Th. de la mesure agreg

INTEGRATION
A. Résumé de théorie de la mesure
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tribu sur un ensemble non vide
Mesure positive sur un espace mesurable
Applications mesurables
Intégrale associée à une mesure
Extension de l'intégrale aux fonctions à valeurs complexes
Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann
Intégrale associée à une mesure de dénombrement
Corollaires du théorème de convergence dominée pour les intégrales dépendant d'un
paramètre
B. Les espaces Lp, 1 ≤ p ≤ +∞
1. Espaces Lp, 1 ≤ p < +∞
2. Sous-espaces denses dans Lp , 1 ≤ p < +∞
3. Espaces L∞
C. Intégration sur un espace produit
1.
2.
3.
4.
5.
Tribu produit
Mesure produit de deux mesures σ-finies
Intégrale associée à une mesure produit
Tribus et mesures produit dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue
Changement de variable dans une intégrale
D. Mesure image, mesure à densité; intégrales associées
1. Mesure image
2. Mesure à densité
E. Mesure et intégrale associée sur certaines surfaces de R3. Généralisation en
dimension n
1.
2.
3.
4.
Vocabulaire et limites de l'étude
Construction d'une mesure sur le support d'une nappe paramétrée plongée
Invariance par changement de paramétrage
Généralisation en dimension n: notion de (n-1)-volume
F. Transformation de Fourier
1. Transformation de Fourier dans L1(Rd)
2. Convolution, régularisation et formule d'inversion dans L1(Rd)
3. Transformation de Fourier dans L2(Rd)
A) RESUME DE THEORIE DE LA MESURE.
E désigne un ensemble non vide.
1)Tribu sur E : partie T de P(E) contenant ∅, E, stable par réunion et intersection finie ou dénombrable,
complémentarité, différence et différence symétrique.
Conditions suffisantes: pour que T ⊂ P(E) soit une tribu, il suffit que a) ou b) soit vérifié:
a) T contient E, est stable par réunion dénombrable et complémentarité.
b) T contient E, est stable par intersection finie, différence et réunion dénombrable croissante.
Notion de tribu engendrée par une famille de parties de E; de tribu induite sur un sous-ensemble; (E,T) est appelé
ensemble mesurable. Les éléments de T sont les parties mesurables de (E,T).
Tribu borelienne B(X) sur un espace topologique X: c'est la tribu engendrée par les ouverts (ou les
fermés); ses éléments sont les boréliens de l'espace; la tribu induite sur un sous-espace en est la tribu
borélienne.
Tout ouvert de R étant réunion dénombrable et disjointe d’intervalles ouverts, on en déduit quelques
familles génératrices de B(R): {intervalles ouverts}; {intervalles fermés}; { ]-∞ ,x[, x∈R};
{ ]-∞,x], x ∈ R}…
De même : B(Rd) est engendrée par les pavés ∏ ]ak,bk[ ; les pavés ∏[ak,bk], …
2) Mesure (positive) sur un espace mesurable (E,T) : application µ : T → [0,+∞] (muni des opérations et de
l'ordre naturels) telle que µ(∅) = 0 et vérifiant la propriété de σ-addivité (ou additivité dénombrable): pour toute
suite (An) d’éléments deux à deux disjoints de T :
 +∞  +∞
µ  ∪ An = ∑ µ(An).
n=0  n=0
Exemples: Ω ensemble muni de la tribu P(Ω):
• Si a ∈ Ω: mesure de Dirac δa : δa(A) = 1 si a ∈ A, 0 sinon.
• Mesure de dénombrement δΩ : δΩ(A) = Card A (soit donc δΩ = ∑ δk ).
k∈Ω
Propriétés d’une mesure µ sur un espace mesurable (E,T):
Pour A, B, Ao, …, An , … (non nécessairement deux à deux disjoints) dans T :
! A ⊂ B ⇒ µ(B) = µ(A) + µ(B\A) ≥ µ(A) (croissance et différenciation).
! µ(A∪B) ≤ µ(A∪B) + µ(A∩B) = µ(A) + µ(B).
!
!
Si An↑A , alors µ(An)↑µ(A) (monotonie croissante) .
Si An↓ A et s'il existe p tel que µ(Ap) < +∞ , alors µ(An)↓µ(A) (monotonie décroissante).
(Poser Ao = ∅, puis écrire A = ∪ (An+1\An)) ; pour la monotonie décroissante, le résultat devient
faux en général lorsque tous les µ(Ap) valent +∞ ; par exemple avec la mesure de dénombrement
sur N , et An = [[n,+∞[ ).
 +∞  +∞
µ  ∪ An ≤ ∑ µ(An) (sous-additivité dénombrable).
n=0  n=0
(Immédiat par récurrence si la réunion est finie; utiliser ensuite la monotonie croissante).
Si µ est une mesure sur (E,T), (E,T,µ) est appelé ensemble mesuré. µ est dite σ-finie sur (E,T) s'il existe
une suite (An) croissante d'éléments de T de mesures finies telle que ∪An = E . µ est dite finie si µ(E)
est fini. Si µ(E) = 1, µ est une probabilité sur E.
Les parties de E incluses dans un élément de T de mesure nulle sont dites négligeables .
Une partie négligeable n’est pas toujours mesurable ; lorsque c’est le cas, on dit que l'ensemble mesuré
est complet. Par exemple, si Ω désigne un ensemble non vide, (Ω,P(Ω),δΩ) est complet (la seule partie
négligeable est l'ensemble vide).
2
Une sous-partie d’une partie négligeable est négligeable ; une réunion dénombrable de parties
négligeables est négligeable.
Une propriété concernant les élément de E est dite vraie presque partout (en abrégé : pp) si elle l’est
sauf peut-être sur un ensemble négligeable.
Théorème d’unicité : Soient deux mesures µ et η sur (E,T) et R une partie génératrice de T.
Si µ et η sont égales et σ-finies sur R et si R est stable par intersection finie et différence, alors µ et
η sont égales. Si µ et η sont des probabilités, la stabilité par intersection finie est suffisante.
Ce résultat non immédiat (on ne peut pas explicitement décrire un élément de T à l'aide d'éléments de
R) est très important pour la reconnaissance de mesures, et en particulier des lois de variables
aléatoires ; il est aussi utile pour la démonstration des résultats qui suivent (mesures de Borel et de
Lebesgue sur Rd. On en trouvera une démonstration dans [Buchwalter. Le calcul intégral. P20,21]).
Une construction de la tribu et de la mesure de Lebesgue sur Rd:
Ce qui suit est donné sans démonstrations. On trouvera le détail (construction d’une mesure complète à
partir d’une mesure σ-finie définie sur un anneau) dans [Buchwalter. Le calcul intégral], ou dans
[Rudin; analyse réelle et complexe (p.49)].
•
Pour un pavé P = ∏(ak,bk), on pose µ(P) = ∏|bk-ak|, et on prolonge naturellement µ sur l’ensemble
R des réunions finies de pavés disjoints de Rd ; on vérifie que µ a la propriété de σ-additivité sur R,
et est σ-finie sur R (∃ une suite croissante (An) d’éléments de R de mesures finies tq ∪An = Rd).
•
On construit la « mesure extérieure » associée par : ∀ E ⊂ Rd :
+∞
µ*(E) = Inf { ∑ µ(An) , E ⊂ ∪An , An ∈ R} avec la convention Inf ∅ = +∞.
n=0
On constate que µ* prolonge µ, est croissante et σ-sous-additive (µ*( ∪En) ≤ ∑ µ*(En)) , mais n’a
toutefois pas la propriété d’additivité dénombrable.
•
On montre que la restriction de µ à B(Rd) (tribu engendrée par R) est une mesure : c’est la mesure
de Borel sur Rd, que l’on note θ(d).
•
On montre enfin (à l'aide du théorème d'unicité) qu’il existe une unique plus grande tribu L
contenant R sur laquelle la restriction de µ* est une mesure: c’est la tribu engendrée par R et les
parties négligeables (au sens de µ*), appelée tribu de Lebesgue L(Rd) ; elle contient bien sûr la
tribu borelienne de Rd. µ*|L est la mesure de Lebesgue sur Rd, notée λ(d) .
•
λ(d) est complète. Toute partie de Rd incluse dans un hyperplan a une mesure de Lebesgue nulle (un
hyperplan est limite croissante de « pavés » de mesures nulles).
•
La mesure de Lebesgue possède les propriétés de régularité extérieure et intérieure suivantes :
• ∀A ∈ L(Rd) : λ(d)(A) = inf { λ(d)(O) , O ouvert contenant A} = sup { λ(d)(K), K cpact ⊂ A}).
• Les parties de Rd λ(d)-mesurables sont exactement les parties E de Rd pour lesquelles il existe
un Fσ (réunion dénombrable de fermés) A et un Gδ (intersection dénombrable d'ouverts) B tels
que l'on ait A ⊂ E ⊂ B et λ(d)(B-A) = 0 (voir Rudin p.49).
Par induction et restriction, on définit de même la tribu et la mesure de Lebesgue (encore notée λ(d), ou
plus simplement λ par commodité) sur une partie mesurable E de Rd .
Remarque : la condition de stabilité par intersection finie dans le théorème d'unicité est essentielle; dans
R par exemple, si ∑ désigne la tribu engendrée par [0,1] et [1,2], les deux mesures θ(1) et δ1 sont égales
sur [0,1] et sur [1,2] mais pas sur leur intersection {1} ∈ ∑.
On trouvera un exemple de partie de R non mesurable au sens de Lebesgue dans [Ru] p51.
3
3) Application mesurable entre deux espaces mesurables: application telle que l'image réciproque de toute
partie mesurable soit mesurable.
Pour vérifier qu'une application f de (E,T) dans (E',T') est mesurable lorsque l'on a un système générateur ∑ de la
tribu d'arrivée T', il suffit de vérifier que l'image réciproque par f de tout élément de ∑ est dans T (car dans ce cas
on vérifie que T1 = {B∈ T ' , f -1(B) ∈ T} est une tribu qui contient ∑ , et donc T1 = T ').
•
•
•
•
1A est mesurable ⇔ A est mesurable .
Une composée de fonctions mesurables est mesurable .
Une fonction démarrant d’un espace mesuré discret (I,P(I)) est toujours mesurable.
Si l'espace de départ est complet, une fonction presque partout égale à une fonction mesurable est
mesurable .
( Si f = g sur E\N : f -1(A) = [g-1(A) ∩(E\N)] ∪ [f –1(A)∩N] est mesurable).
Fonctions de (E,T) dans (X topologique, BX) (X = R , [-∞
∞,+∞
∞] , [0,+∞
∞] , C ,…) :
• f continue ⇒ f mesurable (E topologique ici) (mais par exemple 1Q est mesurable).
• Si f est à valeurs complexes, f est mesurable ssi Re f et Im f le sont (si f = g+i.h, pour les
générateurs de BC de la forme I+i.J, on a f -1(I+i.J) = g-1(I)∩h-1(J)).
• Si f, g, f1,…, fn, … sont mesurables et si cela a un sens : f +g , λ.f, fg , max (f,g), min (f,g), f +, f –,
+∞
+∞
| f | , f/g , sup fn , inf fn , lim fn lim fn , lim fn , ∑ fn , ∏ fn sont mesurables.
n=0
n=0
(On démontre d’abord ces résultats pour f, g à valeurs dans [0,+∞], à l’aide d’égalités du type :
{f + g < α} =
{f<r}∩{g<s} ; {sup f ≤ α} = ∩ {fn ≤ α} …).
∪
r,s∈Q+,r+s<α
n
Fonctions étagées: une fonction f : (E,T) → (E',T') est dite étagée si elle est mesurable et ne prend
n
qu'un nombre fini de valeurs. Les fonctions étagées à valeurs complexes sont de la forme f = ∑ αk.1Ak
k=0
où les αk sont des complexes et (Ak) une partition de E d'ensembles mesurables.
On a le résultat d'approximation suivant:
Thm Toute fonction mesurable et bornée de (E,T) dans C est limite uniforme d’une suite de
fonctions étagées.
(se ramener au cas réel, avec f à valeurs dans [-1,1], et considérer pour n ≥ 1 et k ∈ [[-n,n [[ les
n
parties mesurables Ak,n = { k/n ≤ f < (k+1)/n}, An,n = {f = 1} puis la suite fn(x) = ∑ (k/n).1Ak,n:
k= -n
on a évidemment ||f-fn||∞ ≤ 1/n pour tout n.
4) Intégrale associée à une mesure µ dans un espace mesuré (E,T,µ) :
On note L+(E,T,µ) = { f : E →[0,+∞], f mesurable} ,en abrégé : L+(E) ( [0,+∞] est muni de sa tribu borelienne).
Nous allons démonstrer qu’il existe une unique application I : L+(E) → [0,+∞], f → I(f) = ⌡
⌠f (notation) telle
que :
!
(C1) ∀A ⊂ E , A mesurable : ⌡
⌠1A = µ (A);
!
(C2) ∀f, g ∈ L+(E) , ∀λ ∈ R+ :
!
(C3) ∀(fn) ∈ L+(E) : (fn)↑ f ⇒ ⌡
⌠fn ↑ ⌡
⌠f (propriété de convergence croissante de Beppo-Levi).
⌠f+λg = ⌡
⌠f + λ.⌡
⌠g (linéarité positive);
⌡
N
4
Les propriétés suivantes sont conséquences immédiates des précédentes pour f, g, fo,…fn,… ∈ L+(E):
!
!
!
!
f≤g⇒
⌠
⌡f ≤ ⌠
⌡g (croissance; conséquence de C1 et C2 uniquement).
+∞
⌠ +∞
fn ( règle des séries pour les fonctions positives) .
∑ fn = ∑ ⌠
n=0
n=0 ⌡
⌡
[(fn) ↓ f et ∃ p, ⌠
⌡fp < +∞ ] ⇒ ⌠
⌡fn ↓ ⌠
⌡f (convergence décroissante).
⌠
⌡f ≤ µ(E). Sup f(x) .
x∈E
!
⌠
⌡fn (Fatou).
⌡ lim fn ≤ lim ⌠
(
B.L.
lim fn = ⌠ lim↑( Inf fk) == lim ⌠( Inf fk) mais pour tout n et tout p ≥ n: Inf fk ≤ fp , donc
⌠
⌡
⌡
⌡ k≥n
k≥n
k≥n
( Inf f ) ≤ ⌠f ; par suite: ⌠( Inf fk) ≤ Inf ⌠
fp et ⌠ lim fn ≤ lim Inf ⌠
fp = lim ⌠
⌡fn ).
⌠
⌡ k≥n k ⌡ p
⌡ k≥n
⌡
p≥n ⌡
p≥n ⌡
On utilisera si nécessaire des notations plus précises:
f = ⌠f = ⌠f.dµ = ⌠
⌡f(x) dµ(x).
⌠
⌡ ⌡ ⌡
E
Soit A une partie mesurable de E. A étant naturellement muni de la tribu et de la mesure induites par
celles de E, l'écriture
+
⌠
⌡f est donc connue pour f ∈L (A).
A
Si f ∈L (E), on convient de poser
+
⌠
⌡f = ⌠
⌡f.1A (on vérifiera que la notation est cohérente avec la
A
E
précédente; elle consiste à assimiler un élément de L+(A) à sa prolongée par 0 hors de A).
La preuve de l’existence et de l’unicité de I repose sur un résultat d’approximation monotone:
Thm Tout élément de L+(E) est limite d’une suite croissante de fonctions positives étagées sur E.
Démo: Soit f ∈ L+(E). Pour n≥1, on partitionne E avec Ak,n={k.2-n ≤ f < (k+1)2-n}( k = 0,...,n2n-1) et
Bn={f ≥ n}, de sorte que la partition au rang n+1 est emboitée dans la partition au rang n; on pose
n2n-1
fn = ∑ k2-n.1Ak,n+ n.1Bn . On vérifie la croissance de (fn):
k=0
k
2k
• Dans Ak,n = A2k,n+1 ∪ A2k+1,n+1 : fn = n et fn+1 ≥ n+1 ≥ fn .
2
2
(n+1)2n+1-1
n.2n+1
Ak,n+1 ∪ Bn+1 : fn = n et fn+1 ≥ n+1 = fn.
∪
• Dans Bn =
2
k=n.2n+1
On vérifie la convergence de (fn) vers f:
•
•
Si f(x) = +∞, alors ∀n, x ∈ Bn et fn(x) = n → f(x).
Si f(x) < +∞, alors pour n > f(x): ∃k, x ∈ Ak,n et 0 ≤ f(x) - fn(x) ≤ 2-n : fn(x) → f(x).
Existence et unicité de I :
La définition de I sur les fonctions positives étagées est imposée par (C1) et (C2); l'unicité de I une fois
son existence établie découlera du théorème démontré ci-dessus et de (C3).
5
Pour f ∈ L+(E), on pose I(f) = Sup {I(g), g positive étagée, g ≤ f }; (C1) et (C2) sont immédiats, ainsi
donc que la croissance de I.
Vérifions (C3): soit f = lim↑ fn, les fn dans L+(E) ; de: ∀n, fn ≤ f , on tire I(fn) ≤ I(f), et on peut définir
L = lim I(fn) ≤ I(f) (L éventuellement infini).
n→ +∞
Il reste à prouver I(f) ≤ L , ce qui revient à démontrer I(h) ≤ L pour toute h positive étagée ≤ f :
Soit h = ∑ αk.1Ak ≤ f une telle fonction, et λ ∈ ]0,1[; posons pour n ≥1: Bn ={fn ≥ λ.h}. On vérifie
k
aisément que (Bn) croît vers E, et donc: ∀k: (Ak∩Bn)n ↑ Ak ; alors:
∀n: fn ≥ λ.h.1Bn , donc: I(fn) ≥ λ.I(h.1Bn) = λ.∑ αk I(1Ak∩Bn) = λ.∑ αk.µ(Ak∩Bn).
k
k
Passant à la limite, on obtient: L ≥ λ.∑ αk.µ(Ak) = λ.I(h). L'inégalité étant vérifiée pour tout λ ∈ ]0,1[,
k
on en déduit bien: I(h) ≤ L.
Les propriétés des parties négligeables donnent, pour f, g, fo, …, fn , … dans L+(E) :
!
⌠
⌡f = 0 ⇔ f = 0 pp .
(avec A = {f >0}: (n.f)↑(∞.1A) et (n.1A)↑(∞.1A); Beppo-Levi : lim n.⌠
⌡f = lim n.µ(A), d'où le résultat).
!
Si A est mesurable et négligeable, alors ⌠
