Feuille de TD 3 - Université Blaise Pascal

Univers des Nombres
Feuille d’exercice 3
Universit´e Blaise Pascal - D´epartement de Math´ematiques
Ann´ee 2009 - 2010
1 Calculs
1. Montrer que 17 divise 390 + 590.
2. Montrer que 7 divise 3245495 −1.
3. Quel est le reste de 5194 modulo 12 ?
4. Quel est le chiffre des unit´es de M1279 = 21279 −1 ? Le chiffre des dizaines ?
5. Trouver tous les entiers x∈Ztels que
11 x≡3 mod 15
2x≡3 mod 7
2 Vendredi 13
Montrer que chaque ann´ee, il y a un mois pour lequel le 13 tombe un vendredi.
31· · · 1
Soit s∈N∗et ns=Ps−1
k=0 10kle nombre qui s’´ecrit en base 10 avec sfois le chiffre 1.
1. On suppose que nsest premier. Montrer que sest premier.
2. Montrer par un contre-exemple que nsn’est pas toujours premier pour spremier.
4 Chiffre des unit´es de Fn
Pour n∈Nentier positif, on pose Fn= 22n+1, Fnest le n`eme nombre de Fermat (voir feuille 2). Montrer
que pour tout n≥2, le chiffre des unit´es de Fnvaut 7.
1

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5 Somme des chiffres
On rappelle (voir feuille 1) qu’un nombre est congru modulo 9`a la somme des chiffres de son ´ecriture
(en base 10).
1. Calculer le reste modulo 9 de 44444444.
2. Soit n∈N∗un entier. On note Σ(n) la somme des chiffres de son ´ecriture de ndans son ´ecriture en
base 10. Montrer que l’on a
Σ(n)≤9(1 + blog10(n)c)
O`u log10 est le logarithme de base 10 et bxcd´esigne la partie entier (inf´erieure) du r´eel x, c’est-`a-dire
l’unique entier k∈Ztel que k≤x<k+ 1.
3. Que vaut la somme des chiffres de la somme des chiffres de la sommes des chiffres de 44444444 ?
6 Crit`ere de divisibilit´e par 7
1. Trouver un entier a∈Ztel que 10a≡1 mod 7.
2. Soit n∈Zun entier. On ´ecrit la division euclidienne de npar 10, n= 10 q+ravec q∈Zet 0 ≤r < 10.
Montrer que nest un multiple de 7 si et seulement si q−2rest un multiple de 7.
3. D´eduire un crit`ere de divisibilit´e par 7.
4. Adapter la m´ethode pour trouver un crit`ere de divisibilit´e par 11, 13, 17. Comment faire en g´en´eral
pour obtenir un crit`ere de divisibilit´e par pavec pun nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 7 ?
7 Reste modulo 11
Soit n∈N\ {0}un entier strictement positif. On ´ecrit nen base 10.
n=
s
X
k=0
ak10k
1. Montrer que
n≡
s
X
k=0
ak(−1)kmod 11
2. D´eduire un moyen de calculer les restes modulo 11 et un crit`ere de divisibilit´e par 11.
8 Nombres premiers congrus `a 3modulo 4
On veut montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
1. Soit N∈Nun entier. On suppose N≡3 mod 4. Montrer que Nadmet un facteur premier congrus `a
3 modulo 4.
2. On suppose par l’absurde qu’il en existe un nombre fini de nombres premiers congrus `a 3, que l’on note
p1,...pn. Conclure en consid´erant l’entier N= 4p1· · · pn−1.
On remarque que la question 1 ne marche pas avec des entiers congrus `a 1modulo 4. En effet, si on prend
par exemple N= 9 = 32(qui est congru `a 1modulo 4) , il n’a aucun facteur premier congru `a 1modulo
4. On ne peut pas utiliser cette id´ee pour prouver qu’il existe une infinit´e de nombres premier congrus `a 1
modulo 4(on donne une preuve de ce fait dans l’exercice 11).
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9 Symbole de Legendre : crit`ere d’Euler
Pour a∈Zun entier et p∈N∗un nombre premier, on d´efinit le symbole de Legendre, not´e a
b, par
a
p=
0 Si pdivise a.
1 Si pne divise pas aet s’il existe k∈Ztel que a≡k2mod p.
−1 Sinon.
Quand il existe k∈Ztel que a≡k2mod p, on dit que aest un r´esidu quadratique modulo p(y compris si
pdivise a).
1. Que vaut a
2en fonction de la parit´e de a? Dans la suite on suppose pdiff´erent de 2.
2. On suppose que pne divise pas a.
(a) Montrer que ap−1
2≡1 mod pou ap−1 2≡ −1 mod p.
(b) Montrer que ap−1
2≡1 mod psi et seulement si aest un r´esidu quadratique modulo p.
(c) En d´eduire que a
p≡ap−1
2mod p.
3. Montrer que pour tout a∈Z, on a encore
a
p≡ap−1
2mod p
4. En d´eduire que pour tous a, b ∈Z,
ab
p=a pb p
5. Montrer que
−1
p=1 Si p≡1 mod 4.
−1 Si p≡3 mod 4.
10 D´enombrement des r´esidus quadratiques
Cet exercice fait appel aux r´esultats de l’exercice 9.
Soit pun nombre premier diff´erent de 2. On note
S=
p−1
X
k=1 k
p
1. On pose f: [[1, p −1]] →[[1, p −1]] la fonction qui `a kassocie le reste modulo pde k2.
(a) Montrer que f(p−k) = f(k) pour tout k∈[[1, p −1]].
(b) En d´eduire qu’il existe k∈[[1, p −1]] tel que k
p=−1.
2. Soit k∈[[1, p −1]], montrer que
k
pS=S
3. En d´eduire que S= 0.
4. En d´eduire qu’il y a p+1
2r´esidus quadratiques modulo p, et p−1 2r´esidus non quadratiques modulo p.
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11 Nombre premiers congrus `a 1modulo 4
En utilisant l’exercice 9, montrer qu’il existe une infinit´e de nombre premiers congrus `a 1 modulo 4
(on pourra supposer par l’absurde qu’il n’y en a qu’un nombre fini p1,...pnet consid´erer l’entier N=
(2p1· · · pn)2+ 1).
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