Correction du contrôle sur les formules de dérivation
Sujet A
Sujet B
Sujet A
I
1. On demande de calculer f(2). Par définition, f(2) est
le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cau
point d’abscisse 2.
Celle-ci est tracée et passe par les points de coordon-
nées (2 ; 2) et (3 ; 5).
On en déduit : f(2) =
y
x=5(2)
32=7
5donc
f(2) =7
5.
L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse a
est : y=f(a)(xa)+f(a).
Ici : a=2 ; f(2) =7
5et f(2) =2.
L’équation est alors :
y= −7
5(x2) +(2) y= −7
5x+14
52
y=7
5x+4
5.
2. f(3) est le coefficient directeur de la tangente à Cau
point d’abscisse -3 ; même si cette tangente n’est pas
tracée, on voit que son coefficient directeur est positif
(fonction affine associée croissante).
De même, f(0) est négatif.
II
Calcul de dérivées :
1. f(x)=3x2+5x1. f(x)=3×2x+5 donc f(x)=6x+5.
2. f(x)=3
x57
x2=3×1
x57×1
x2.
On sait que si w(x)=1
xn, sa dérivée est w(x)= n
xn+1.
On en déduit que : f(x)=3×µ5
x67×µ2
x3d’où : f(x)=15
x6+14
x3=14x315
x6.
3. f(x)=(2x+3)px.
f=uv avec ½u(x)=2x+3
v(x)=px. On a alors :
u(x)=2
v(x)=1
2px
.
f=(uv)=uv+uvd’où : f(x)=2px+(2x+3)×1
2px=2px+2x+3
2px=2px×2px+2x+3
2pxdonc f(x)=6x+3
2px=3(2x+1)
2px.
4. f(x)=2x+3
5x+7.
f=u
vavec ½u(x)=2x+3
v(x)=5x+7. On a alors : ½u(x)=2
v(x)=5.
f=³u
v´=uvuv
v2d’f(x)=2(5x+7) 5(2x+3)
(5x+7)2.f(x)= 1
(5x+7)2.
5. f(x)=x2+3
4x2+1.
f=u
vavec ½u(x)=x2+3
v(x)=4x2+7. On a alors : ½u(x)=2x
v(x)=8x.
f=³u
v´=uvuv
v2d’f(x)=2x¡4x2+18x¡x2+3¢¢
¡4x2+1¢2=2x¡4x2+1¢2x×4¡x2+3¢
¡4x2+1¢2=2x¡4x2+14¡x2+3¢¢
¡4x2+1¢2.
Par conséquent : f(x)= 22x
¡4x2+1¢2.
Sujet B
I
1. On demande de calculer f(3). Par définition, f(3) est
le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cau
point d’abscisse 3.
Celle-ci est tracée et passe par les points de coordon-
nées (3 ; 2) et (2 ; 5).
On en déduit : f(3) =
y
x=5(2)
23=7
5donc
f(2) =7
5.
L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse a
est : y=f(a)(xa)+f(a).
Ici : a=3 ; f(3) =7
5et f(3) =2.
L’équation est alors :
y= −7
5(x3) +(2) y= −7
5x+21
52
y=7
5x+11
5.
2. f(2) est le coefficient directeur de la tangente à Cau
point d’abscisse -2 ; même si cette tangente n’est pas
tracée, on voit que son coefficient directeur est positif
(fonction affine associée croissante).
De même, f(1 est négatif.
II
Calcul de dérivées :
1. f(x)=4x26x+3. f(x)=4×2x6 donc f(x)=8x6.
2. f(x)=4
x69
x3=4×1
x69×1
x3.
On sait que si w(x)=1
xn, sa dérivée est w(x)= n
xn+1.
On en déduit que : f(x)=4×µ6
x79×µ3
x4d’où : f(x)=24
x7+27
x4=24 +27x3
x7.
3. f(x)=(3x+2)px.
f=uv avec ½u(x)=3x+2
v(x)=px. On a alors :
u(x)=3
v(x)=1
2px
.
f=(uv)=uv+uvd’où : f(x)=3px+(3x+2) ×1
2px=3px+3x+2
2px=3px×2px+3x+2
2pxdonc f(x)=9x+2
2px.
4. f(x)=5x+1
4x+3.
f=u
vavec ½u(x)=5x+1
v(x)=4x+3. On a alors : ½u(x)=5
v(x)=4.
f=³u
v´=uvuv
v2d’f(x)=5(4x+3) 4(5x+1)
(4x+3)2.f(x)=11
(4x+3)2.
5. f(x)=x2+3
5x2+1.
f=u
vavec ½u(x)=x2+3
v(x)=5x2+1. On a alors : ½u(x)=2x
v(x)=10x.
f=³u
v´=uvuv
v2d’f(x)=2x¡5x2+1¢10x¡x2+3¢
¡5x2+1¢2=2x¡5x2+1¢2x×5¡x2+3¢
¡5x2+1¢2=2x¡5x2+15¡x2+3¢¢
¡4x2+1¢2.
Par conséquent : f(x)= 28x
¡4x2+1¢2.
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