⌡f = 0.
A
(car
⌠
⌡f = ⌠
⌡f.1A et f.1A = 0 pp).
A
!
f ≤ g pp ⇒ ⌠
⌡f ≤ ⌠
⌡g ; f = g pp ⇒ ⌠
⌡f = ⌠
⌡g .
(avec A = {f ≤ g}: on a f.1A ≤ g.1A , et f.1B et g.1Bsont nulles pp).
!
Si E = A∪B avec A, B mesurables et A∩B négligeable: ⌠
⌡f = ⌠
⌡f + ⌠
⌡f
E
A
B
(car f = f.(1A+1B) pp ).
!
⌠
⌡f < +∞ ⇒ f < +∞ pp .
(poser A = {f = +∞}: ⌠
⌡f ≥ ⌠
⌡f = ∞.µ(A): on a nécessairement µ(A) = 0).
A
5) Extension de l’intégrale aux fonctions à valeurs complexes :
(E,T,µ) désigne un espace mesuré.
Une fonction f : E → C (C étant muni de sa tribu borelienne) est dite intégrable si elle est mesurable et si
+
⌠
⌡| f |
-
est finie; l'intégrabilité de f entraîne celles des quatre applications mesurables positives (Re f) , (Re f) , (Im f)+
et (Im f) - , ce qui permet de poser:
+
⌠f = ⌡
⌠(Re f)+ - ⌡
⌠(Re f)- + i. ⌠
⌡
⌡(Im f) - i.⌠
⌡(Im f) .
Cette intégrale coïncide avec l'intégrale connue sur les fonctions à valeurs finies de L+(E).
6
On vérifie aisément que l’ensemble L1(E) = { f : E → C intégrables} est un C–espace vectoriel sur lequel la
1
forme f → ⌠
⌡f est linéaire positive (clair). L (E) contient les fonctions mesurables nulles presque partout, et leur
intégrale est nulle.
1
1
Il est aussi clair que f → || f ||1 = ⌠
⌡| f | est une semi-norme sur L (E); de plus, on a: ∀ f ∈ L (E),
⌠
⌡f ≤ ⌠
⌡| f | .
(l'inégalité est immédiate pour f à valeurs réelles; pour f à valeurs complexes, notons ⌡
⌠f = ρ.eiθ , avec
ρ ≥ 0 et f = g+i.h , g et h réelles; il vient:
-iθ
-iθ
-iθ
-iθ
⌠
⌡e .f = ⌠
⌡(g.e + i.h.e ) = ⌠
⌡(g.cos θ + h.sin θ)= ⌠
⌡(g.cos θ + h.sin θ)
⌡f = ρ = e . ⌠
⌡f = ⌠
≤
-iθ
⌠
⌡| g.cos θ + h.sin θ | = ⌠
⌡|e .f | = ⌠
⌡| f | .
Les propriétés des parties négligeables fournissent, pour f, g ∈ L1(E) :
!
f = 0 pp ⇔ ∀ A ⊂ E, A mesurable : ⌠
⌡f = 0 .
A
(se ramener au cas réel ; poser A = {f ≥0} et B = {f < 0} et utiliser | f | = f.1A – f.1B ).
!
Si A est mesurable et négligeable, alors ⌠
⌡f = 0. (car f.1A = 0 pp).
A
!
Si f et g sont réelles : f ≥0 pp ⇒ ⌠f ≥ 0 ; f ≤ g pp ⇒⌠f ≤ ⌠g .
⌡
⌡
⌡
Si f et g sont complexes: f = g pp ⇒ ⌠f = ⌠g .
⌡
⌡
(sans hésitation maintenant avec la linéarité: ⌠
⌡g - ⌠
⌡f = ⌠
⌡g-f ≥ 0).
!
Si E = A∪B avec A, B mesurables et A∩B négligeable: ⌠
⌡f = ⌠
⌡f + ⌠
⌡f. (f = f.1A + f.1B pp).
A
B
Théorème de convergence dominée (de Lebesgue):
TCVD : Soit (fn) une suite de fonctions mesurables de E dans C convergeant simplement presque
partout sur E vers f: E → C mesurable. S’il existe ϕ : E → [0,+∞
∞] intégrable telle que : ∀n, |fn| ≤ ϕ
presque partout, alors: les fn et f sont intégrables,
lim ||f -fn||1 = 0 et lim ⌠
fn = ⌠
⌡f .
n→
n→
→ +∞
∞
→ +∞
∞⌡
Démo : l'intégrabilité des fn et de f se déduit de la condition de domination et la dernière assertion est
conséquence immédiate de la seconde, que l'on prouve en se ramenant au cas réel (le cas complexe s'en
déduisant par passage aux parties réelle et imaginaire):
•
Si les conditions sont vérifiées sur E:
Démonstration avec Beppo-Levi:
Soient (un) =( Inf fk) , (vn) = (Sup fk) et (wn) = (vn-un) : (un) et (vn) sont adjacentes de limite f , et on a
k≥n
k≥n
pour tout n : |f - fn| ≤ wn ≤ 2ϕ ; on applique à la suite décroissante (wn) le théorème de convergence
décroissante et on conclut.
7
Démonstration avec Fatou: appliqué à la suite de fonctions mesurables positives (2ϕ - |fn-f | ) qui
converge vers 2ϕ : (pour (an) positive: lim (-an) = - lim an ; lim (a+bn) = a + lim bn )
⌠
⌡2ϕ = ⌠
⌡(2ϕ - |fn- f |) = ⌠
⌡2ϕ - lim ⌠
⌡|fn-f |, donc lim ⌠
⌡|fn-f | = 0 et par
⌡ lim [2ϕ - | fn-f | ] ≤ lim ⌠
suite lim
•
⌠
⌡|fn-f | = 0, d'où lim ⌠
⌡|fn-f | = 0.
En cas de convergence et de domination presque partout, A = {fn → f} ∩ ( ∩{|fn| ≤ ϕ} ) est mesurable
et les conditions sont vérifiées partout sur A; on prolonge f (qui est mesurable sur A) à E en la décrètant
nulle sur Ac (la prolongée est mesurable sur E), puis on utilise ce qui précède en multipliant les fn et g
par 1A.
Remarque: si E est complet (c'est le cas pour la mesure de Lebesgue, une mesure de dénombrement), la
mesurabilité de f est conséquence des autres hypothèses (f est pp égale à une fonction mesurable).
Règle générale des séries:
+∞
∞
RGS Soit (un) une suite de fonctions mesurables de E dans C telle que ∑ ⌡
∞ ; alors:
⌠|un| < +∞
n=0
+∞
∞
∑ un converge pp; si u désigne un prolongement mesurable de ∑ un à E, alors les un et u sont
n=0
n≥
≥0
+∞
∞
intégrables, et l'on a: ⌡
⌠u = ∑ ⌡
⌠un
n=0
+∞
+∞
Démo : v = ∑ |un| ∈ L+(E) et (règle des séries dans L+(E)): ⌠
v= ∑ ⌠
|un| < +∞ donc v est pp finie
⌡
n=0
n=0 ⌡
intégrable, et ∑ un est (absolument) convergente pp; soit u un prolongement mesurable de sa somme à E (il
n≥0
en existe, car ∑un est convergente sauf sur un ensemble mesurable négligeable).
De ∀n, ∀pp x ∈ E:
n
∑ uk(x) ≤ v(x), on conclut grâce au théorème de convergence dominée.
k=0
Remarque: si E est complet, tout prolongement u est mesurable (pp égal à une fonction mesurable).
Enfin un résultat qui fournit un lien entre la convergence suivant || . ||1 et la convergence presque partout :
Prop Si dans (L1(E) , ||.||1 ) une suite (fn) converge vers une fonction f, alors il existe une sous-suite de
(fn) qui converge presque partout vers f .
Démo : l'idée provient de la démonstration précédente: (fn) est de Cauchy pour la semi-norme || . ||1 , et l'on
peut facilement en extraire une sous-suite (gn) qui vérifie: ∀n, ||gn+1-gn||1 ≤ 2-n ; alors ∑ (gn+1-gn) vérifie les
hypothèses de la règle des séries, de sorte qu'elle converge (absolument) pp; en un x pour lequel ceci est
satisfait, la somme de cette série est lim gn(x) = lim fn(x) = f(x) , ce qui prouve que la suite (gn(x))
n → +∞
n → +∞
converge bien vers f(x).
6) Intégrale de Lebesgue sur R ou un intervalle de R ; lien avec l’intégrale de Riemann:
Soit I un intervalle de R, muni de sa tribu et de sa mesure de Lebesgue (notée λ). L'intégrale associée à λ sur I
s'appelle l'intégrale de Lebesgue sur I. Elle possède donc toutes les propriétés citées précédemment . Il reste à
faire le lien avec l’intégrale de Riemann sur I = [a,b] compact) et l’intégrale de Riemann généralisée sur
I = (a,b), intervalle quelconque.
8
Lemme de caractérisation de Lebesgue : Une application f : [a,b] → C est intégrable au sens de Riemann
(en abrégé: R-intégrable) si et seulement si elle est bornée et continue presque partout.
Démo:
• Pour x ∈ [a,b], on définit l'oscillation de f en x: ω(f;x) =
Inf δ(f(U)) ∈ [0,+∞]. Alors f est
U∈V(x)
continue en x ssi ω(f;x) est nul (ω(f;x) = 0 ⇔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ V(x), δ(f(U)) ≤ ε). L'ensemble des
+∞
points de discontinuité de f peut donc s'écrire: ∪ An avec An = {t ∈ [a,b], ω(f;t) ≥ 1/n}. On notera
n=1
que les An sont fermés (les Anc sont ouverts) et donc mesurables, mais que ω( f ; .) n'est pas
continue en général (prendre par exemple une fonction en escalier).
•
Supposons f Riemann intégrable; on sait déjà que f est bornée. Pour prouver que f est continue pp,
il suffit de prouver que chaque An est négligeable (leur réunion dénombrable le sera); soit n ≥1 fixé,
b
et ε>0: ∃ ϕ complexe et ψ réelle, en escalier, telles que |f-ϕ| ≤ ψ avec ⌡
⌠ψ(x)dx ≤ ε.
a
Soient (ai)i∈I une subdivision adaptée à ϕ et ψ, et ϕi (respt ψi ) la valeur constante de ϕ (respt de ψ)
sur ]ai,ai+1[ pour chaque i.
Pour x, y ∈ ]ai,ai+1[, on a: |f(x)-f(y)| ≤ 2ψi , de sorte que pour les i tels que ψi ≤ 1/(4n), on a, pour
tout x ∈ ]ai,ai+1[: ω(f;x) ≤ 1/(2n) < 1/n, et donc x∉ An.
Ainsi: An ⊂ ( ∪{ai})∪(
∪ 1 ]ai,ai+1[ ) = Bn,ε mesurable, avec:
ψi > 4n
b
∑ 1 (ai+1-ai) < 4n. ∑ 1 (ai+1-ai).ψi ≤ 4n.⌠
⌡ψ(t)dt ≤ 4n.ε; ceci étant vrai pour
ψi > 4n
ψi > 4n
a
tout ε > 0, on en déduit bien que An est négligeable.
λ(An) ≤ λ(Bn,ε) =
•
Supposons maintenant f bornée ( | f | ≤ M ) et continue presque partout, et soit ε > 0.
•
A = { t ∈ [a,b], ω(f;t) ≥ ε } est négligeable par hypothèse, et il existe donc une suite (Ik)
d'intervalles ouverts dans [a,b] telle que A ⊂ ∪Ik et ∑λ(Ik) ≤ ε. D'autre part, A est fermé dans
[a,b], donc compact, et on peut extraire de ce recouvrement un sous-recouvrement fini
R1 = (Ip)p∈ Λ .
•
Dans K = [a,b] - ∪ Ip , on a ω(f; . ) < ε, donc ∀t ∈ K, ∃ J(t) intervalle ouvert dans [a,b] et
p∈ Λ
contenant t tel que ∀x,y ∈ J(t): |f(x)-f(y)| ≤ ε . On extrait du recouvrement ∪ J(t) de K un
t∈K
sous-recouvrement fini R2 = (Jq)q∈Γ .
•
Ordonnons les extrémités des intervalles Ip et Jq de sorte à obtenir une subdivision (ai)i de [a,b].
Chaque intervalle ]ai,ai+1[ est inclus dans un Ip, un Jq ou les deux.
Notons L l'ensemble des indices i pour lesquels ]ai,ai+1[ est inclus dans un Ip, et définissons ϕ et
ψ en escalier sur [a,b] de la façon suivante:
•
•
∀i: ϕ(ai) = 0 ; ψ(ai) = M.
∀i ∈ L, ∀ t ∈ ]ai,ai+1[ : ϕ(t) = 0 ; ψ(t) = M.
•
∀i ∉ L; ∀ t ∈ ]ai,ai+1[: ϕ(t) = f(mi) ; ψ(t) = ε
(mi =
ai+ai+1
).
2
ai+1
ai+1
Alors |f-ϕ| ≤ ψ et ⌠
∑ ⌠
∑ ⌠
⌡ψ(t)dt = i∈L
⌡ ε ≤ (M +(b-a)).ε : f est R-intégrable sur [a,b].
⌡M + i∉L
a
ai
ai
b
9
b
Prop1 : Soit f:[a,b]→
→C Riemann-intégrable; alors f est Lebesgue-intégrable sur [a,b], et⌠
⌡f(x)dx =
a
⌠
⌡f.dλλ.
[a,b]
Démo : Pour vérifier l’égalité annoncée, on se ramène d'abord au cas où f est à valeurs réelles (en
séparant partie réelle et partie imaginaire).
Notant respectivement s(σ) et S(σ) les sommes de Darboux inf. et sup. associées à f et à une subdivision
σ de [a,b], on sait que lim S(σ)-s(σ) = 0.
δ(σ)→0
b-a
Pour n ≥ 1, on considère la subdivision σn de [a,b] régulière de pas hn = n , de sorte que la suite des
2
subdivisions (σn) est emboitée; posons pour n ≥ 2 :
•
Jk,n = [a+k.hn , a+(k+1).hn[ si k = 0 , ... , 2n -2 , et J2n-1,n = [b-hn , b] ,
•
mk,n = inf {f(t), t ∈ Jk,n} , et Mk,n = Sup {f(t), t ∈ Jk,n} pour k = 0 , ... , 2n-1 ,
2n-1
2n-1
ϕn = ∑ mk,n.1Jk,n et ψn = ∑ Mk,n.1Jk,n : fonctions étagées (en escaliers), donc mesurables.
k=0
k=0
•
Il vient, de façon claire:
•
•
•
∀n ≥ 1, ϕn ≤ f ≤ ψn ; (ϕn) ↑ ϕ , (ψn) ↓ ψ , où ϕ et ψ sont mesurables et ϕ ≤ f ≤ ψ.
b
0.
⌠(ψn-ϕn) = ⌡
⌠(ψn-ϕn) = S(σn)-s(σn) →
⌡
n→+∞
[a,b]
a
0 ≤ (ψn- ϕn) ↓ (ψ - ϕ)
et
⌠
⌡(ψ1-ϕ1) < +∞ , donc (cv décroissante pour les fonctions ≥ 0):
[a,b]
lim
n → +∞
⌠
⌡(ψn-ϕn) = ⌠
⌡(ψ - ϕ) , et finalement : ⌠
⌡(ψ - ϕ) = 0 , ce qui entraîne ψ = ϕ pp, puis
[a,b]
[a,b]
[a,b]
ψ = ϕ = f pp,
Par conséquent:
• f est pp égale à une fonction mesurable et [a,b] est complet, donc f est mesurable; étant bornée,
elle est intégrable.
b
lim S(σn) = ⌠
• ⌠
⌡ϕ = ⌠
⌡f(x).dx = n →
⌡f .
+∞
[a,b] [a,b]
a
Remarques:
•
L'intérêt de munir I de sa tribu et de sa mesure de Lebesgue, i.e. d'une structure d'espace mesuré
complet apparaît dans la démonstration: ceci garantit la mesurabilité de f . Disons pour préciser que
f est "λ-mesurable" (lorsque [a,b] est muni de sa tribu de Lebesgue), mais n'a aucune raison a priori
d'être "θ-mesurable" (propriété plus forte), bien que ϕ et ψ le soient, comme limites de fonctions
θ-mesurables.
•
Pour f : [a,b] → C , on a les implications suivantes:
f est Co/morceaux ⇒ f est réglée ⇒ f est Riemann-intégrable ⇒ f est Lebesgue-intégrable.
Les réciproques sont fausses (par exemple sur [0,1] : x→ x.E(1/x) ou 0 est réglée mais non continue
par morceaux; x → sin (1/x) ou 0 est Riemann-intégrable mais non réglée; x → 1Q (x) est
Lebesgue-intégrable mais non Riemann-intégrable).
De plus, la théorie de Lebesgue permet d'intégrer sur [a,b] des fonctions non bornées, ce que ne
permet pas celle de Riemann.
10
Prop 2 : Soit I = (a,b) un intervalle non compact (non borné ou borné mais non fermé) de R et f : I → C
localement Riemann-intégrable; alors f est λ-intégrable sur I si et seulement si l'intégrale de Riemann
b
b
|f(x)|.dx
est
convergente;
le
cas
échéant,
on
a
généralisée ⌡
⌠
⌠f (x) dx = ⌡
⌠f.dλλ.
⌡
a
a
I
Démo : soient (an) ↓ a , (bn) ↑ b , et pour chaque entier n: fn = f.1[an,bn]:
Pour tout n, fn est R-intégrable sur [an,bn], donc continue presque partout sur I, ce qui permet d'affirmer
que les fn sont mesurables sur I, puis que f = lim fn est aussi mesurable sur I.
•
Si f est λ-intégrable:
bn
prop1
⌠
⌡|f(x)|.dx ==
∀n:
an
b
⌠
⌡| f |.dλ ≤ ⌠
⌡| f |.dλ < +∞ ; on en déduit: ⌠
⌡|f(x)|.dx < +∞ .
[an,bn]
I
a
∀n: |fn| ≤ | f | intégrable, donc (TCVD): ⌠
⌡f = lim⌠
⌡fn = lim
I
I
prop1
bn
b
an
a
⌠
⌡f == lim⌠
⌡f(x).dx = ⌠
⌡f(x).dx.
[an,bn]
b
•
Si
⌠
⌡|f(x)|.dx < +∞: |fn| ↑| f | donc on a, a priori dans [0,+∞] (par Beppo-Levi):
a
prop1
bn
b
an
a
⌠
⌡| f | = lim ⌠
⌡|fn| = lim ⌠
⌡| f | == lim ⌠
⌡|f(x)|.dx = ⌠
⌡|f(x)|.dx < +∞ : f est λ-intégrable sur I.
I
I
[an,bn]
7) Intégrale associée à une mesure de dénombrement:
On se place dans l'espace mesuré ( I , P(I) , δI) où I est un ensemble non vide (ensemble d'indices).
Une application x : i ∈ I → xi est notée x = (xi)i∈I (famille indexée par I) ; elle est automatiquement mesurable.
L+(I) est l'ensemble [0,+∞]I des familles d'éléments de [0,+∞] indexées par I .
Les fonctions positives étagées correspondent aux familles à support fini et à valeurs positives finies.
Pour y = (yi)i∈I = ∑ yi.1{i} positive étagée, on a donc: ⌡
⌠y = ∑ yi.⌡
⌠1{i} = ∑ yi. (somme finie)
i∈I
i∈I
i∈I
Soit x = (xi)i∈I ∈ L+(I); ⌠
⌡x = Sup { ⌠
⌡y , y positive étagée ≤ x} coïncide avec Sup ∑ xi , qui n'est
J∈Pf(I) i∈J
autre que la somme de la famille (xi)i∈I (voir topo sur les familles sommables):
∀x = (xi)i∈I ∈ L+(I): ⌡
⌠x = ∑ xi
i∈I
L1(I) = {x : I → C, ⌠
⌡x < +∞ } = { (xi)i∈I ∈ C
I
, ∑ |xi| < +∞} : on retrouve l'espace des familles sommables de
i∈I
complexes indexées par I.
x = (xi)i∈I est intégrable ⇔ (xi)i∈I est sommable; le cas échéant, on a: ⌠
⌡x = ∑ xi .
i∈I
(le dernier résultat s'obtient par retour à x = (Re x)+ - (Re x)- + i.(Im x)+ - i.(Im x)- ; c'est bien de cette
façon que l'on définit la somme d'une famille sommable de complexes).
11
On peut retrouver à l'aide des théorèmes fondamentaux donnés avant quelques résultats intéressants, notamment
en ce qui concerne les suites doubles:
+∞
+∞
Soit (xn) une suite de L+(N), avec pour chaque n: xn = (xn,m)m≥0 . L'élément ∑ xn désigne la famille  ∑ xn,m ;
n=0 m≥0
n=0
+∞
+∞
xn , soit donc:
la règle des séries pour les fonctions positives s'écrit, dans [0,+∞]: ⌠
∑ xn = ∑ ⌠
n=0
n=0⌡
⌡
+∞ +∞
+∞ +∞
∑
∑ xn,m = ∑ ∑ xn,m ≤ +∞ , ∀(xn,m)n,m suite double d'éléments de [0,+∞].
n=0 m=0
m=0 n=0
