Compléments de mathématiques

Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-EED
Statut provincial : 201-EED pondération : 3-2-3
bloc de l’établissement préalable : 064-536
Compléments de mathématiques
L’objet et la place du cours dans le programme
Les mathématiques jouent un rôle de premier plan dans la formation des futurs scientifiques. Les différents
cours de mathématiques contribuent, chacun à leur façon, à développer cette formation. Les cours
Compléments de mathématiques et Calcul différentiel se font concurremment lors de la première session
pour le profil Sciences pures et appliquées. Dans le présent cours, l'utilisation d'outils technologiques
(calculateur graphique ou logiciel de calcul symbolique) permettra de mieux intégrer les aspects numériques,
graphiques et symboliques, et d'établir des liens entre les deux cours de mathématiques. De plus, par l’étude
des probabilités et des procédés itératifs, l’étudiant sera mis en contact avec des modèles qui occupent une
place grandissante dans notre société.
La compréhension des concepts ainsi que l’amélioration globale de la démarche mathématique seront
privilégiées dans ce cours. Dans cet esprit, une insistance sera portée sur la familiarisation avec certaines
méthodes de preuve, ainsi qu’avec différentes stratégies de résolution de problèmes. Tous ces facteurs
convergent vers une plus grande autonomie de l’étudiant tant sur le plan mathématique que sur le plan de
l’apprentissage.
Les objectifs généraux du cours
1. Les connaissances : l’étudiant doit
1.1 connaître, comprendre et savoir appliquer les divers concepts liées à l’étude des polynômes, des
nombres complexes, des probabilités et des procédés itératifs;
1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions
relatives à l’étude des polynômes, des nombres complexes, des probabilités et des procédés itératifs;
1.3 connaître et savoir utiliser certaines méthodes de preuve : preuve directe, preuve par l’absurde,
preuve par induction;
1.4 connaître les étapes de résolution d’un problème : comprendre le problème, concevoir un plan de
résolution, mettre ce plan en action et faire un retour sur sa solution;
1.5 connaître et savoir utiliser des stratégies de résolution de problèmes;
1.6 connaître et savoir utiliser les fonctions de base d'un outil technologique (calculateur graphique ou
logiciel de calcul symbolique);
1.7 savoir situer dans un contexte historique, le développement des systèmes de nombres, l’étude des
zéros d’un polynôme et le développement de la théorie des probabilités.
2. Les habiletés : l’étudiant doit pouvoir
2.1 lire et comprendre les textes mathématiques proposés dans le cours; en particulier, lire
soigneusement et interpréter correctement les problèmes ou exercices soumis;
2.2 développer son sens de l’observation et son intuition afin de pouvoir émettre une conjecture et
comprendre son rôle dans l’activité mathématique;
2.3 construire et interpréter correctement diverses représentations graphiques;
2.4 construire des modèles mathématiques correspondant à des situations données;
2.5 reconnaître hypothèse et conclusion, implication et équivalence; pouvoir faire une preuve et juger de
sa validité;
2.6 choisir et appliquer diverses stratégies de résolution de problèmes, en employant si nécessaire un
outil technologique, et faire un retour critique sur la solution d’un problème;
2.7 rédiger une solution à un problème selon un déroulement logique, clair et complet, dans un français
convenable, tout en employant correctement le symbolisme et la terminologie mathématiques ainsi
que les notations reconnues;
2.8 relier, aussi souvent que possible, avec les moyens appropriés, les aspects numérique, symbolique et
graphique qui se présentent dans une démarche mathématique;

