Ch4: Résidus quadratiques - IMJ-PRG

Chapitre 4
R´esidus quadratiques
4.1 R´esidus quadratiques modulo un premier
D´efinition 4.1.1. Soit pun nombre premier. Un ´el´ementa∈(Z/pZ)∗est un r´esidu
quadratique si et seulementsi c’est un carr´e.On dit aussi que l’entier aest un r´esidu
quadratique modulo p.
Th´eor`eme 4.1.2. Soit p=2l+1un nombrepremier impair.
a) Les r´esidus quadratiques modulo pforme un sous-groupede cardinal lde (Z/pZ)∗.
b) a∈Z/pZest un r´esidu quadratique si et seulement si :al=1dans Z/pZ.
c) −1est un r´esidu quadratique modulo psi et seulement si p≡1(mod4).
4.2 Symbole de Legendre
D´efinition 4.2.1. Soit pest nombre premier, et aun entier. Le symbole de Legendre
not´ea
pvaut :
0si pdivise a,
1si a∈(Z/pZ)∗est un carr´e(r´esidu quadratique),
−1si a∈(Z/pZ)∗n’est pas un carr´e(non-r´esidu quadratique).
Remarque 4.2.2.Si a≡b(modp), alors a
p=b p.
Proposition 4.2.3. a) Pour ppremier impair, −1
p=(−1)p−1
2.
b) Pour ppremier impair et apremier avecp,a
p≡ap−1
2(modp).
c) ab
p=a pb p.
Fin du
cours
du 20
mars
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Lemme 4.2.4 (Lemme d’Eisenstein).Pour ppremier impair le symbole de Legendrea
p
est ´egal `a (−1)νo`uνest le nombrede point d’abscisse positive `a coordonn´ees enti`eres
dans le triangle :(0,0),(p, 0),(p, a).
Corollaire 4.2.5. Pour ppremier impair,
Ç2
på=(−1)p2−1
8=®1si p≡ ±1(mod8),
−1si p≡ ±3(mod8).
Th´eor`eme 4.2.6 (R´eciprocit´equadratique).Pour pet qpremiers impairs, on a:
Çp
qåÇq på=(−1)p−1
2
q−1
2=®−1si pet qsont congrus `a 3modulo 4,
1si pou qest congru `a 1modulo 4.
Exercice4.2.7.Le n-i`eme nombre de Fermat est :Fn=22n+1.D´emontrer le crit`ere
de P´epin :
Le nombre de Fermat Fn,n≥1, est premier si et seulementsi
3Fn−1
2≡ −1modFn.
4.3 Symbole de Jacobi
On ´etendle symbole de Legendre au cas de nombres qui ne sontplus n´ecessairement
premiers.
D´efinition 4.3.1. Si best le produit des nombres premiers p1,. ..,pm,alors :
Åa
bã=
m
Y
j=1 Ça
pjå.
Proposition 4.3.2. a)Äa
bä=0si et seulement si PGCD(a, b)>1.
b) 1
p=1,et ab p=a pb p.
c) Si a≡a′(modb), alors Äa
bä=Äa′ bä.
d) Si aet bsont premiers entreeux et impairs, alors :
Åa
bãÇb aå=(−1)a−1
2
b−1
2=®−1si aet bsont congrus `a 3modulo 4,
1si aou best congru `a 1modulo 4.
e) Ä2
bä=(−1)b2−1
8=®1si aest congru `a ±1modulo 8,
−1si best congru `a ±3modulo 8.
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4.4 Test de Solovayet Strassen
Th´eor`eme 4.4.1. Soit n>2un entier impair.
a) Gn={a∈Z/nZ,06=Äa
nä≡an−1
2modn}est un sous groupede ((Z/nZ)∗,×).
b) Si nest premier, alors :Gn=((Z/nZ)∗,×)est de cardinal n−1.
c) Si nn’est pas premier, alors Gnest de cardinal inf´erieur ou ´egal `a n−1
2.
Entr´ee :entier impair n`a tester, entier tdonnantle nombre de t´emoins.
For ifrom 1to tdo
choisir au hasard aentre 2et n−2;
p←(an−1
2modn);
If (p6=1et p6=n−1) then
Sortie(“non premier”) ;
end If
j←Äa
nä;
If (p6=(jmodn)) then
Sortie(“non premier”) ;
end If
end For
Sortie(“tr`es probablementpremier”) ;
Algorithm 7: Test de Solovayet Strassen
Remarque 4.4.2.En utilisantun algorithmede calcul rapide de puissances, on obtient
une complexit´eO(tlog(n)3). La probabilit´epour qu’un nombre non premier ne soit pas
d´etect´eest inf´erieure `a 2−t.
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