Dans le cas où les xn,m sont complexes, la règle générale des séries donne:
+∞ +∞
+∞ +∞
+∞ +∞
Si ∑ ∑ |xn,m| < +∞ , alors ∑ ∑ xm,n et ∑ ∑ xm,n existent dans C et sont égales.
m=0 n=0
n=0 m=0
n=0m=0
Toujours pour des nombres complexes, le théorème de convergence dominée se traduit par:
+∞
+∞
+∞
Si ∀m,n, |xn,m| ≤ am avec ∑ am < +∞, et si ∀ m, lim xn,m = ym, alors ∑ ym et lim
∑ xn,m
m=0
n→ +∞
m=0
n→ +∞ m=0
existent et sont égales
(c'est aussi un corollaire du théorème de la double limite).
12
Exercices
1) Calcul de
lim
n → +∞
∞
π/2
n
⌠
⌡sin x.dx .
0
Avec le TCVD : les fonctions x → sinnx sont Riem-intégrables donc λ-intégrables et l'intégrale de Riemann
coïncide avec l'intégrale de Lebesgue. TCVD: la limite est nulle.
Sans le TCVD : couper l'intégrale en [0,π/2-ε] et [π/2-ε,π/2], ..car il n'y a pas cvu de (fn) vers 0 sur [0,1].
1
1
2) a) f ∈ C ( [0,1],R) ; calcul de
xn
n
⌠
f(x
lim ⌠
).dx
;
b)
équivalent
de
u
=
n.dx .
n
⌡1+x
n → +∞
∞⌡
0
0
Avec le TCVD : immédiat: la limite est f(0).
Sans le TCVD : encore pas de cvu en général sur [0,1]. On se ramène au cas f(0) = 0; pour ε > 0, α ∈ ]0,1[ tel
que t ∈ [0,α] ⇒ |f(t)| ≤ ε , et n ≥ 1, on peut écrire, avec M = || f ||∞:
1
1
1
1
α
1
1
n
1/n -1
1/n -1
1/n -1
1/n
1/n
⌠
⌡f(x ).dx = n. ⌠
⌡f(t).t .dt ≤ n.⌠
⌡|f(t)|.t .dt+ n.⌠
⌡|f(t)|.t .dt ≤ ε.α + M.[1-α ].
0
0
0
α
Il reste à voir que la quantité majorante tend vers ε et peut être rendue ≤ 2ε pour n assez grand.
Pour b) : une intégration par parties fournit un =
1
ln 2 1
ln(1+xn).dx; on peut appliquer alors a) ou l'inégalité
- .⌠
n
n⌡
0
1
ln 2
0 ≤ ln(1+xn) ≤ xn sur [0,1] , pour en déduire ⌡
⌠ln(1+xn).dx = o(1) , et un ~ n .
0
Pour un développement limité à l'ordre 1, on pourra développer ln(1+xn) en série entière et justifier l'interversion
1
1 +∞ (-1)p+1
ln 2 π²
somme/intégrale (cvu) pour obtenir: ⌡
⌠ln(1+xn).dx = n. ∑ p(p + 1/n) , puis: un = n - 12n² + o(1/n²) .
p=1
0
1
1
⌠ +∞ - xn.ln(x)
ln(x).ln(1-x).dx
3) Calcul de ⌠
.dx
=
∑
⌡
n
⌡n=1
0
0
Avec la règle des séries pour les fonctions positives (détail): on prolonge toutes les fonctions par 0 en 0 et 1; on
obtient ⌠ ∑ = ∑⌠ avec l'intégrale de Lebesgue, puis la R-intégrabilité des fonctions intégrées garantit l'égalité
⌡
⌡
avec l'intégrale de Riemann.
Sans le théorème: on vérifie ici que ∑un cvu sur [0,1] (à la main ou avec Dini sur les sommes partielles, puisque
π2
.
l'on sait que la somme est continue; valeur: 2 6
13
1
ln(1-x)
⌠ +∞ xn
4) Calcul de ⌠
.dx = -  ∑
.dx
⌡ x
⌡n=0 n+1
0
0
1
Avec la règle des séries pour les fonctions positives: immédiat; valeur: -
π2
.
6
Sans le théorème: la série à intégrer n'est pas ucv sur [0,1] , mais elle l'est sur [0,a] pour a ∈ ]0,1[ :
1
a
a
1
+∞
+∞
+∞
n
n
cvu
x
x
⌠
⌠
⌠ xn
-⌡
⌠f(x).dx =  ∑ n+1.dx = lim  ∑ n+1.dx == lim ∑ n+1.dx
a → 1 ⌡n=0
a → 1 n=0 ⌡
⌡n=0
0
0
0
0
+∞ an+1 (*) +∞
1
xn
π2
= lim ∑
== ∑
=
; (*) : CVN de la série [ ∑
] sur [0,1].
2
2
6
a → 1 n=0 (n+1)
n=0 (n+1)
n2
n
+∞
∞
t n
-x
lim ⌠ 1 -  .dt ; b) Calcul de Γ'(1) = ⌠
⌡e .ln x.dx = - γ.
n → +∞
∞ ⌡  n
0
0
a) TCVD: immédiat. Sans le TCVD: utiliser par exple Dini.
b) itou. Faire ensuite une IPP intelligente.
5) a) ∀ x > 0: Γ(x) =
14
8) Corollaires du théorème de convergence dominée pour les intégrales dépendant d’un paramètre :
(E,T,µ) désigne un espace mesuré, que l'on supposera complet pour ne pas alourdir les hypothèses.
a) Passage à la limite sous une intégrale:
THM (X,d) espace métrique ; A ⊂ X ; a ∈ A ; f : A×E → C , (x,t) → f(x,t).
On suppose :
i) ∀x∈A , t → f(x,t) est mesurable ;
ii ) ∀pp t ∈ E, lim f(x,t) = ϕ(t) ;
x→a
x∈A
iii ) ∃ g intégrable telle que : ∀x∈ A, ∀pp t ∈ E , |f(x,t)| ≤ g(t) ;
alors
1) ∀ x ∈ A , t → f(x,t) est intégrable, et ϕ est intégrable ;
2) lim ⌠ f(x,t)dµ(t) = ⌠ ϕ(t)dµ(t).
⌡
x→a⌡
x∈A
Démo: appliquer le TCVD à fn: t → f(an,t) pour toute suite (an) de A tendant vers a. Si l'on ne suppose
plus E complet, il convient d'ajouter aux hypothèses la mesurabilité de ϕ.
Remarque: X a été pris métrique pour garantir, pour G : A → C , l'équivalence:
lim G(x) = λ ⇔ ∀(an) suite de A tendant vers a : lim G(an) = λ.
x →a
n→ +∞
x∈A
Il suffit en fait de supposer que X est métrisable, ou que X est topologique et que a admet un système
fondamental dénombrable de voisinages dans X.
On pourra donc en particulier utiliser ce théorème lorsque X = [-∞,+∞] et a = +∞.
b) Théorème de continuité:
THM (X,d) espace métrique; f : X×E → C , (x,t) → f(x,t) ;
On suppose :
i ) ∀x ∈ X, t → f(x,t) est mesurable ;
ii ) ∀pp t ∈ E , x → f(x,t) est continue sur X ;
iii ) ∃ g intégrable telle que : ∀x ∈ X, ∀pp t ∈ E, |f(x,t)| ≤ g(t) ;
alors
F : x →⌠f(x,t)dµ(t) est définie et continue sur X.
⌡
Démo: c'est une conséquence directe du résultat a). Dans la pratique, la condition [iii] peut être vérifiée
localement.
c) Théorème de dérivabilité:
THM I intervalle de R ; f : I × E → C ; (x,t) → f(x,t);
On suppose :
i ) ∀x ∈ I , t → f(x,t) est intégrable ;
ii ) ∀pp t ∈ E, x → f(x,t) est dérivable (respt C1) sur I ;
iii) ∃ g intégrable telle que : ∀x∈ I, ∀pp t ∈ E,
alors
δf
(x,t) ≤ g(t) ;
δx
δf
F : x → ⌠f(x,t)dµ(t) est dérivable (respt C1) sur I, et ∀x ∈ I, F'(x) = ⌠ (x,t)dµ(t) .
⌡
⌡δx
15
f(x,t) - f(a,t)
(pour la domination,
x-a
on utilisera l'inégalité des accroissements finis). La condition [iii] peut par exemple être vérifiée sur tout
compact de l'intervalle I. Si l'on enlève l'hypothèse "µ complète", on ajoutera aux hypothèses la
δf
mesurabilité de (a , .) pour tout a dans I.
δx
Extension: ce dernier théorème possède son analogue lorsque I est remplacé par un ouvert Ω de Rn
(n≥2): il suffit de raisonner avec les dérivées partielles de x → f(x,t) concernées.
Démo: soit a ∈ I, et A = I-{a}; on applique le résultat a) avec h(x,t) =
d) Théorème d'holomorphie:
THM Ω ouvert non vide de C ; f : Ω × E → C , (z,t) → f(z,t);
On suppose :
i ) ∀z ∈ Ω , t → f(z,t) est mesurable;
ii) ∀pp t ∈ E, z → f(z,t) est holomorphe sur Ω,
iii) ∀K compact de Ω, ∃ gK intégrable telle que: ∀z ∈ K, ∀pp t ∈ E, |f(z,t)| ≤ gK(t);
alors
1) F : z → ⌠
⌡f(z,t).dµ(t) est définie et holomorphe sur Ω ;
2) ∀p≥1,∀z ∈ Ω, t →
p
δpf
(p)(z) = ⌠ δ fp(z,t).dµ(t).
p(z,t) est intégrable et F
dz
⌡dz
Première démonstration:
Le résultat du c) peut être étendu au cas où la variable x ∈ I est complexe, variant dans l'ouvert Ω; il
suffit de remarquer que les arguments utilisés (déf. de la dérivabilité et inégalité des accroissements
finis) peuvent être répétés dans ce cadre (C-dérivabilité).
On travaille localement dans un disque D(zo,r) d'adhérence incluse dans Ω pour prouver le résultat
annoncé; à l'aide d'un disque de sécurité K = D(zo,R) ⊂ Ω avec r < R, il suffit (moyennant une
récurrence) de vérifier la domination des
∀p≥1, ∀pp t∈ E, ∀z ∈ D(zo,r):
δpf
(z,t) (qui sont mesurables) par une fonction intégrable; or:
δzp
p! ⌠ f(u,t)
R
δpf
(z,t) =
.g (t) , et on conclut.
p+1.du ≤
(R-r)p+1 K
2iπ ⌡(u-z)
δzp
γzo,R
Seconde démonstration:
La seule continuité de z → f(z,t) pour presque tout t ∈ E assure que F est définie et continue sur Ω.
Pour prouver que F est holomorphe sur Ω, on va montrer que dans tout disque D(zo,r) d'adhérence
1 ⌠F(u)
incluse dans Ω, on a la formule de Cauchy: F(z) =
.
.du; il suffira alors de reprendre la
2iπ ⌡ u-z
γzo,r
démonstration faite au paragraphe 3 du cours d'analyse complexe (résultat 3) où l'on prouve dans ce cas
(avec la continuité de F) que F est développable en série entière en (z-zo) sur D(zo,r), et de conclure.
Soit donc un disque K = D(zo,r) ⊂ Ω; pour z ∈ D(zo,r) fixé, on peut écrire, avec nos hypothèses:
1
.
∀pp t ∈ E : f(z,t) =
2iπ
2π
f(zo+r.eiθ,t) iθ
f(u,t)
r
⌠
.du = . ⌠
.e .dθ = lim hn(z,t) avec:
2π ⌡(zo+r.eiθ- z)
⌡ (u-z)
n → +∞
γzo,r
0
r n f(zo+r.e2ikπ/n,t) 2ikπ/n
.e
(sommes de Riemann).
hn(z,t) = . ∑
n k=1 (zo+r.e2ikπ/n-z)
16
La suite (hn(z,.))n≥1 de fonctions mesurables sur E et convergeant pp vers f(z,.) vérifie:
∀n≥1, ∀pp t ∈ E: |hn(z,t) | ≤ r.
gK(t)
, fonction majorante intégrable sur E.
r-|z-zo|
On déduit, mis à part ce que l'on savait déjà, que:
e2ikπ/n
r n
f(z,t).dµ(t)
=
lim
h
(z,t).dµ(t)
=
lim
.
.⌡
F(z) =⌠
∑
⌠f(zo+ r.e2ikπ/n,t).dµ(t)
⌠
2ikπ/n
n
⌡
⌡
n
z
+
r.e
-z
o
n → +∞
n → +∞ k=1
2π
r ⌠F(zo+r.eiθ) iθ
1 ⌠F(u)
r n F(zo+r.e2ikπ/n) 2ikπ/n
. ∑
.e
= .
.e .dθ =
.
.du.
= lim
2ikπ/n
iθ
n
z
z
+r.e
-z
+
r.e
-z
2π
2iπ
⌡ u-z
o
o
⌡
n → +∞ k=1
γzo,r
0
Soit maintenant p ≥1; reprenons les calculs faits ci-dessus en partant cette fois de:
2π
[p!] ⌠ f(u,t)
r.p! ⌠ f(zo+r.eiθ,t) iθ
δpf
.
.
.e .dθ.
∀z∈ D(zo,r) , ∀pp t ∈E, p(z,t) =
p+1.du =
2iπ ⌡(u-z)
2π ⌡(zo+r.eiθ-z)p+1
δz
γzo,r
0
On aboutira de la même manière (par passage aux sommes de Riemann, et retour par le même chemin)
à la conclusion suivante pour z ∈ D(zo,r):
p
δpf
⌠ δ fp(z,t).dµ(t) = p! .
p(z,.) est intégrable sur E et
2iπ
δz
⌡δz
Finalement, on peut conclure: ∀z∈ Ω :
vu (p)
⌠ F(u)p+1.du ==
F (z).
(u-z)
⌡
γzo,r
p
δf
⌠ δ fp(z,t).dµ(t) = F(p)(z).
p(z,.) est intégrable sur E, et
δz
⌡δz
p
e) Remarques:
Pour utiliser les théorèmes précédents dans le cadre de l'intégrale de Riemann ou de Riemann généralisée sur R
ou un intervalle de R, on invoquera les résultats du paragraphe 6.
L'application des mêmes théorèmes avec (E,T,µ) = ( N, P(N), δN ) fournit des résultat concernant les séries de
fonctions déjà conséquences du théorème de la double limite pour ce qui est des trois premières, et du théorème
de Weierstrass pour ce qui est de la dernière (avec des hypothèses de convergences normales au lieu de celles,
suffisantes, de convergences uniforme).
17
Exercices.
1) Etude de f: x →
π/2
x
⌠
⌡sin t.dt.
0
Définition: ∀x: t → sinxt est Co sur ]0,π/2], équivalente à tx > 0 qd t → 0 donc F est définie sur ]-1,+∞[ .
Continuité: (x,t) → sinxt est Co sur ]-1,+∞[×]0,π/2[ et vérifie sur [a,+∞[×]0,π/2] pour a > -1 la condition de
domination: sinxt ≤ sinat , fonction intégrable sur ]0,π/2], donc F est continue sur ]-1,+∞[ .
Régularité: (x,t) → sinxt est C∞ sur ]-1,+∞[×]0,π/2] ;
∀p ≥1 , ∀a > -1, ∀(x,t) ∈ [a,+∞[×]0,π/2]: (-ln sin t)p.sinxt ≤ (-ln sin t)p.sinat ~ (-ln t)p.ta << ta-ε où ε, choisi tel
o
o
que a-ε > -1, garantit l'intégrabilité de t → ta-ε; donc F est C∞ sur ]-1,+∞[ et on a l'expression des dérivées.
Limite en -1: la fonction limite a une intégrale divergente (vers + ∞); écrivons:
π/2
π/2
π/2
x
x
⌠ dt
lim ⌠
∀x>-1, ∀α∈]0,π/2]: F(x)≥ ⌠
⌡sin t.dt; x→-1
⌡sin t.dt = ⌡sin t (thm de cont.); soit A> 0: ∃α ∈]0,π/2],
α
α
α
π/2
π/2
x
⌠ dt ≥ A+1; alors ∃ β > 0, -1 < x < -1+β ⇒ F(x) ≥ ⌠
⌡sin t.dt ≥ A; c/c : limite +∞ en -1.
⌡sin t
α
α
Equivalent en -1: la limite est +∞; il s'agit de chercher le (ou les) "morceaux d'intégrale qui domine(nt) par
rapport au reste; prenons x dans ]-1,0[: ex.ln sin t décroît de +∞ à 1 qd t décrit ]0,π/2]; il est donc naturel d'espérer
que la partie dominante de l'intégrale se trouve concentrée en la borne 0; on exploite ceci grâce à un équivalent
simple (intégrable) de la fonction en 0:
α
(1+ε)x.αx+1
(1-ε)x.αx+1
⌠
(∀x ∈ ]-1,0[ ).
sinxt.dt ≤
≤⌡
• ∀ε> 0, ∃α, 0< t ≤ α ⇒ (1-ε).t ≤ sin t ≤ (1+ε).t ⇒ ...
x+1
x+1
0
1 1
1 1
Les termes encadrant sont respt équivalents en -1 à
.
et
.
:
1+ε x+1 1-ε x+1
α
1-ε '/2 1
1+ε '/2 1
Soit ε ' > 0: ∃ V ∈ V(-1) , x ∈ V ⇒
.
.
.
sinxt.dt ≤
≤ ⌠
1+ε x+1 ⌡
1-ε x+1
0
1-ε '/2 1+ε '/2
et
• On choisit ε tq: 1- ε ' ≤
≤ 1+ε '; on aura alors (le α correspondant) et :
1+ε
1-ε
α
1-ε '
1+ε '
x∈ V ⇒
; (ne pas écrire d'équivalent à ce stade: α dépend de ε, donc de ε').
≤ ⌠sinxt.dt ≤
x+1 ⌡
x+1
0
π/2
π/2
dt
1
x
(thm de continuité), donc <<
:
• Second morceau (α est fixé) : lim ⌡
⌠sin t.dt = ⌠
x+1
⌡sin t
x→-1
α
α
π/2
-ε '
ε'
1
x
~
.
∃ W ∈ V(1), x ∈ W ⇒
≤ ⌠
⌡sin t.dt ≤ x+1 ; pour x ∈ V∩W, additionner: F(x) -1
x+1
x+1
α
Limite en +∞ : 0 ≤ sinxt ≤1 pour t ∈ ]0,π/2 et x > 0; vu que
lim sinxt = 0 ∀pp t , le théorème de pasage à la
x→ +∞
limite s'applique: la limite en +∞ est 0.
18
Equivalent en +∞: la limite est 0; l'idée est la même que pour l'équivalent en -1; pour x dans ]1,+∞[ , ex.ln sin t
croît de 0 à 1 qd t décrit [0,π/2]; la partie dominante de l'intégrale se trouve sans doute concentrée en la borne
π/2; on commence, pour simplifier la suite, à se ramener à une intégrale qui domine en la borne 0:
π/2
2
F(x) = ⌠
⌡cosxt.dt. On utilisera ln cos t ~o - t /2 :
0
t2
t2
• ∀ε∈]0,1[, ∃α ∈ ]0,π/2[, 0 ≤ t ≤ α ⇒ - .(1+ε) ≤ ln cos t ≤ - .(1-ε) ; puis: ∀ x > 0 :
2
2
α
α
α
⌠
⌡e -x.t².(1+ε)/2.dt ≤ ⌠cosxt.dt ≤ ⌠
⌡e -x.t².(1-ε)/2.dt , soit donc:
⌡
0
0
0
α. x.(1+ε)/2
α. x.(1-ε)/2
α
1
1
-u²
x
⌠ e .du ≤ ⌡
⌠cos t.dt ≤
⌠ e-u².du .
.
.
⌡
⌡
x.(1+ε)/2
x.(1-ε)/2
0
0
0
1
1
π
π
Les termes encadrant sont équivalents à
.
et
.
qd x → +∞:
2x
2x
1+ε
1-ε
α
1- ε '/2
1+ε '/2
π
π
⌠cosxt.dt ≤
Soit ε ' ∈ ]0,1[ : ∃ A, x > A ⇒
;
.
.
≤ ⌡
2x
2x
1+ε
1-ε
0
1- ε '/2
1+ε '/2
et
• On impose à ε de vérifier: 1-ε ' ≤
≤ 1+ε ' (possible), d'où:
1+ε
1-ε
α
π
π
(1);
x > A ⇒ (1-ε ' ).
≤ ⌠cosxt.dt ≤ (1+ε ' ).
2x ⌡
2x
0
π/2
•
Second morceau:
π
) donc:
2x
⌠
⌡cosxt.dt ≤ (π/2).cosxα = ox→+∞(
α
∃B>A,x>B⇒
π
≤
2x
-ε '.
π/2
π
(2);
2x
⌠
⌡cosxt.dt ≤ ε ' .
α
Additionnant (1) et (2), on obtient:
π/2
π
x > B ⇒ (1-2ε ' ).
≤ ⌠
⌡cosxt.dt ≤ (1+2ε ' ).
2x
0
π
: F(x) ~
2x
+∞
∞
π
.
2x
2) Fonctions Gamma et Dzeta dans le domaine complexe:
(voir "Fonctions d'une variable complexe" pour les démonstrations)
1
+∞
a) f : z → ⌡
⌠tz-1.e-t.dt est holomorphe sur {Re z > 0} et g : z →
0
⌠tz-1.e-t.dt est entière.
⌡
1
+∞
~
(-1)n 1
b) f : z → ∑ n! .z+n est le prolongement holomorphe de f sur C\Z
n=0
-
.
~
~
~
c) Γ = g + f est le prolongement analytique de Γ sur C \Z -. Pôles de Γ.
d) Expression de 1/Γ sous forme de produit infini, et prolongement analytique de 1/Γ sur C.
+∞
uz-1
+∞
uz-1
1
uz-1
e) Pour Re z > 1: Γ(z).ζ(z) = ⌠eu-1.du. z → ⌠eu-1.du est entière, et ψ : z → ⌠eu-1.du est holomorphe sur {Re z >1}.
⌡
⌡
⌡
0
1
0
~
g) Prolongement holomorphe ψ de ψ sur Ω = C -{1,0,-1,-2,…}.
h) Prolongement holomorphe de ζ sur C-{1}; pôles.
19
B) LES ESPACES Lp(E), 1 ≤ p ≤ +∞
∞:
(E, T, µ) désigne un espace mesuré et p un réel ≥1.
1) Espaces Lp , 1 ≤ p < +∞
∞:
p
On pose : L p(E ;T ;µ ;C) = {f : E → C mesurable, ⌠
∞ }, en abrégé L p(E) s’il n’y a pas de confusion
⌡| f | < +∞
possible.
p 1/p
p
Pour f mesurable de E dans C, on note : || f ||p = ⌠
⌡| f |  , valeur finie si et seulement si f est dans L (E).