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2.9 établir des liens entre les notions vues dans ce cours ou dans d’autres cours du programme.
2.10 utiliser un outil technologique pour explorer les concepts mathématiques présentés en EEA et en
EED.
3. Les attitudes : ce cours doit amener l’étudiant à
3.1 développer sa créativité et cultiver sa curiosité intellectuelle;
3.2 être conscient de l’importance d’améliorer ses processus d’apprentissage et se responsabiliser face à
cette tâche;
3.3 développer sa capacité de travailler en équipe dans le respect des autres;
3.4 développer une rigueur intellectuelle personnelle et un souci d’être clair, précis et méthodique autant
dans ses écrits que dans ses communications verbales;
3.5 comprendre l’importance de développer une compétence en résolution de problèmes et accepter d’être
confronté à des problèmes où la recherche de solutions est exigeante;
3.6 établir et maintenir sa confiance face aux activités de nature mathématique et se valoriser dans
l’effort;
3.7 être réceptif à l’idée d’utiliser ses connaissances mathématiques dans tous les cours de mathématiques
et de sciences du programme;
3.8 prendre conscience de l’importance des mathématiques en sciences et de leur contribution particulière
à la formation intellectuelle.
3.9 afficher une ouverture d'esprit et exercer un sens critique quant à l'utilisation des technologies lors de
résolution de problèmes.
Les objectifs spécifiques (le contenu)
Remarques
Les éléments en italique sont des éléments d’enrichissement qui peuvent être couverts
au choix du professeur.
Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours.
Polynômes et nombres complexes (20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Définitions et
résultats élémentaires
relatifs aux
polynômes
•énoncer la définition d’un polynôme et identifier son degré, ses coefficients et
son coefficient dominant
•évaluer directement un polynôme P(x) pour une valeur x égale à a
•énoncer et utiliser la définition d’un zéro de polynôme et le repérer
graphiquement
•effectuer les opérations élémentaires sur les polynômes (+, –, x, ÷)
•énoncer et utiliser l’algorithme de division
•énoncer et utiliser la définition d’égalité de deux polynômes
•énoncer et utiliser la définition de facteur d’un polynôme
•établir et utiliser le lien entre les notions de facteur et de zéro d’un polynôme
•énoncer et utiliser la définition de l’ordre de multiplicité d’un zéro
•établir et utiliser le lien entre le degré d’un polynôme et le nombre maximal de
ses zéros
•énoncer, démontrer et utiliser le théorème du reste
•effectuer une division synthétique où le diviseur est un polynôme de degré un et
l’utiliser pour évaluer P(a)
•mathématiser des situations impliquant des polynômes

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Aspect graphique des
polynômes •produire et observer les tracés de courbes polynomiales de différents degrés et conjecturer le nombre possible de zéros, d’extremums, de points d’inflexion et
le comportement aux infinis
Localisation des zéros
réels d’un polynôme •prouver et utiliser les formules pour déterminer les zéros des polynômes de degré un ou deux
utiliser la division synthétique pour déterminer un majorant (minorant) de
l’ensemble des zéros positifs (négatifs)
•déterminer la parité du nombre de zéros réels dans l’intervalle [a, b] suivant les
signes de P(a) et de P(b)
•déterminer la parité du nombre de zéros réels dans l’intervalle ]–∞, 0] et [0, ∞[
suivant les signes du coefficient dominant et de la constante du polynôme
concerné
Nombres complexes •reconnaître les formes cartésienne et trigonométrique d’un nombre complexe et
passer d’une forme à l’autre
•énoncer et utiliser la définition d’égalité entre deux nombres complexes
•énoncer et utiliser la définition de conjugué
•effectuer les opérations sur les nombres complexes
•prouver et utiliser la formule quadratique à l’aide de nombres complexes
•interpréter géométriquement z, | z |,
z
, –z, 1/z, z + w, z – w, z × w, z/w et
| z – w | dans le plan d’Argand
•énoncer, prouver et utiliser certaines propriétés des notions de conjugué et de
module
•énoncer et utiliser le théorème de de Moivre
Nature des zéros d’un
polynôme •énoncer le théorème fondamental de l’algèbre •énoncer, prouver et utiliser le résultat relatif aux zéros imaginaires pour un
polynôme à coefficients réels
•énoncer et utiliser le résultat relatif aux zéros rationnels pour un polynôme à
coefficients entiers
Méthodes
d’estimation des zéros
réels d’un polynôme
•utiliser la méthode de bissection pour estimer des zéros réels d’un polynôme
•résoudre des problèmes impliquant la recherche de zéros réels pour des
polynômes de degré inférieur ou égal à cinq

