Cours du 15 septembre

4e Cours
Dans ce cours, nous avons poursuivi l’étude de la notion de limite en considérant des exemples. La matière
est celle du chapitre 3 des pages 17 à 18.
Exemple 1. Nous avons
(x2 − 5y) = −14.
lim
(x,y)→(1,3)
Intuitivement x2 approche 12 = 1 et −5y approche −15 lorsque (x, y) approche (1, 3). Si nous utilisons la
définition de limite, nous pouvons vérifier ceci. Soit ε > 0. Nous voulons trouver δ > 0 tel que
|x2 − 5y − (−14)| < ε
max{|x − 1|, |y − 3|} < δ.
si
Notons que
|x2 − 5y − (−14)| = |(x2 − 12 ) − 5(y − 3)| ≤ |x2 − 1| + 5|(y − 3)| = |(x − 1)(x + 1)| + 5|(y − 3)|
parce que |a + b| ≤ |a| + |b| pour tous nombres réels a, b. Ceci est l’inégalité du triangle. Prenons maintenant
δ = min
nε o
,1 .
10
Si max{|x − 1|, |y − 3|} < δ alors |x − 1| < δ ≤ 1 et |x + 1| = |x − 1 + 2| ≤ |x − 1| + 2 ≤ 1 + 2 = 3 par
l’inégalité du triangle. Conséquemment si max{|x − 1|, |y − 3|} < δ, alors
|x2 − 1| = |(x − 1)(x + 1)| = |x − 1| |x + 1| < 3δ ≤ 3
ε
10
5|y − 3| < 5δ ≤ 5
et
ε
.
10
Finalement si max{|x − 1|, |y − 3|} < δ, alors
2
2
2
2
|x − 5y − (−14)| = |(x − 1 ) − 5(y − 3)| ≤ |x − 1| + 5|(y − 3)| <
3ε
10
+
5ε
10
=
8ε
10
< ε.
Exemple 2. Soit la fonction

2

 (3x − 5y) , si (x, y) 6= (0, 0);
2
2
f (x, y) = (x + 4y )


0,
si (x, y) = (0, 0).
Calculons la limite
lim
f (x, y)
(si elle existe).
(x,y)→(0,0)
Sur l’axe des x (c’est-à-dire les points où y = 0) sauf à l’origine, alors la fonction est toujours égale à 9. En
effet,
(3x − 5(0))2
9x2
f (x, 0) = 2
=
= 9.
(x + 4(0)2 )
x2
Sur l’axe des y (c’est-à-dire les points où x = 0) sauf à l’origine, alors la fonction est toujours égale à 25. En
effet,
(3(0) − 5(y))2
25y 2
25
.
f (0, y) =
=
=
2
2
(0 + 4(y) )
4y 2
4
De ceci, nous pouvons conclure que
lim
f (x, y)
(x,y)→(0,0)
1
n’existe pas.
Exemple 3. Soit la fonction
f (x, y) =


5x4 y
(x + 7y 3 )
si x6 + 7y 3 6= 0;

0
si x6 + 7y 3 = 0.
6
Calculons la limite
lim
f (x, y)
(si elle existe).
(x,y)→(0,0)
Si nous considérons la valeur de f sur l’axe des x, sauf à l’origine (c’est--dire x 6= 0 et y = 0), nous obtenons
f (x, 0) =
5x4 (0)
= 0.
(x6 + 7(0)3 )
De même, si nous considérons la valeur de f sur l’axe des y, sauf à l’origine (c’est--dire x = 0 et y 6= 0), nous
obtenons
f (0, y) =
5(0)4 (y)
= 0.
((0)6 + 7y 3 )
Ce qui précède ne nous permet pas d’affirmer que la limite existe, mais plutôt que si elle existe, alors elle
doit être égale à 0.
Considérons maintenant les valeurs de f pour les points, sauf l’origine, sur la droite d’équation y = mx de
pente m et passant par l’origine. Nous pouvons supposer que m 6= 0, car le cas où m = 0 est celui de l’axe
des x. Nous obtenons
f (x, mx) =
5mx2
5x4 (mx)
=
3
+ 7(mx)
7m3 + x3
x6
Si (x, y) → (0, 0) sur la droite d’équation y = mx, c’est-à-dire x → 0, alors f (x, mx) → 0. Ceci ne montre
pas que la limite de f (x, y) est égale à 0 lorsque (x, y) → (0, 0), mais ne le contredit pas aussi.
Si nous considérons maintenant les valeurs de f pour les points, sauf l’origine, sur la parabole d’équation
y = x2 passant par l’origine, nous obtenons
f (x, x2 ) =
5x4 (x2 )
5
= .
(x6 + 7(x2 )3 )
8
De ceci nous pouvons conclure que la limite de f (x, y) n’existe pas. En effet il existe des points de la
parabole y = x2 aussi près que nous pouvons le désirer de (0, 0) et pour chacun de ces points, f prend la
valeur 5/8 6= 0. Le graphe de cette fonction est illustré sur la figure suivante.
2
10
5
0
-5
-1
-10
-0,5
-15
0
-20
1
y
0,5
0,5
0
x
-0,5
1
-1
Exemple 4. Soit la fonction

4
2

 (x − 5xy )
2
2
(x + y )
f (x, y) =


0
si (x, y) 6= (0, 0);
si (x, y) = (0, 0).
Calculons la limite
lim
f (x, y)
(si elle existe).
(x,y)→(0,0)
Si nous considérons la valeur de f sur l’axe des x, sauf à l’origine (c’est--dire x 6= 0 et y = 0), nous obtenons
f (x, 0) =
x4 − 5x(0)2
= x2 .
(x2 + (0)2 )
Donc f (x, 0) approche 0 lorsque (x, 0) → (0, 0). De même, si nous considérons la valeur de f sur l’axe des
y, sauf à l’origine (c’est--dire x = 0 et y 6= 0), nous obtenons
f (0, y) =
(0)4 − 5(0)y 2
= 0.
(0)2 + y 2
Ce qui précède ne nous permet pas d’affirmer que la limite existe, mais plutôt que si elle existe, alors elle
doit être égale à 0.
Nous montrerons au prochain cours que
lim
f (x, y) = 0.
(x,y)→(0,0)
3