E


Inégalité de Hölder : soit p ∈ ]1,+∞[ , et q ∈ ]1, +∞[ son conjugué (défini par l’égalité 1/p + 1/q = 1);
Quelles que soient f et g mesurables de E dans C, on a: || f.g ||1 ≤ || f ||p.|| g ||q.
En conséquence: si f ∈L p(E) et g ∈L q(E) , alors f.g ∈ L 1(E).
Démo : si || f ||p ou || g ||q est infini, le résultat est démontré. On se place donc dans le cas où f et g sont
1
1
respectivement dans L p(E) et g ∈L q(E) . La concavité de la fonction ln fournit ab ≤ .ap + .bq pour
p
q
1
p 1
q
tous réels a et b positifs; en l’appliquant à a = |f(x)| et b = |g(x)|, on déduit: ||f.g||1 ≤ .|| f ||p + .|| g ||q ;
p
q
remplaçant f par λ.f dans cette inégalité (avec λ > 0), puis en choisissant λ de façon à minimiser le
q-1
-1
majorant obtenu, on obtiendra le résultat (prendre λ = || g ||q .|| f ||p , après avoir exclu le cas f = 0 pp).
Remarque : l’inégalité de Hölder est une égalité si et seulement si f p et g q sont presque partout liées
(remonter à l’«égalité» de convexité).
Inégalité de Minkowski : ∀ p ∈ [1,+∞[, ∀f, g mesurables de E dans C : ||f+g||p ≤ || f ||p + || g ||p .
En conséquence, si f, g ∈ L p(E) : f+g ∈ L p(E).
Démo: dans le cas p > 1, appliquer l’inégalité de Hölder à |f+g|p ≤ |f+g|p-1.| f | + |f+g|p-1.| g | ).
Moyennant une dernière vérification immédiate, il est maintenant clair que L p(E) est un espace vectoriel seminormé par || . ||p ; d’autre part: || f ||p = 0 ⇔ f = 0 pp ; on définit alors l’espace quotient de L p(E) par l’égalité
.
.
presque partout, que l’on note Lp(E) ; pour f ∈ Lp(E), l’égalité || f ||p = || f ||p a bien un sens et définit une
norme sur cet espace quotient.
Théorème: ( Lp(E) , || . ||p ) est un espace vectoriel normé complet.
En particulier, L2(E) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire (f,g) → ⌠
⌡ f .g .
E
Démo : On vérifie que toute série absolument convergente de l'espace est convergente: soit (fn) une
.
+∞
suite de L p(E) telle que ∑ ||fn||p = ∑ ||fn||p < +∞ ; on note g : x → g(x) = ∑ |fn(x)| (élément de L+(E)).
n=0
Le théorème de convergence croissante fournit:
n
n
n
n
p
p<+∞
p ⌠
p= lim || ∑
∑
p= lim⌠ ∑
∑
p=  +∞
|f
|f
|f
||f
g
=
lim
|
|
|
||
lim
||
||
||f
∑
↑
≤
⌠

