Feuille de TD 3 - Université Blaise Pascal

Univers des Nombres
Feuille d’exercice 3
Université Blaise Pascal - Département de Mathématiques
Année 2009 - 2010
1
Calculs
1. Montrer que 17 divise 390 + 590 .
2. Montrer que 7 divise 3245495 − 1.
3. Quel est le reste de 5194 modulo 12 ?
4. Quel est le chiffre des unités de M1279 = 21279 − 1 ? Le chiffre des dizaines ?
5. Trouver tous les entiers x ∈ Z tels que
2
11 x ≡
2x ≡
3
3
mod
mod
15
7
Vendredi 13
Montrer que chaque année, il y a un mois pour lequel le 13 tombe un vendredi.
3
1···1
Soit s ∈ N∗ et ns =
Ps−1
k=0
10k le nombre qui s’écrit en base 10 avec s fois le chiffre 1.
1. On suppose que ns est premier. Montrer que s est premier.
2. Montrer par un contre-exemple que ns n’est pas toujours premier pour s premier.
4
Chiffre des unités de Fn
n
Pour n ∈ N entier positif, on pose Fn = 22 + 1, Fn est le nème nombre de Fermat (voir feuille 2). Montrer
que pour tout n ≥ 2, le chiffre des unités de Fn vaut 7.
1
Univers des nombres - Feuille d’exercice 3
5
Université Blaise Pascal - 2
Somme des chiffres
On rappelle (voir feuille 1) qu’un nombre est congru modulo 9 à la somme des chiffres de son écriture
(en base 10).
1. Calculer le reste modulo 9 de 44444444 .
2. Soit n ∈ N∗ un entier. On note Σ(n) la somme des chiffres de son écriture de n dans son écriture en
base 10. Montrer que l’on a
Σ(n) ≤ 9(1 + blog10 (n)c)
Où log10 est le logarithme de base 10 et bxc désigne la partie entier (inférieure) du réel x, c’est-à-dire
l’unique entier k ∈ Z tel que k ≤ x < k + 1.
3. Que vaut la somme des chiffres de la somme des chiffres de la sommes des chiffres de 44444444 ?
6
Critère de divisibilité par 7
1. Trouver un entier a ∈ Z tel que 10a ≡ 1 mod 7.
2. Soit n ∈ Z un entier. On écrit la division euclidienne de n par 10, n = 10 q + r avec q ∈ Z et 0 ≤ r < 10.
Montrer que n est un multiple de 7 si et seulement si q − 2r est un multiple de 7.
3. Déduire un critère de divisibilité par 7.
4. Adapter la méthode pour trouver un critère de divisibilité par 11, 13, 17. Comment faire en général
pour obtenir un critère de divisibilité par p avec p un nombre premier supérieur ou égal à 7 ?
7
Reste modulo 11
Soit n ∈ N \ {0} un entier strictement positif. On écrit n en base 10.
n=
s
X
ak 10k
k=0
1. Montrer que
n≡
s
X
ak (−1)k
mod 11
k=0
2. Déduire un moyen de calculer les restes modulo 11 et un critère de divisibilité par 11.
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Nombres premiers congrus à 3 modulo 4
On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
1. Soit N ∈ N un entier. On suppose N ≡ 3 mod 4. Montrer que N admet un facteur premier congrus à
3 modulo 4.
2. On suppose par l’absurde qu’il en existe un nombre fini de nombres premiers congrus à 3, que l’on note
p1 , . . . pn . Conclure en considérant l’entier N = 4p1 · · · pn − 1.
On remarque que la question 1 ne marche pas avec des entiers congrus à 1 modulo 4. En effet, si on prend
par exemple N = 9 = 32 (qui est congru à 1 modulo 4) , il n’a aucun facteur premier congru à 1 modulo
4. On ne peut pas utiliser cette idée pour prouver qu’il existe une infinité de nombres premier congrus à 1
modulo 4 (on donne une preuve de ce fait dans l’exercice 11).
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 2
Univers des nombres - Feuille d’exercice 3
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Université Blaise Pascal - 3
Symbole de Legendre : critère d’Euler
Pour a ∈ Z un entier et p ∈ N∗ un nombre premier, on définit le symbole de Legendre, noté

 0
Si p divise a.
a
1
Si p ne divise pas a et s’il existe k ∈ Z tel que a ≡ k 2 mod p.
=

p
−1
Sinon.
a
b
, par
Quand il existe k ∈ Z tel que a ≡ k 2 mod p, on dit que a est un résidu quadratique modulo p (y compris si
p divise a).
1. Que vaut a2 en fonction de la parité de a ? Dans la suite on suppose p différent de 2.
2. On suppose que p ne divise pas a.
(a) Montrer que a
p−1
2
≡ 1 mod p ou a
p−1
2
≡ −1 mod p.
p−1
2
≡ 1 mod p si et seulement si a est un résidu quadratique modulo p.
p−1
(c) En déduire que ap ≡ a 2 mod p.
(b) Montrer que a
3. Montrer que pour tout a ∈ Z, on a encore
p−1
a
≡a 2
p
4. En déduire que pour tous a, b ∈ Z,
ab
p
=
mod p
a
b
p
p
5. Montrer que
10
−1
p
=
1
−1
Si p ≡ 1
Si p ≡ 3
mod 4.
mod 4.
Dénombrement des résidus quadratiques
Cet exercice fait appel aux résultats de l’exercice 9.
Soit p un nombre premier différent de 2. On note
S=
p−1 X
k
k=1
p
1. On pose f : [[1, p − 1]] → [[1, p − 1]] la fonction qui à k associe le reste modulo p de k 2 .
(a) Montrer que f (p − k) = f (k) pour tout k ∈ [[1, p − 1]].
(b) En déduire qu’il existe k ∈ [[1, p − 1]] tel que kp = −1.
2. Soit k ∈ [[1, p − 1]], montrer que
k
S=S
p
3. En déduire que S = 0.
4. En déduire qu’il y a
Joël Cohen
p+1
2
résidus quadratiques modulo p, et
p−1
2
résidus non quadratiques modulo p.
Université Blaise Pascal - 3
Univers des nombres - Feuille d’exercice 3
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Université Blaise Pascal - 4
Nombre premiers congrus à 1 modulo 4
En utilisant l’exercice 9, montrer qu’il existe une infinité de nombre premiers congrus à 1 modulo 4
(on pourra supposer par l’absurde qu’il n’y en a qu’un nombre fini p1 , . . . pn et considérer l’entier N =
(2p1 · · · pn )2 + 1).
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 4