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Analyse combinatoire et probabilités (28 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Vue globale •établir le lien entre probabilité et statistique
•expliquer le rôle de la statistique dans la méthode scientifique
•distinguer le modèle déterministe du modèle probabiliste
Définitions et
résultats de base •énoncer et utiliser les définitions d’expérience aléatoire, d’espace échantillonnal, d’événement, d’événement impossible et d’événement certain
•décrire, pour une expérience aléatoire simple, l’espace échantillonnal et un
événement
•définir et effectuer les opérations sur les événements
•définir et identifier des événements incompatibles
•représenter graphiquement, à l’aide de diagrammes de Venn, différents
événements
•énoncer la définition axiomatique de la fonction de probabilité
•énoncer et utiliser certaines propriétés de la fonction de probabilité
Approche empirique •énoncer les définitions de fréquence relative et de fréquence limite
•identifier les différentes étapes de la méthode Monte Carlo et faire le lien entre
cette méthode et la fréquence limite
•construire et utiliser des modèles physiques ou informatiques pour estimer des
probabilités
Analyse combinatoire •utiliser les principes fondamentaux du dénombrement
•utiliser la notation factorielle
•utiliser les formules de permutation (éléments distincts ou non) et de
combinaison
•résoudre des problèmes concrets de dénombrement
•démontrer et utiliser certaines identités combinatoires
Équiprobabilité •reconnaître les espaces échantillonnaux équiprobables
•calculer des probabilités en utilisant la définition classique de probabilité
•construire un modèle géométrique à une ou deux dimensions pour résoudre un
problème de probabilité
Probabilité
conditionnelle et
indépendance
•énoncer et utiliser la définition de probabilité conditionnelle
•utiliser le principe de multiplication
•utiliser le théorème de Bayes
•énoncer et utiliser la définition d’événements indépendants
•résoudre des problèmes concrets de probabilité
•énoncer et utiliser les définitions de variable aléatoire et d’espérance
mathématique

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Procédés itératifs (17 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Suite •énoncer la définition de suite
•conjecturer, dans des cas simples, le terme général d’une suite à partir d’une
observation des premiers termes
•conjecturer le terme général d’une suite de nature polynomiale à l’aide d’un
système d’équations
•définir une suite de manière récurrente (factorielles, suite arithmétique, suite
géométrique, ...)
•reconstituer une suite définie de manière récurrente (suite de Fibonacci, équation
aux différences finies de premier ordre, triangle de Pascal, ...)
•effectuer le passage d’une suite définie de manière récurrente à une suite définie
au moyen de son terme général (suite arithmétique, suite géométrique et
équation aux différences finies de premier ordre , ...) en utilisant le principe
d’induction
•résoudre des problèmes concrets en utilisant des suites
•déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique, d’une suite
géométrique
•déterminer la somme des termes d’une suite géométrique infinie de raison non
nulle inférieure à un en valeur absolue
. utiliser des polynomes pour analyser des suites
Méthode de Newton •utiliser la méthode de Newton pour calculer les zéros d’un polynôme et d’une
fonction différentiable
Aspect graphique de
compositions itérées
de fonctions
•énoncer les définitions de système dynamique et d’orbite
•illustrer géométriquement la composition itérée des fonctions : f(x) = x,
f(x) = x2, f(x) = cos x, f(x) = ax + b, f(x) = x + (1/x) (nombre d’or),
f(x) = (x + (N/x))/2 (calcul de la racine carrée de N), f(x) = a x2 + bx + c
(introduction au chaos), f(z) = z2 + c (ensembles de Julia)
•interpréter graphiquement et algébriquement des notions de point fixe, de point
fixe attracteur et de point fixe répulsif
•calculer algébriquement les points fixes de certaines compositions récurrentes de
fonctions directement ou à l’aide de la méthode de Newton
Ateliers (8 périodes au minimum)
L’étudiant doit pouvoir, en se servant d'un outil technologique
(calculateur
graphique ou logiciel de calcul symbolique),...
Premier contact . reconnaître et utiliser les principales fonctionnalités de son
outil technologique
Aspect graphique des
polynômes . représenter graphiquement une fonction polynomiale . vérifier graphiquement les résultats élémentaires relatifs aux polynômes
. estimer les zéros réels par la méthode de bissection
. trouver les nombres critiques, les extremums et les points d'inflexion, en
représentant graphiquement les fonctions dérivées premières et secondes
Méthode de Monte-
Carlo . simuler différentes expériences probabilistes au moyen des fonctionnalités de son outil technologique, y compris les fonctionnalités de programmation
. comparer les résultats donnés par les trois méthodes d'estimation d'une
probabilité : subjective, empirique et classique