n
k
k
k
k
p
n
p








⌡ ⌡
p
k=0 
k=0  n=0 
k=0
⌡k=0 
Par suite (reprise de la démonstration de la règle générale des séries):
! g est (mesurable) pp finie et gp est intégrable;
!
!
+∞
Il existe f mesurable de E dans C telle que : ∀ pp x ∈ E: f(x) = ∑ fn (x) (la série converge sauf
n=0
sur un ensemble mesurable et négligeable).
∀ pp x ∈ E: |f(x)|p ≤ g(x)p (convergence absolue), donc f ∈ L p(E).
20
Utilisons maintenant le théorème de convergence dominée:
n
! ( | f - ∑ fk |p ) converge simplement presque partout vers 0.
k=0
n
+∞
! ∀ pp x ∈ E: |f(x) - ∑ fk(x)|p = | ∑ fk(x) |p ≤ gp(x) avec gp intégrable.
k=0
k=n+1
. +∞ .
n
p
Il en résulte: lim || f - ∑ fk ||p = 0, ce qui indique que f = ∑ fn dans Lp(E).
n=0
n→ +∞
k=0
+∞
+∞
n
Remarque: il serait hâtif de conclure par: || f - ∑ fk ||p = || ∑ fk ||p ≤
∑ || fk||p → 0 ; en
k=n+1
k=n+1
k=0
n→ +∞
+∞
m
effet, ∑ fk n'y désigne pas lim
∑ fk au sens de la norme || . ||p dans Lp , mais la fonction
k=n+1
m→ +∞ k=n+1
+∞
définie presque partout x → ∑ fk(x) (série numérique convergente); l'inégalité ≤ n'est donc pas
k=n+1
justifiée a priori.
Si µ(E) est fini, on a les inclusions Lp(E) ⊂ Lq(E) ⊂ L1(E) pour p ≥ q ≥ 1 (immédiat). Dans le cas général, c'est
sin t
évidemment faux (par exemple, t →
est dans L2(R ) , mais n'est pas dans L1(R ) ).
t
Notation usuelle pour une mesure de dénombrement (inutile de quotienter dans ce cas):
Soit I un ensemble (d’indices) ; l’espace Lp(I ;P(I) ;δI ;C ) = Lp(I ;P(I) ;δI ;C) sera noté lp(I) :
lp(I) est l’espace des familles de complexes indéxées par I, de puissance p-ème sommable.
1/p
∀ p ∈ [1,+∞[ , lp(I) est complet pour la norme || (xi)i∈I ||p =  ∑ |xi|p .
i∈I 
Pour ne pas alourdir les notations et les raisonnements, on confond dans la pratique, s'il n'y a pas d'ambiguité
possible, une classe de fonctions avec un de ses représentants. De même, une fonction f définie, finie et
mesurable sur un ensemble mesurable* de complémentaire négligeable définit une unique classe de fonctions
mesurables modulo l'égalité presque partout (la classe de sa prolongée par 0 par exemple), que l'on note encore f.
On s'autorise donc à travailler avec des fonctions définies presque partout.
(*: automatique si l'espace mesuré est complet).
2) Sous-espaces denses dans Lp(E), 1 ≤ p < +∞
∞:
n
Une fonction étagée g de E dans C peut s'écrire sous la forme g = ∑ λk.1Ak , où n ∈ N*, λ1,…,λn ∈ C* et où
k=1
A1,…,An sont des parties mesurables deux à deux disjointes de E. Alors g est dans Lp(E) si et seulement si le
n
p
nombre || g ||p = ∑ |λk|p.µ(Ak) est fini , c'est à dire si et seulement si les µ(Ak) sont finis; cette condition ne
k=1
dépend pas de p. Ainsi, l'espace des fonctions étagées intégrables est inclus dans tous les espaces Lp(E).
Thm : L'espace des fonctions étagées intégrables de E dans C est dense dans Lp(E) (1 ≤ p < +∞
∞).
Démo : soit à approcher f ∈ Lp(E) par une suite de fonctions étagées intégrables; on se ramène au cas où
f est réelle positive par les méthodes usuelles ; on sait qu’il existe une suite (fn) de fonctions étagées
telle que fn↑f, et donc (de puissances p-èmes) intégrables ; alors (f-fn) ↓ 0 , d’où (f-fn)p ↓ 0 ; les
intégrales de ces fonctions étant finies, il en résulte (avec le théorème de convergence décroissante):
lim ||f - fn||p=0 , d’où le résultat.
n→ +∞
21
Dans le cadre de la mesure de Lebesgue, on a un résultat plus précis et très pratique :
Thm : Soit Ω un ouvert de Rd : la famille (1P)P pavé ⊂ Ω est totale dans Lp(Ω
Ω).
Démo : on désigne par λ la mesure de Lebesgue sur Ω.
Soient d'abord A ⊂ Ω, mesurable de mesure finie et ε > 0 ; en revenant à la définition de λ par la notion
de mesure extérieure, on voit qu’il existe une suite (Pn) de pavés de Ω telle que :
+∞
+∞
A ⊂ ∪ Pn et ∑ λ(Pn) ≤ λ(A) + ε .
n=0
n=0
+∞
n
+∞
+∞
Choisissons n tel que ∑ λ(Pk) ≤ ε et notons B = ∪ Pn , C = ∪ Pk , D = ∪ Pk , de sorte que l'on a:
n=0
k=0
k=n+1
k=n+1
A, C, D ⊂ B , B-C ⊂ D et λ(D) ≤ ε
Il vient : |1A – 1C| = 1A∆C , avec : A∆C = (A-C)∪(C-A) ⊂ (B-C)∪(B-A) , et :
+∞
B-C ⊂ D donc λ(B-C) ≤ ε ; λ(B-A) = λ(B) - λ(A) ≤ ∑ λ(Pn) - λ(A) ≤ ε, donc λ(A∆C) ≤ 2ε.
n=0
p
Alors ||1A-1C||p = λ(A∆C) ≤ 2ε . C est une réunion finie de pavés, et peut s’écrire comme réunion finie
m
m
de pavés disjoints ∑ Qk , de sorte que 1C = ∑ 1Qk ∈ Vect {1P , P pavé ⊂ Ω}.
k=0
k=0
Soient maintenant f ∈ Lp(E) et ε > 0; d'après le théorème précédent, il existe un entier naturel n ≥1, n
complexes non nuls λ1,…,λn et n parties mesurables de mesures finies A1,…,An de Ω telles que l'on ait,
n
posant g = ∑ λk.1Ak : ||f - g||p ≤ ε . D'après la première partie de la démonstration, nous sommes en
k=1
ε
mesure de définir pour chaque k un élément hk de Vect {1P , P pavé ⊂ Ω} tel que: ||1Ak-hk||p ≤
;
n.|λk|
n
alors posant h = ∑ λk.hk ∈ Vect {1P , P pavé ⊂ Ω}, on obtient:
k=1
n
||f - h||p ≤ ||f - g||p + ||g - h||p ≤ ε + ∑ |λk|.||1Ak-hk||p ≤ 2ε.
k=1
Le résultat annoncé est bien démontré.
Soit toujours Ω un ouvert de Rd ; on note
∞
(Ω
Cc(Ω
Ω) = { f : Ω → C , continue à support compact}; C∞
Ω) = { f : Ω→ C, de classe C∞ à support compact}.
c
On obtient en corollaire du théorème précédent:
∞
(Ω
Thm : C∞
Ω) est dense dans Lp(Ω
Ω) (et a fortiori Cc(Ω
Ω) est dense dans Lp(Ω
Ω)) ( 1 ≤ p < +∞
∞).
c
Démo : grâce au théorème précédent (et à une technique déjà détaillée), il suffit d’approcher toute
fonction 1P où P est un pavé inclus dans Ω ; soit donc P = ∏(ak,bk) et ε > 0 ; il est clair que l’on peut
choisir ak"< ak < ak' < bk' < bk < bk" tels que les pavés P' = ∏ (ak',bk') et P" = ∏ (ak", bk") vérifient
l'inégalité λ(P"-P') ≤ ε ; on construit ensuite pour chaque k une fonction gk de classe C∞ valant 1 sur
[ak',bk'], 0 hors de [ak",bk"], et comprise entre 0 et 1 (facile); alors g = ⊗gk est C∞ à support compact, et
p
par construction, g et 1P sont entre 1P' et 1P", donc |g-1P| ≤ |1P" -1P'| = 1P"-P' ; ||g-1P||p ≤ ε, ce qui prouve
le résultat.
Dans le cas de Ω = Rd, on définit l'espace (dit de Schwarz) des fonctions à décroissance rapide:
lim xα.Dβ f(x) = 0 }.
S(Rd) = {f : Rd→ C, C∞ , ∀α, β ∈ Nd,
||x|| → +∞
∞
∞
On vérifie facilement que S(Rd) est une algèbre multiplicative incluse dans Lp(Rd); de Cc (Rd) ⊂ S(Rd), on tire:
Thm : S(Rd) est dense dans Lp(Rd) ( 1 ≤ p < +∞
∞).
22
Exercice: L'opérateur de Hardy:
x
1
f(t)dt.
I = ]0,+∞[ ; p ∈ ]1,+∞[ ; q est le conjugué de p; f ∈ L (I) ; F: x → .⌠
x⌡
0
a) Montrer que F est définie et continue sur I.
x
x-1-αp
p
b) Soit 0 < α < 1/q ; montrer que ∀ x > 0: |F(x)| ≤
.⌠|f(t)|p.tαp.dt.
(1-αq)p/q ⌡
0
c) En déduire que F ∈ Lp(I) et que T : f → F est linéaire continue de norme ≤ q.
d) Prouver que ||T|| = q en considérant fn(t) = t-1/p.1[1,n](t)
1
f(t)dt a un sens.
a) Soit x > 0: f ∈ Lp et 1]0,x[ ∈ Lq , donc d'après Hölder: f.1]0,x[ ∈ L1 et F(x) = . ⌠
x ⌡
]0,x[
p
La continuité de F équivaut à celle de x →
⌠f(t)dt, et celle-ci est conséquence immédiate de:
⌡
]0,x[
∀x,y ∈ I :
1/q
⌠f(t)dt - ⌠
⌡
⌡f(t)dt = ⌠
⌡f(t).1]x,y[(t)dt ≤ || f ||p.|x-y| par Hölder.
]0,x[
]0,y[
I
x
1
|f(t)|.tα.t-α.dt ; t → |f(t)|.tα est dans Lp(]0,x[) et t → t-α est dans Lq(]0,x[, donc
b) Pour x > 0: |F(x)| ≤ .⌡
x⌠
0
x
x
 x
p/q

1 
x-1-αp 
p
p αp  
-αq

(Hölder): |F(x)| ≤ p. ⌡
|f(t)|
t
|f(t)|p.tαpdt.
.t
dt
.
.dt
=
.
⌠
⌠
⌠
p/q ⌡
⌡
x 
(1-αq) 



0
 0

0

c)
Par Tonelli (admis), on a dans [0,+∞]:
+∞
+∞
x
+∞
x

⌠+∞ -1-αp 
⌠ -1-αp
1
αp
p/q
p
p αp
p






(1-αq) . ⌠
⌡x .|f(t)| .t .dtdx =.  ⌠
⌡x .dx|f(t)|.t .dt = αp ⌠
⌡|F(x)| dx ≤ ⌠
⌡|f(t)| .dt < +∞.

