Résidus quadratiques - IMJ-PRG

Chapitre 5
R´esidus quadratiques
5.1 R´esidus quadratiques modulo un premier
D´efinition 5.1.1. Soit pun nombre premier. Un entier aest un r´esidu quadratique si
et seulementsi aest premier avec pet il existe ktel que k2≡a(modp). Un entiera
premier avec qui n’est pas un r´esidu quadratique est appel´eun non r´esidu quadratique.
Remarque 5.1.2.Cela ne d´epend que de la classe de amodulo p.
Th´eor`eme 5.1.3. Soit p=2l+1un nombrepremier impair.
a) Les r´esidus quadratiques modulo pforme un sous-groupede cardinal lde (Z/pZ)∗.
b) a∈Z/pZest un r´esidu quadratique si et seulement si :al=1dans Z/pZ.
c) −1est un r´esidu quadratique modulo psi et seulement si p≡1(mod4).
5.2 Symbole de Legendre
D´efinition 5.2.1. Soit pest nombre premier, et aun entier. Le symbole de Legendre
not´ea
pvaut :
0si pdivise a,
1si a∈(Z/pZ)∗est un carr´e(r´esidu quadratique),
−1si a∈(Z/pZ)∗n’est pas un carr´e(non-r´esidu quadratique).
Remarque 5.2.2.Si a≡b(modp), alors a
p=b p.
Proposition 5.2.3. a) Pour ppremier impair, −1
p=(−1)p−1
2.
b) Pour ppremier impair et apremier avecp,a
p≡ap−1
2(modp).
c) ab
p=a pb p.
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Th´eor`eme 5.2.4 (R´eciprocit´equadratique).Pour pet qpremiers impairs, on a:
Çp
qåÇq på=(−1)p−1
2
q−1
2=®−1si pet qsont congrus `a 3modulo 4,
1si pou qest congru `a 1modulo 4.
On pourra trouver une d´emonstration (d’apr`es Zolotarev) `a l’adresse :
http ://math.unice.fr/∼serman/recip.pdf.
5.3 Symbole de Jacobi
On ´etendle symbole de Legendre au cas de nombres qui ne sontplus n´ecessairement
premiers.
D´efinition 5.3.1. Si best le produit des nombres premiers p1,. . .,pm,alors :
Åa
bã=
m
Y
j=1 Ça
pjå.
Proposition 5.3.2. a)Äa
bä=0si et seulement si PGCD(a, b)>1.
b) Ä1
cä=1,et Äab cä=Äa cäÄb cä.
c) Si a≡a′(modb), alors Äa
bä=Äa′ bä.
d) Si aet bsont premiers entreeux et impairs, alors :
Åa
bãÇb aå=(−1)a−1
2
b−1
2=®−1si aet bsont congrus `a 3modulo 4,
1si aou best congru `a 1modulo 4.
e) Ä2
bä=(−1)b2−1
4=®1si aest congru `a ±1modulo 8,
−1si best congru `a ±3modulo 8.
5.4 Application aux tests de primalit´e
5.4.1 Nombres de Fermat
Le n-i`eme nombre de Fermat est :Fn=22n+1.
Proposition 5.4.1. Si un nombrepremier pdivise Fn,n≥2,alors il est de la forme
p=k2n+2 +1.
Exercice5.4.2.Soit aun ´el´ementd’un groupeGnot´emultiplicativement, de neutre e.
Montrer que s’il existe un nombre premier pet un entier ktels que :
apk=e,et apk−16=e,
alors aest d’ordre pk.
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Exercice5.4.3.D´emontrer que si un nombre premier pdivise Fn,n≥2, alors il est de
la forme
p=k2n+2 +1.
Th´eor`eme 5.4.4 (Crit`ere de P´epin).Lenombrede Fermat Fn,n≥1,est premier si
et seulement si
3Fn−1
2≡ −1modFn.
5.4.2 Test de Solovayet Strassen
Th´eor`eme 5.4.5. Soit n>2un entier impair.
a) Gn={a∈Z/nZ,06=Äa
nä≡an−1
2modn}est un sous groupede (U(Z/nZ),×).
b) Si nest premier, alors :Gn=(U(Z/nZ),×)est de cardinal n−1.
c) Si nn’est pas premier, alors Gnest de cardinal inf´erieur ou ´egal `a n−1
2.
Entr´ee :entier impair n`a tester, entier tdonnantle nombre de t´emoins.
Pour ide 1`atfaire
choisir au hasard aentre 2et n−2;
p←(an−1
2modn);
Si (p6=1et p6=n−1) Alors
Sortie(“non premier”) ;
Fin Si
j←Äa
nä;
Si (p6=(jmodn)) Alors
Sortie(“non premier”) ;
Fin Si
Fin Pour
Sortie(“tr`es probablementpremier”) ;
Algorithme 8: Test de Solovayet Strassen
Remarque 5.4.6.En utilisantun algorithmede calcul rapide de puissances, on obtient
une complexit´eO(tlog(n)3). La probabilit´epour qu’un nombre non premier ne soit pas
d´etect´eest inf´erieure `a 2−t.
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