et y= 0), nous obtenons
f(x, 0) = x4−5x(0)2
(x2+ (0)2)=x2.
Donc f(x, 0) approche 0 lorsque (x, 0) →(0,0). De mˆeme, si nous consid´erons la valeur de fsur l’axe des
y, sauf `a l’origine (c’est--dire x= 0 et y6= 0), nous obtenons
f(0, y) = (0)4−5(0)y2
(0)2+y2= 0.
Ce qui pr´ec`ede ne nous permet pas d’affirmer que la limite existe, mais plutˆot que si elle existe, alors elle
doit ˆetre ´egale `a 0.
Nous montrerons au prochain cours que
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y)=0.
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