0
0

⌡ t
⌡ 0
0
0
1
Ainsi F est bien dans Lp(I), et ||F||p ≤
.|| f ||p : T est (linéaire) continu et
(αp)1/p.(1-αq)1/q
1
|| T || ≤
avec ϕ(α) = (αp)1/p.(1-αq)1/q.
ϕ(α)
L'étude de ϕ ou de ln ϕ (ou encore l'utilisation d'une inégalité de convexité), on obtiendra facilement:
1
1
1
max ϕ(α) = ϕ(
) = ; en prenant α =
, on déduit: || T || ≤ q.
pq
q
pq
α∈]0,1/q[
d) L'inégalité de Hölder a été écrite avec t → |f(t)|.t1/pq ∈ Lp et t → t-1/pq ∈ Lq; on sait que l'on obtient une
égalité si et seulement si t → |f(t)|p.t1/q et t → t-1/p sont presque partout liées; ceci incite à proposer la fonction
f : t → t-1/p , qui n'est malheureusement pas dans Lp(I); on considère alors la suite (fn) de fonctions de Lp(I)
définie par: fn(t) = t-1/p.1[1,n](t): pour chaque n ≥1, on a:
x
x
p
1 -1/p
1 -1/p
q
t .1[1,n](t)dt = .⌠
t dt = .( x1/q - 1); il suit:
||fn||p = ln n ; pour x ∈ [1,n]: Tfn(x) = .⌠
x⌡
x⌡
x
0
1
n
n
n
qp 1/q
qp
p
p
p
⌠
⌠
|Tf
||Tfn||p ≥ ⌠
x|
dx
=
(
x
1)
.dx
~
.dx = qp.ln n.
p
n
⌡
n→∞ ⌡ x
⌡x
1
1
1
||Tfn||p
||Tfn||p
Par suite:
≥ an , avec lim an = q ; de l'inégalité ||T|| ≥
≥ an , on tire alors, par passage à la
||fn||p
||fn||p
n→ +∞
limite dans les termes encadrants: ||T|| ≥ q, et finalement: ||T|| = q.
23
3) L’espace L∞(E) :
On pose : L ∞(E ;T ;µ ;C ) = {f : E → C mesurable, ∃M∈R, ∀ppx, |f(x)| ≤ M}, en abrégé L ∞(E) , et
pour f ∈L ∞(E) : || f ||∞ ess = Inf {M ≥ 0 , ∀pp x ∈ E, |f(x)| ≤ M}.
Les éléments de L ∞(E ) sont les fonctions essentiellement bornées de E dans C .
L ∞(E ) est un espace vectoriel sur C (évident).
Propriétés :
a) ∀f ∈L ∞(E), ∀pp x ∈ E: |f(x)| ≤ || f ||∞ ess .
( écrire { | f | > || f ||∞ ess } = ∪ { | f | > || f ||∞ ess + 1/n } ).
n
b) ∀f ∈ L ∞(E): || f ||∞ ess = 0 ⇔ f = 0 pp. (conséquence immédiate de a)).
c)
Si f ∈ L ∞(E) et g ∈ L 1(E), alors f.g ∈ L 1(E) et ||f.g||1 ≤ || f ||∞ ess.|| g ||1 : ce résultat étend l’inégalité
de Hölder au cas p ∈ [1,+∞].
d) || . ||∞ ess est une semi-norme sur L ∞(E) .
En quotientant L ∞(E) par l’égalité presque partout, on obtient l’espace vectoriel normé ( L∞(E) , || . ||∞ ),
.
.
où l'on a posé, pour f ∈ L∞(E): || f ||∞ ess = || f ||∞ ess (indépendant du représentant de la classe).
Remarques :
1) Si f : E → C est une fonction mesurable et bornée, alors f ∈ L ∞(E), et || f ||∞ ess ≤ || f ||∞ (par
définition de || f ||∞ ess), mais l'inégalité peut être stricte: si E contient un ensemble mesurable et
négligeable non vide A, alors ||1A||∞ ess = 0 mais ||1A||∞ = 1.
2) L'espace Cb(Rd) des fonctions continues et bornées de Rd dans C est inclus dans L ∞(Rd), et, dans
Cb(Rd), les normes || . ||∞ ess et || . ||∞ coïncident.
(soit f ∈ Cb(Rd): on a déjà: ∀x ∈E, |f(x)| ≤ || f ||∞ ; si maintenant ∀pp x, |f(x)| ≤ M, alors l'inégalité
est valable pour tout x, car l'existence d'un x tel que |f(x)| > M entrainerait par continuité celle d'un
pavé P centré en x et de mesure non nulle sur lequel on aurait encore | f | > M, ce qui contredirait
l'hypothèse; par suite on a || f ||∞ ≤ M. Ainsi || f ||∞ = || f ||∞ ess par définition de ce dernier.
3) Si f1, …, fn, …, f ∈ L ∞(E), dire que (fn) converge vers f au sens de la norme || . ||∞ ess équivaut à dire
qu'il existe un ensemble A de complémentaire négligeable sur lequel (fn) cvu vers f .
+∞
( Si lim ||fn-f ||∞ ess = 0 ; alors A = ∩ { x, |fn(x)-f(x)| ≤ ||fn-f ||∞ ess } est de complémentaire
n→ +∞
n=0
négligeable, et (fn) cvu vers f sur A. Réciproquement , si (fn) cvu vers f sur A de complémentaire
négligeable, fixons ε > 0: ∃ N, n ≥N ⇒ ∀x ∈ A, |fn(x)-f(x)| ≤ ε ; donc pour n ≥N, on a |fn-f |(x) ≤ ε
pour presque tout x, d'où (par définition): ||fn - f||∞ ess ≤ ε ; ainsi, lim ||fn - f ||∞ ess = 0 ).
n→ +∞
4) Tout élément de L∞(E) admet un représentant g borné et pour lequel on a || g ||∞ ess = || g ||∞.
( Soit f ∈ L ∞(E); A = {x, |f(x)| ≤ || f ||∞ ess} est mesurable, de complémentaire négligeable; soit g
égale à f sur A et nulle sur E/A: g est mesurable, et pp-égale à f ; on a donc
|| f ||∞ ess = || g ||∞ ess ≤ || g ||∞ ≤ || f ||∞ ess
la première inégalité vient du fait que g est bornée, et la seconde du fait que ∀x, |g(x)| ≤ || f ||∞ ess ,
ce qui fournit le résultat).
Théorème: ( L∞(E) , || . ||∞ ess) est complet.
24
.
+∞ .
+∞
Démo: soit (fn) une suite de L∞(E) telle que ∑ ||fn||∞ ess = ∑ ||fn ||∞ ess < +∞ ; on a vu que l'on peut
n=0
n=0
+∞
supposer les fn bornées, avec ||fn||∞,ess = ||fn||∞ . Alors ∑fn converge absolument sur E. Notant f = ∑ fn ,
n=0
.
.
.
on vérifie ensuite facilement que f ∈ L∞(E) (f est même bornée), puis que ∑ fn converge, de somme f
dans ( L∞(E) , || . ||∞ ess ).
Notation usuelle pour une mesure de dénombrement (inutile de quotienter dans ce cas).
Si I est un ensemble d’indice, alors L∞(I ;P(I) ;δI ;C ) = L∞(I ;P(I) ;δI ;C) est noté l∞(I) : c’est
l’ensemble des familles de complexes (xi)i∈I bornées ; ||(xi)i∈I|| = Sup |xi| ici .
Thm : L'espace des fonctions étagées de E dans C est dense dans L∞(E).
.
Démo: les fonctions étagées étant mesurables et bornées, sont dans L∞(E); de plus, si f ∈ L∞(E), on a vu
que l'on peut supposer f mesurable et bornée; on sait que f est limite uniforme d'une suite de fonctions
étagées, ce qui permet de conclure.
Dans le cas de Rd muni de la mesure de Lebesgue λ(d), on a les inclusions suivantes:
∞
(Rd) ⊂
C∞
c
Cc(Rd)
⊂ Co(Rd) ⊂ Cb(Rd) ⊂ L∞(Rd),
S(Rd)
où Co(Rd) désigne l'espace des fonctions continues de E dans C qui tendent vers 0 à l'infini.
Thm : 1) Co(Rd) est fermé (et donc complet) dans L∞(Rd).
∞
2) C (Rd) est dense dans (Co(Rd), || . ||∞ ) (donc Cc et S aussi).
c
Démo:
1) On sait que (Cb(Rd), || .||∞ ) est complet; il reste à constater que Co est fermé dans ce dernier espace:
soit (fn) une suite de Co convergeant uniformément vers f ( ∈ Cb), et ε > 0: ∃ n, ||f - fn||∞ ≤ ε , et ∃K
compact tel que l'on ait, hors de K: |fn(x)| ≤ ε ; alors: x ∉ K ⇒ |f(x)| ≤ ||f-fn||∞ + |fn(x)| ≤ 2ε.
2) Ce résultat peut être prouvé grâce à un procédé de convolution et de régularisation (voir l'exercice
qui suit).
25
Exercice: Convolution et régularisation des fonctions continues.
Les intégrales intervenant ici sont des intégrales de Riemann.
+∞
1) Soient f∈C(R) et ϕ∈Cc(R); alors f*ϕ : x → ⌠
⌡f(x-t)ϕ(t)dt est définie sur R, au moins aussi régulière que ϕ. Si
-∞
f est à support compact, alors f*ϕ est aussi à support compact.
α
Soit α > 0 tel que Supp ϕ ⊂ [-α,α] ; (f*ϕ)(x) = ⌠
⌡f(x-t)ϕ(t)dt est bien défini pour tout réel x, et f*ϕ est continue,
-α
puisque (x,t) → f(x-t)ϕ(t) l'est.
+∞
+∞
a+α
Soit maintenant a > 0; pour x ∈ ]-a,a[ , on a: (f*ϕ)(x) = ⌠
⌡f(x-t)ϕ(t)dt = ⌠
⌡f(t)ϕ(x-t)dt = ⌠
⌡f(t)ϕ(x-t)dt.
-∞
-∞
-a-α
Si ϕ est de classe Cp (1 ≤ p ≤ +∞), il en est de même de la fonction intégrée en la variable x, et la restriction de
f*ϕ à ]-a,a[ est donc de classe Cp , avec de plus: ∀ k ≤ p : (f*ϕ)(k) = f* ϕ(k) .
Ce résultat, qui vaut pour tout a > 0, est finalement vrai sur Rd.
Enfin, si Supp f ⊂ [-β,β], il est clair que Supp (f*ϕ) ⊂ [-α-β,α+β].
n
-1
).1 (x) , et ϕn(x) = .ϕ(nx), où a =
2) Soit ϕ : x → ϕ(x) = exp (
a
1-x2 ]-1,1[
+∞
⌠
⌡ϕ(t)dt. Les applications ϕn sont de
-∞
classe C∞ sur R , positives, d'intégrales égales à 1, et on a, pour tout entier n: Supp ϕn ⊂ [-1/n , 1/n].
Les vérificationssont immédiates.
3) Soit f ∈ C(R) ; la suite (fn) = (f*ϕn) converge simplement sur R vers f, et la convergence est uniforme sur
tout intervalle où f est uniformément continue.
1/n
Commençons par écrire, pour x ∈R et n ∈N : |(f*ϕn)(x)-f(x)| = … ≤ ⌡
⌠|f(x-t)-f(t)|ϕn(t)dt .
-1/n
Soit I = (a,b) où f est uniformément continue; f est alors uniformément continue sur J = (a-1,b+1) (distinguer
suivant que a et/ou b est fini ou infini).
Soit ε > 0 ; ∃λ∈ ]0,1[ tel que: ∀u,v ∈ J, |u-v|≤λ ⇒ |f(u)-f(v)| ≤ ε.; pour N ≥ 1/λ , n ≥N et x ∈ I, il vient:
|(f*ϕn)(x)-f(x)| ≤ ε , et on peut conclure.
Remarques:
Le résultat vaut pour toute suite (ϕn) de fonctions continues (par morceaux) à support compact, positives,
d'intégrales égales à 1, dont la suite des supports décroit vers {0}.
L'idée de la convolution provient d'ailleurs de la remarque suivante: si f ∈ C(R) et si F désigne une primitive de f
n
, alors la suite (fn : x → .[F(x+1/n) - F(x-1/n)] ) converge vers f sur R (se ramener à f réelle et utiliser l'égalité
2
des accroissements finis); or on peut écrire, pour n ≥1 et x ∈ R :
n
fn(x) = .
2
+∞
x+1/n
1/n
n
n
⌠f(x-t).ϕn(t)dt avec ϕn= 2.1[-1/n,1/n].
⌠
⌡f(u)du = 2. ⌠
⌡f(x-t)dt = ⌡
x-1/n
-1/n
-∞
26
4) Conséquences:
a) Toute fonction continue de R dans C est limite simple, et uniforme sur tout intervalle où elle est u.c. d'une
suite de fonctions de classe C∞.
b) Si I est un intervalle de R : tout fonction f uniformément continue sur I est limite uniforme sur I d'une suite
de fonctions C∞ .
∞
c) C (R) est dense dans Co(R ) pour la norme uniforme.
c
a) C'est vu.
b) Commencer par prolonger f en une fonction uniformément continue sur R : si I a une borne finie, f a une
limite en cette borne (théorème de prolongement); on prolonge du côté désigné par cette constante; utiliser
le résultat précédent et restreindre. Si I est un segment de R, le résultat annoncé est aussi conséquence du
théorème de Weierstrass; le procédé de convolution apporte toutefois un résultat supplémentaire lorsque f
est de classe Cp (p≥1): les suites (fn(k) convergent uniformément vers f(k) pour k≤p .
c) Une fonction f de Co peut être approchée uniformément à ε près arbitraire par une fonction g ∈ Cc , puis g
∞
peut être approchée uniformément par la suite (g*ϕn) de fonctions de Cc .
(pour construire g: soit I = [-a,a] hors duquel on a | f | ≤ ε , et h continue à support compact, à valeurs dans
[0,1] et valant 1 sur I ; on prendra g = f.h).
∞
5) C (Rd) est dense dans Co(Rd) pour la norme uniforme.
c
Les définitions et résultats précédents s'étendent sans peine dans le cadre des fonctions démarrant non plus de R,
mais de Rd; les intégrales qui interviennent sont des intégrales (de Riemann) multiples sur des pavés de Rd :
• Pour 1): remplacer [-α,α] par [-α,α]d et ]-a,a[ par ]-a,a[d . Si ϕ est de classe Cp, alors pour tout α ∈ Nd tel
que 0 ≤ |α| ≤ p, on aura: Dα(f*ϕ) = f* Dαϕ .
+∞
-1
n
).1 (x), poser ϕn,k(x) = .ϕ(nx), où a = ⌠
• Pour 2): on peut conserver ϕ(x) = exp (
⌡ϕ(t)dt, puis
1-x2 ]-1,1[
a
-∞
-1 
nd
ϕn(x1,…,xd) = ϕn,1(nx1)…ϕn,d(nxd) , ou poser directement ϕn(x) = .ϕ(nx) avec ϕ(x) = exp
a
1-||x||2.1B(O,1)(x),
∞
où || . || désigne la norme euclidienne dans Rd , et a = ⌠
⌡ϕ(t)dt : le caractère C de ϕ est alors obtenu par
Rd
composition).
•
Pour 3) et 4): mêmes démonstrations (remplacer les intervalles par des pavés).
6) Une remarque sur le théorème de Weierstrass (d = 1):
Nous avons vu en [3] que si (ϕn) est une suite de fonctions continues positives à supports compacts décroissant
vers {0}, et d'intégrales égales à 1, et si f ∈ C(R,C) la suite (f*ϕn) converge uniformément sur tout compact de R
vers f.
On peut se demander si, en choisissant bien les ϕn , on pourrait par cette méthode retrouver le théorème de
Weierstrass. Il n'en est malheureusement rien, car avec les conditions imposées sur les ϕn , rien ne garantit que
les f*ϕn soient toutes polynomiales sur un même segment de R (même en prenant pour les ϕn des polynômes
tronqués; on s'en convaincra par exemple avec f(x) = ex . Le problème vient de la condition sur les supports des
ϕn).
La convolution offre toutefois le moyen de retrouver la densité des polynômes dans C([a,b]) pour la norme
uniforme, en réduisant les conditions sur les ϕn :
Lemme: Soit (ϕn) une suite de Cc(R), positives, d'intégrales égales à 1, à supports inclus dans un compact fixe [α,α] (α > 0) et telles que: ∀δ∈]0,α], (ϕn) conv. uniformément vers 0 sur [-α,-δ]∪[δ,α].
27
Alors ∀ f ∈ C(R,C), (f*ϕn) converge uniformément vers f sur tout intervalle de R où f est uniformément
continue et bornée (et en particulier sur tout segment de R).
Démo du lemme: on procède comme en [3]: soit I = (a,b) un tel intervalle; alors f est encore uniformément
continue, et bornée par un M > 0 sur J = (a-1,b+1); ε > 0 étant donné, il existe δ ∈]0,α[ tel que: ∀u,v ∈ J, |u-v| ≤
δ ⇒ |f(u)-f(v)| ≤ ε. Alors pour x ∈I et n ∈ N, en découpant l'intégrale, il vient:
α
|(f*ϕn)(x) - f(x)| ≤ ⌠
⌠
⌡|f(x-t)-f(x)|ϕn(t)dt = … ≤ 2M.
⌡ϕn(t)dt + ε . L'hypothèse faite sur les ϕn permet de
[-α,-δ]∪[δ,α]
-α
conclure.
Application: méthode de Landau pour le théorème de Weierstrass:
Pour n ≥1, poser ϕn(x) = an(1-x2)n.1[-1,1](x), où an est choisi de sorte que l'intégrale de ϕn vale 1. La dernière
condition est contentée grâce à la majoration:
n+1
.(1-δ2)n.
∀δ ∈ ]0,1[: ∀x ∈ [-1,-δ]∪[δ,1]: 0 ≤ ϕn(x) ≤
2
~
On se ramène à f ∈ C([-1/4,1/4]), que l'on prolonge en une fonction continue f à support inclus dans [~
~
3/4,3/4]; alors (fn) = ( f * ϕn) cvu sur [-1/4,1/4] vers f = f, et les fn sont polynomiales sur [-1/4,1/4]; en effet, pour
+∞
3/4
~
~
~
|x| ≤1/4 et n ≥1: ( f * ϕn)(x) = ⌠
⌡ f (t)ϕn(x-t)dt = ⌠
⌡ f (t)ϕn(x-t)dt , et pour | t | ≤3/4, on a
-3/4
-∞
|x-t| ≤ 1, ce qui nous donne bien une expression polynomiale en x de fn(x).
7) Fonction plateau:
Soit K un compact de Rd et Ω un ouvert de Rd contenant K.
a) Pour ε > 0, on pose Kε = {x ∈ Rd, d(x,K) ≤ ε}. Montrer que Kε est compact, inclus dans Ω pour ε assez petit.
On fixe ε > 0 tel que K2ε ⊂ Ω .
b) Prouver l'existence d'une fonction ϕ ≥ 0 , de classe C∞ sur Rd , à support dans B(0,ε) et d'intégrale sur Rd
c)
égale à 1.
Montrer que θ = ϕ*1
Kε
vérifie les propriétés suivantes: 0 ≤ θ ≤ 1 ; θ ∈ C∞(Rd) ; θ = 1 sur K et 0 hors de Ω.
Pour ε > 0, Kε est fermé (image réciproque du fermé [0,ε] par l'application continue x → d(x,K)), et borné
(si K ⊂ B(O,R), alors Kε ⊂ B(O,R+ε)) , donc compact.
L'application x → d(x,Ωc) est continue sur le compact K, et atteint donc sa borne inférieure d(K,Ωc) en un
point xo ∈ K; il s'ensuit: d(K,Ωc) = d(xo,Ωc) > 0 car xo ∉ Ωc et Ωc est fermé. Pour ε ∈ ]0,d(K,Ωc)[, on a bien
K2ε ⊂ Ω.
1 
∞
d
b) Partons de Φ(x) = exp 
⌡Φ > 0; alors la
1-||x||2.1B(O,1)(x) , qui est de classe C sur R , et posons a = ⌠
1
x
fonction ϕ : x → ϕ(x) = d.Φ  répond à la question.
a.ε ε 
a)
c)
Pour x ∈ Rd : θ(x) =
⌠
⌡ϕ(x-y) dy est positif et ≤ ⌠
⌡ϕ(x-y)dy = ⌠
⌡ϕ(y)dy = 1: 0 ≤ θ ≤ 1.
Kε
ϕ est C∞ à support compact et 1K est dans L1 , donc θ est C∞ (voir cours).
ε
Si x ∉ Ω, alors x ∉ K2ε et y ∈ Kε ⇒ ||x-y|| > ε ⇒ ϕ(x-y) = 0; il en découle θ(x) = 0.
Si x ∈ K, alors: y ∈ Kεc ⇒ ||x-y|| > ε ⇒ ϕ(x-y) = 0; il en découle: θ(x) = 1 -
⌠
⌡ϕ(x-y) dy = 1.
Kε c
28
C) INTEGRATION SUR UN ESPACE PRODUIT :
Soient (E1, T1, µ1) et (E2, T2, µ2) deux espaces mesurés , et E = E1×E2 .
1) Tribu produit :
On munit E de la tribu produit T1⊗T2 , engendrée par les rectangles A1×A2 lorsque A1 décrit T1 et A2 décrit T2 .
T1⊗T2 est noté T pour la suite.
•
Projections : les projections canoniques p1 et p2 de E sur E1 et E2 sont mesurables.
En effet, T contient les bandes A1×E2, E1×A2, et la tribu produit est d'ailleurs la plus petite tribu sur E qui
rend les projections mesurables (car (A1×E2)∩(E1×A2) = A1×A2).
•
Applications composantes: f = (f1,f2) à valeurs dans E1×E2 est mesurable si et seulement si f1 et f2 le
sont.
Si f est mesurable, alors f1 = p1of et f2 = p2of le sont; si f1 et f2 sont mesurables, on prouve que f l'est en
regardant l'image réciproque d'un rectangle: f -1(A1×A2) = f1-1(A1)∩f2-1(A2) est bien mesurable.
•
Coupes: si A ∈ T, alors les coupes A(x1,.) = {y ∈ E2 , (x1,y) ∈ A} et A(.,x2) = {x ∈ E1, (x,x2) ∈ A} sont
mesurables pour tout x1 ∈ E1 et tout x2 ∈ E2.
On regarde les coupes "verticales" (dessin; on procédera de même pour les coupes "horizontales"):
Soit Λ l'ensemble des parties A de T telles que A(x1,.) ∈ T2 pour tout x1 ∈ E1:
- Λ contient les rectangles A1×A2 de T (si x1 ∈ E1, (A1×A2)(x1,.) = A2 ou ∅ suivant que x1 est dans A1 ou
non). Λ contient en particulier E.
- Si A ∈ Λ, et x1 ∈ E1: (Ac)(x1,.) = [A(x1,.)]c ∈ T2 donc Ac ∈ Λ.
N
- Si (An) ∈ Λ et x1 ∈ E1: (∪An)(x1,.) = ∪[An(x1,.)] ∈ T2 , donc ∪An ∈ Λ.
Ainsi Λ est une sous-tribu de T contenant les rectangles, donc Λ = T.
•
Applications partielles: soit f : E → (F,T') mesurable; alors les applications partielles f(x1,.) et f(.,x2)
sont respectivement mesurables sur E2 et E1 pour tout x1 ∈ E1 et tout x2 ∈ E2.
Si B∈ T ', x1∈E1 et x2∈E2 : [f(x1,.)] -1(B) = f -1(B)(x1,.) ; [f(.,x2)] -1(B) = f -1(B)(.,x2); le résultat en découle.
2) Mesure produit sur L+(E) lorsque µ1 et µ2 sont σ-finies :
THM et DEF 1: (µ1 et µ2 σ-finies). Il existe une unique mesure µ sur (E,T) qui vérifie pour tout couple (A1,A2)
de T1×T2 l’égalité : µ(A1×A2) = µ1(A1).µ2(A2). Cette mesure, notée µ1⊗µ2 est la mesure produit de µ1 et µ2, et
elle est σ-finie. (E, T1⊗T2,µ1⊗µ2) est l’espace mesuré produit.
Démonstration:
Si µ est une mesure sur (E,T) qui vérifie la condition demandée, elle est alors clairement σ-finie.
Si deux mesures µ et µ' sur (E,T) vérifient la condition demandée, elles sont σ-finies et égales sur
l'ensemble des réunions finies de rectangles A1×A2 disjoints, qui est stable par intersection finie et
différence. Le théorème d'unicité annoncé en A.2 permet de déduire qu'elles sont égales sur T, d'où
unicité si existence.
Pour définir la mesure produit sur un élément A de T, on utilise les coupes de A:
!
∀A∈T:
ϕA : x1 → ⌡
⌠1A(x1,.)dµ2 = µ2[A(x1,.)] ∈ L+(E1)
ψA : x2 → ⌡
⌠1A(.,x2)dµ1 = µ1[A(.,x2)] ∈ L+(E2).
29
démo: (pour les ϕA; le cas des ψA se traite de même).
Les ϕA sont bien définies (vu) et à valeurs dans [0,+∞] . Il s'agit de prouver qu'elles sont
mesurables.
Supposons µ2 finie pour commencer, et posons ∑ = {A∈T , ϕA est mesurable}: on obtient
facilement:
- E ∈ ∑ (ϕE est constante, égale à µ2(E2).
- ∑ est stable par différence propre (A,B ∈ ∑, A ⊂ B ⇒ B-A ∈ ∑, car ϕB-A + ϕA = ϕB , et ces
fonctions sont à valeurs finies, donc ϕB-A = ϕB - ϕA ).
- ∑ est stable par réunion dénombrable croissante (si (An)↑A, les An dans ∑, alors pour tout x1,
on a 1An(x1,.)↑1A(x1,.), puis (Beppolevi): ϕAn↑ϕA : ϕA est mesurable et A ∈ ∑ ).
Une partie de P(E) vérifiant ces trois propriétés est appelée λ-classe. Pour être une tribu, il manque
à une λ-classe la stabilité par intersection finie (les deux premières propriétés entrainent la stabilité
par complémentarité; de la troisième et de la stabilité par réunion finie découlent facilement la
stabilité par réunion dénombrable).
- ∑ contient les contient les rectangles A1×A2 ( ϕA1×A2 = µ2(A2).1A1 ).
Si l'on prouve que ∑ est stable par intersection finie, on aura donc bien ∑ = T .
Malheureusement, ceci n'est pas évident (essayer!). On considère alors la λ-classe ∑' engendrée par
les rectangles: ∑' ⊂ ∑ ⊂ T ; si l'on prouve que ∑' est stable par intersection finie, alors on aura le
résultat, avec ∑' = ∑ = T:
On procède en deux temps:
- Si R est un rectangle, on constate que DR = {A ⊂ E, A∩R ∈ ∑'} est une λ-classe contenant
tous les rectangles (ce point ne pose pas de problèmes); ainsi: ∑' ⊂ DR , et donc:
[ R rectangle et A ∈ ∑' ] ⇒ A∩R ∈ ∑'.
- Si A ∈ ∑', on constate que DA = {B ⊂ E, A∩B ∈ ∑'} est encore une λ-classe contenant tous
les rectangles (pas de problèmes), donc ∑' ⊂ DA , et par suite:
[A ∈ ∑' et B ∈ ∑' ] ⇒ A∩B ∈ ∑'.
La preuve est complète.
N
Si µ2 est σ-finie: il existe (Ωn) ∈ T2 ,croissante, chaque Ωn de mesure finie, tq ∪Ωn = E2;
pour A ∈ T , poser ϕA,n : x1 →
⌠
⌡1A(x1,x2)dµ2(x2) ; constater que chaque ϕA,n est mesurable, puis
Ωn
que (ϕA,n) croît vers ϕA (par Beppo-Levi) et que ϕA est donc bien mesurable.
Nous sommes maintenant en mesure de définir µ(A) de la façon suivante:
On pose pour A ∈ T : µ(A) =
⌠
⌡ϕA.dµ1 (*) , et on vérifie que l'on a bien défini une mesure qui satisfait
la condition demandée sur les rectangles:
!
+∞
N
Soit (An)∈ T , les An étant deux à deux disjoints et A = ∪ An ; alors on a successivement:
n=0
+∞
+∞
+∞
∀x1: 1A(x1,.) = ∑ 1An(x1,.); ϕA = ∑ ϕAn; µ(A) = ∑ µ(An) , les deux dernières égalités résultant
n=0
n=0
n=0
de la règle des séries.Enfin: µ(∅) = 0 car ϕ∅ = 0, donc µ est une mesure.
!
Si A1×A2 est un rectangle de E: ϕA1×A2 = µ2(A2).1A1 , puis µ(A1×A2) = µ2(A2).µ1(A1).
On prouverait de même que la mesure produit µ peut être définie par l'égalité µ(A) =⌠
⌡ψA.dµ2. Il en découle les
deux formules de balayage pour le calcul de µ(A) , A ∈ T:
µ(A) = ⌠
⌡µ2[A(x1,.)].dµ1(x1) = ⌠
⌡µ1[A(.,x2)]dµ2(x2).
En particulier, les propriétés suivantes sont équivalentes, pour A ∈ T :
A est µ-négligeable ⇔ ∀pp x1 ∈ E1 , A(x1,.) est µ2-négligeable ⇔ ∀pp x2 ∈ E2 : A(.,x2) est µ1-négligeable.
30
3) Intégrale associée à la mesure produit:
On suppose toujours µ1 et µ2 σ-finies, et µ désigne la mesure produit µ1⊗µ2.
Commençons par regarder l'intégrale associée sur L+(E):
La formule
⌠1A(x1,x2)dµ2(x2)dµ1(x1) = ⌠⌠
1A(x1,x2)dµ1(x1)dµ2(x2) (A ∈ T) se prolonge par
⌠
⌡1A.dµ = ⌠


⌡⌡
⌡⌡
(double) linéarité aux fonctions positives étagées.
Si f ∈L+(E), on sait que f est limite croissante d'une suite (fn) de fonctions positives étagées; il en découle
successivement (avec Beppo-Levi):
!
!
!
∀x1 ∈ E1 : (fn(x1,.)) ↑ f(x1,.) , et ∀ x2 ∈ E2 : (fn(.,x2)) ↑ f(.,x2).
+
ϕ : x1 → ⌡
⌠fn(x1,.)dµ2 ↑ ϕf : x1 → ⌠
⌡f(x1,.)dµ2 ( et en particulier: ϕf ∈ L (E1))
 fn

ψ : x2 → ⌡
⌠f(.,x2)dµ1 ( et en particulier: ϕf ∈ L+(E1)).
⌠fn(.,x2)dµ1 ↑ ψf : x2 → ⌡
 fn

⌡
⌠f .dµ = ⌡ϕfndµ1 =
 n  ⌠

⌠ψf dµ2 ↑ ⌠
⌠ϕf dµ1 = ⌡
⌠ψf dµ2 .
⌡f.dµ = ⌡
⌡ n 
D'où le résultat suivant:
THM 2 (TONELLI): (µ1 et µ2 σ-finies). ∀ f ∈ L+(E):
•
x1 → ⌠
⌡f(x1,.)dµ2 est mesurable sur E1 et x2 → ⌠
⌡f(.,x2)dµ1 est mesurable sur E2.
•
⌠f(x1,x2).dµ1(x1)dµ2(x2) = ⌠⌠
f(x1,x2).dµ2(x2)dµ1(x1) ( ≤ +∞).
⌠
⌡f(x1,x2).d(µ1⊗µ2)(x1,x2) = ⌠


⌡⌡
⌡⌡
Cas de variables séparées:
Si f1∈L+(E1), f2∈L+(E2), le théorème de Tonelli appliqué à f1⊗f2:(x1,x2) → f1(x1).f2(x2) fournit:
⌠
⌡f1(x1).f2(x2).d(µ1⊗µ2)(x1,x2) = ⌠
⌡f1(x1)dµ1(x1).⌠
⌡f2(x2)dµ2(x2).
( f1⊗f2 = (f1op1).(f2op2) est mesurable comme produit de fonctions mesurables; la tribu produit est la
d'ailleurs la plus petite qui fournit cette propriété pour toutes f1 et f2 mesurables (car si c'est le cas, alors
pour tout rectangle A1×A2 de E1×E2, 1A1×A2 = 1A1⊗1A2 est mesurable, et donc A1×A2 aussi).
On remarquera que f = f1⊗f2 peut être mesurable sans que f1 et f2 le soient (prendre f1 = 0 et f2 non
mesurable!).
Passons au cas d'une fonction f : E → R mesurable. Appliquons le théorème de Tonelli à | f | ∈ L+(E):
⌠
⌡ϕ| f |.dµ1 = ⌠
⌡ψ| f |.dµ2 (*).
⌡| f |.dµ = ⌠
On obtient déjà:
(1) : f est intégrable ⇔ ⌠
⌡ϕ| f |.dµ1 < +∞ ⇔ ⌠
⌡ψ| f |.dµ2 < +∞.
31
Supposons f intégrable.
Par définition, on peut déjà écrire:
+
⌠
⌡f.dµ = ⌠
⌡f dµ - ⌠
⌡f dµ (intégrales finies)
= ⌠ϕ + dµ1 ⌡ f
ϕ dµ = ψ + dµ2 - ⌠ψ - dµ2 (intégrales finies).
⌠
⌡ f- 1 ⌠
⌡ f
⌡ f
A ce stade, il faut prendre garde au fait que les différences (ϕ + - ϕ - ) et (ψ + - ψ - ) peuvent ne pas être
f
f
f
f
définies (problème ∞-∞).
Notons A1={ϕ| f | < +∞} , A2 = {ψ| f | < +∞}: A1 et A2 sont mesurables (car ϕ| f | et ψ| f | le sont) de complémentaires
négligeables, et :
!
!
Pour tout x1 ∈ A1 : f(x1,.) est intégrable; les nombres ϕ +(x1) , ϕ -(x1) et ϕf (x1) sont finis et l'on a: ϕf(x1) =
f
f
ϕ +(x1)- ϕ -(x1).
f
f
Pour tout x2 ∈ A2 : f(.,x2) est intégrable; les nombres ψ +(x2) , ψ -(x2) et ψf (x2) sont finis et l'on a: ψf(x2) =
f
f
ψ +(x2)- ψ -(x2).
f
f
!
Vu que A1c et A2c sont respectivement µ1-négligeable et µ2-négligeable, nous pouvons continuer le calcul:
ϕ dµ ϕ dµ = ψ + dµ2 - ⌠ψ - dµ2
⌠f.dµ = ⌠
⌡
⌡ f+ 1 ⌠
⌡ f- 1 ⌠
⌡ f
⌡ f
A1
=
A1
A2
(ϕ - ϕ )dµ = (ψ + - ψ - )dµ2
⌠
f
⌡ f+ f- 1 ⌠
⌡ f
A2
=
⌠
⌡ϕf dµ1 = ⌠
⌡ψf dµ2 .
A1
A1
A2
Ainsi, ϕf (respt ψf ) est presque partout égale à la fonction intégrable ϕf .1
A2
(respt ψf .1
A1
A2
moyennant l'abus habituel de notation (intégrale d'une fonction définie presque partout):
), et l'on peut écrire,
⌠
⌡ϕf dµ1 = ⌠
⌡ψf dµ2 .
⌡f.dµ = ⌠
On passe ensuite au cas où f est complexe par retour aux parties réelle et imaginaire.
Le résumé de ceci fait l'objet du
THEOREME DE FUBINI : ( µ1 et µ2 σ-finies).
1) Soit f : E → C mesurable:
f est intégrable ⇔ ⌠⌠
⌡|f(x1,x2)|.dµ1(x1)dµ2(x2) < +∞ ⇔ ⌠⌠
⌡|f(x1,x2)|.dµ2(x2)dµ1(x1) < +∞.
⌡

⌡

2) Soit f : E → C intégrable:
• ∀ pp x1 ∈ E1 : f(x1, . ) est µ2-intégrable ; ∀ pp x2 ∈ E2 : f( . , x2) est µ1-intégrable .
•
x1 → ⌠
⌡f(x1,x2).dµ2(x2) est pp égale à une fonction µ1-intégrable.
x2 → ⌠
⌡f(x1,x2)dµ1(x1) est pp égale à une fonction µ2-intégrable.
•
⌠f(x1,x2).dµ1(x1)dµ2(x2) = ⌠⌠
f(x1,x2).dµ2(x2)dµ1(x1).
⌠
⌡f(x1,x2).d(µ1⊗µ2)(x1,x2) = ⌠


⌡⌡
⌡⌡
Remarque: l'application de ces deux théorèmes au cas du produit de la mesure de dénombrement δN par ellemême fournit les résultats déjà obtenus en A7).
32
4) Tribus et mesures produit dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue:
Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
•
Tribus et mesures de Borel: B(Rp)⊗B(Rq) = B(Rp+q) . θ(p)⊗θ(q) = θ(p+q).
B(Rp)⊗B(Rq) contient les pavés de Rp+q, donc contient B(Rp+q); en outre, B(Rp)⊗B(Rq) est la plus petite
tribu sur Rp+q qui rende les deux projections mesurables; comme B(Rp+q) possède évidemment cette
propriété, on déduit le premier résultat.
Les deux mesures σ-finies θ(p)⊗θ(q) et θ(p+q) coïncident sur l'ensemble des réunions finies de pavés disjoints
de Rp+q, et sont donc égales d'après le théorème d'unicité.
•
Tribu et mesure de Lebesgue: B(Rp+q) ⊂ L(Rp)⊗L(Rq) ⊂ L(Rp+q). λ(p+q) est la complétée de λ(p) ⊗λ(q) .
La première inclusion est claire, puisque B(Rp) ⊂ L(Rp) et B(Rq) ⊂ L(Rq).
La seconde (qui n'est pas évidente) provient des propriétés de régularité de la mesure de Lebesgue citées en
[A.2]: si E ∈ L(Rp), alors il existe un Fσ A et un Gδ B de Rp tels que l'on ait A ⊂ E ⊂ B et λ(p)(B-A) = 0;
alors A×Rq et B×Rq sont respectivement un Fσ et un Gδ de Rp+q, et l'on a: A×Rq ⊂ E×Rq ⊂ B×Rq , avec:
λ(p+q)(B×Rq - A×Rq) = λ(p+q)((B-A)×Rq) = limn λ(p+q)((B-A)×[-n,n]q) = limn 0.(2n)q = 0 (on sait déjà que λ(p+q)
coïncide avec λ(p)⊗λ(q) sur B(Rp+q)). Ainsi, E×Rq ∈ L(Rp+q). De même, on prouve que toute bande Rp×F ,
où F ∈L(Rq), est dans L(Rp+q). Il en résulte que tout rectangle E×F avec E ∈ L(Rp) et F ∈ L(Rq) est dans
L(Rp+q), d'où le résultat.
On notera que l'inclusion est bien stricte: par exemple, si a ∈ Rp et si A2 est une partie non mesurable de Rq,
alors {a}×A2 est dans L(Rp+q) (car {a}×A2 ⊂ {a}× Rq mesurable de mesure nulle), mais n'est pas dans L(Rp)
⊗L(Rq) (car sa coupe verticale A2 en a serait dans L(Rq) ). λ(p) ⊗λ(q) n'est pas complète, mais coïncide avec
λ(p+q) sur L(Rp) ⊗L(Rq)).
Remarque:
Pour utiliser le théorème de Fubini avec une fonction f : Rp×Rq → C , il faudra s'assurer de sa mesurabilité
par rapport à la tribu produit Leb(Rp)⊗Leb(Rq) , et non par rapport à Leb(Rp+q) (résultat plus faible).
Cela ne pose en général pas de problème en pratique, puisque l'on travaille la plupart du temps avec des
fonctions boreliennes (voire continues!), et les tribus et mesures de Lebesgue peuvent être alors remplacées
par les tribus et mesures de Borel correspondantes, pour lesquelles le problème ne se pose pas.
Pour la théorie, dans le cas où f est supposée seulement λ(p+q)-mesurable, il y a quelques petits changements
à apporter au théorème de Fubini. On pourra consulter [Rudin; analyse réelle et complexe p137 à 139] . La
condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité reste toutefois vraie, ainsi que la formule d'intégrations
répétées.
33
Exercices.
1) De la nécessité de toutes les hypothèses dans les théorèmes de Tonelli et Fubini.
a)
λ et δ désignent respectivement la mesure de Lebesgue et la mesure de dénombrement sur [0,1]. Examiner le
cas f = 1∆ où ∆ est la diagonale de [0,1]2.
Pour x fixé: 1∆(x,.) = 1{x} donc ⌠⌠
⌡0.dδ(y) = 0.
⌡1∆(x,y)dλ(x)dδ(y) = ⌠
⌡

Pour y fixé: 1∆(.,y) = 1{y} donc ⌠⌠
⌡1.dλ(x) = 1.
⌡1∆(x,y)dδ(y)dλ(x) = ⌠
⌡

Le théorème de Tonelli ne s'applique pas: 1δ n'est pas σ-finie.
b) (Mesure de Lebesgue sur ]0,1[); examiner le cas de f : (x,y) ∈ ]0,1[2 → f(x,y) =
Pour y ∈ ]0,1[ fixé, une primitive de x →
x2-y2
.
(x2+y2)2
-x
x2-y2
sur ]0,1[ est x → 2 2 ; il suit:
(x2+y2)2
x +y
2 2
x=1
2 2
⌠ x2 -y2 2 dx =  2-x 2 = -1 2 , puis ⌠ ⌠ x2 -y2 2 dxdy = -π/4.
x +y  x=0 1+y
 ⌡(x +y ) 
⌡(x +y )

]0,1[
⌡ ]0,1[
]0,1[
⌠ ⌠ x2 -y2 2 dydx = + π/4 .
 ⌡(x +y ) 

⌡ ]0,1[
2
Symétriquement, on trouvera
2
]0,1[
Le théorème de Fubini ne s'applique pas:
Pour y ∈ ]0,1[ :
2 2
2 2
2 2
x=y
x=1
⌠ |x2 -y2 | 2 dx = ⌠ y2 -x2 2 dx + ⌠ x2 -y2 2 dx =  2x 2 -  2x 2 = 1 - 1 2 ,
x +y  x=0 x +y  x=y y 1+y
⌡(x +y )
⌡(x +y )
⌡(x +y )
]0,1[
donc
]0,y[
]y,1[
2 2
⌠ ⌠ |x2 -y2 | 2 dxdy = +∞: la fonction n'est pas intégrable sur ]0,1[2.
 ⌡(x +y ) 

⌡ ]0,1[
]0,1[
(pour d'autres exemples intéressants, voir Rudin p 136 et 137).
1
t-1
2) Calcul de ⌠ dt .
⌡ln t
0
On justifie par Tonelli les calculs suivants (après les vérifications d'usage):
1
1
1
1
1
⌠ x 
⌠ 1 x 
t-1
dx




⌠ dt =  ⌠
t dx dt =  ⌠
t dt dx = ⌠
= ln 2.
⌡
⌡
ln
t
x+1
⌡
⌡




⌡ 0 
⌡ 0 
0
0
0
0
x²
On pourra retrouver ce résultat par d'autres méthodes, en particulier en étudiant la fonction x → ⌠
dt
.
⌡ln t
x
34
3) Une inégalité qui généralise le théorème de Tonelli:
E1 et E2 espaces mesurés σ-finis; p ≥1 ; E désigne l'espace produit. f ∈ L+(E). Prouver l'inégalité:
1/p
1/p
p
⌠  ⌠f(x,y)dx p.dy
≤⌠⌠
⌡
⌡ [f(x,y)] .dy  .dx.

⌡X
Y






⌡Y


X
Pour p = 1, on retrouve Tonelli (avec la double inégalité en intervertissant X et Y).
Pour p > 1, on pose ϕ(y) = ⌠
⌡f(x,y)dx , q l'exposant conjugué de p et A ≤ B l'inégalité à démontrer. Il vient:
X
p
p-1
p-1
Ap = ⌠
⌡ϕ = ⌠
⌡ϕ.ϕ = ⌠  ⌠
⌡f(x,y)dx ϕ (y)dy
Y

⌡X
Y


Tonelli
==
⌠⌠
f(x,y)ϕp-1(y)dydx

⌡

⌡Y
X
Y
Hölder ⌠ 
1/p
1/q
1/q
⌡
≤
⌠ϕ(p-1)q(y).dy  .dx =  ⌡
⌠ϕp  .B = Ap/q.B , d'où:
⌠[f(x,y)]pdy  . ⌡

⌡Y



Y





Y


X
Ap-(p/q) ≤ B, i.e. A ≤ B.
35
5) Changement de variable dans une intégrale:
On se limite ici aux intégrales sur des ouverts de Rd (d ≥1). dλ(d)(x) est noté en abrégé dx.
Le résultat s'énonce ainsi:
THM Soient Ω et Ω' deux ouverts de Rd et ϕ : Ω →Ω' un C1-difféomorphisme.
Pour x ∈ Ω, Jϕ(x) désigne le déterminant jacobien de ϕ en x.
Soit f : Ω' → C mesurable; alors:
! f est intégrable sur Ω' si et seulement si |Jϕ|.foϕ est intégrable sur Ω .
!
le cas échéant, on a:
⌠
⌡f(ϕ(t)).|Jϕ(t)|.dt.
⌡f(x).dx = ⌠
Ω'
Ω
Pour une démonstration, on consultera par exemple [Buchwalter, le calcul intégral, p89 à 98 (!)] dans le cadre de
la mesure de Borel, ou [Rudin,..; p162] qui nécessite pas mal de lecture préalable.
!
Interprétation en terme de n-volume élémentaire de la formule ⌠
⌡|Jϕ(t)|dt :
⌡dx = ⌠
Ω'
(e1,…,ed) désigne la base canonique (orthonormée) de
Ω
Rd.
La mesure de Ω' est interprétée comme la somme pour x = (x1,…,xd) parcourant Ω' des volumes
élémentaires des pavés [ x ; (x + (dxi)ei)1≤i≤d ] formés à partir de x par un accroissement infinitésimal
(dx1,…,dxd) des coordonnées, soit donc:
λ(d)(Ω') =
⌠
⌡dx1…dxd = ⌠
⌡dx.
Ω'
Ω'
On l'interprète aussi comme la somme pour t = (t1,…,td) parcourant Ω des volumes élémentaires des
parallélélotopes [ ϕ(t) ; ( ϕ( t+(dti)ei ) )1≤i≤d ] formés à partir de ϕ(t) par un accroissement infinitésimal
(dt1,…,dtd) des coordonnées, soit donc, en approximation d'ordre 1, des pavés [ϕ(t) ; (ϕ(t)+dti.dϕt(ei) )1≤i≤d ],
de volumes Det [dt1.dϕt(e1), …, dtd.dϕt(ed)] = |Jϕ(t)|.dt1…dtd = |Jϕ(t)|.dt :
λ(d)(Ω') = ⌠
⌡|Jϕ(t)|.dt .
Ω
(Ceci ne constitue évidemment pas une preuve de la formule de changement de variable).
Exemples: coordonnées polaires; cylindriques; sphériques: retrouver les volumes élémentaires.
!
Si ϕ est une bijection affine de partie linéaire ϕ , on a pour x ∈ Ω: |Jϕ(t)| = |Jϕ(t)| = |Det dϕ(t)| = |Det ϕ |. en
prenant f = 1 et pour ϕ une isométrie affine, on obtient λ(d)(ϕ(Ω)) = λ(d)(Ω), ce qui indique que la mesure λ(d)
est invariante par isométrie affine. Toujours avec f = 1, et ϕ homothétie de rapport k ≠ 0, on obtient:
λ(d)(ϕ (Ω)) = |k|d.λ(d)(Ω). Les démonstrations usuelles du théorème passent d'abord par la preuve de ce cas
particulier.
!
Dans la pratique, il sera souvent nécessaire d'invoquer la nullité de f (respt de (foϕ).|Jϕ| sur des parties
mesurables négligeables (cf par exemple le passage en polaires, qui fournit, pour f intégrable sur R2 la
formule
2
⌠
⌠
⌡f(r.cos θ,r.sin θ).rdrdθ , vu que R - R ×{0} est négligeable).
⌡f(x,y)dxdy =
R2
]0,+∞[×]-π,π[
36
Exercices
2
1) Calcul de In =
⌠exp ( - ||x|| ).dx ( || . || désigne la norme euclidienne sur Rn). pour n ∈ N* (intégrale de
2
⌡
n
R
Gauss).
Le passage aux coordonnées polaires donne I2 = 2π. Le théorème de Tonelli fournit I1 =
(toujours par Tonelli) : In = (2π)n/2.
I2 = 2π, puis
-r²/2
2) E = Rn × ]0,+∞[ ; P = {(x,r) ∈ E, ||x|| < r } (norme euclidienne). Calculer I = ⌠
⌡r.e .dxdr de deux manières et
P
en déduire la valeur de Vn , volume de la boule unité B(O,1) de Rn.
Le théorème de Tonelli valide les égalités suivantes:
!
I=
!
I=
2
⌠+∞ -r²/2 
-r²/2
 ⌠r.e drdx = ⌠exp ( - ||x|| ).dx = (2π)n/2.


⌠ ⌠
.1
(x,r)dr
dx
=
r.e
P
2
⌡


 ⌡
 ⌡
n


⌡||x||
⌡]0,+∞[
R
Rn
Rn
+∞
+∞
n
⌠ ⌠
1P(x,r)dxr.e-r²/2.dr = ⌠
rn+1.e-r²/2dr = Vn. 2n/2.Γ  + 1
λ(n)(B(0,r)).r.e-r²/2.dr = Vn. ⌠
⌡
⌡
⌡
2 

 n
0
0
R


⌡
]0,+∞[
grâce au changement de variable u = r2/2.
On en déduit la formule: Vn =
3) Fonctions Γ et B:
πn/2
.
n
Γ + 1
2 
Soient x, y > 0; montrer que Γ(x).Γ(y) = Γ(x+y).B(x,y) par Tonelli et un passage en polaire. En déduire Γ(1/2),
1
n
et la valeur de l'intégrale de Wallis Wn = ⌠
⌡cos t.dt pour n ≥ 0.
0
!
Le passage en polaire proposé suggère d'écrire Γ(x) =
+∞
+∞
-t x-1
.t
.dt
=
2.
e
⌠
⌠e-u².u2x-1du , puis, avec Tonelli:
⌡
⌡
0
Γ(x).Γ(y) = 4.
0
π/2
+∞
-(u²+v²) 2x-1 2y-1
-r² 2x+2y-1
2x-1
2y-1
e
.u
.v
.dudv
=
4
dr. ⌠
⌠
⌠
⌡cos θ.sin θ.dθ
⌡
⌡e .r
0
0
[0,+∞[2
1
x-1
y-1
2
= Γ(x+y).⌠
⌡u .(1-u) .du = Γ(x+y).B(x,y) par le chgt de variable u = cos θ.
0
1
!
1
dt
2.du
1
=⌠
Γ(1/2)2 = B(1/2,1/2) = ⌠
2 = 2[Arc sin u]0 = π, et Γ(1/2) =
⌡ t(1-t) ⌡ 1-u
0
0
!
1
n+1 1
π
.
Avec le chgt de variable u = cos t, on obtient: Wn = .B(
, ) , soit donc: Wn =
2
2 2
2
2
π.
n+1
Γ( 2 )
.
n
Γ( + 1)
2
37
4) Aire du domaine D de R2 intérieur aux deux ellipses
x2 y2
x2 y2
2 + 2 = 1, 2 + 2 = 1 ( 0 < b ≤ a).
a b
b a
Pour des raisons de symétries, λ(2)(D) = 8.λ(2)(D1) avec D1 = {(x,y),
x2 y2
+
<1, 0 < y < x}.
b 2 a2
Utiliser (r,θ) → (x = b.r.cos θ , y = a.r.sin θ),
C1-difféomorphisme de ]0,1[×]0,Arc tan
b
[ sur Int D1.
a
b
On trouvera λ(2)(D) = 4ab.Arc tan . (Attention: en coordonnées elliptiques, θ n'est pas l'angle polaire!)
a
5) Volume du domaine borné B de R2× R+ limité par le paraboloïde x2+y2 = z et le cône x2+y2 = z2.
B = BP - BC où BP = {0 < z < 1; x2+y2 < z } et BC = {0 < z < 1 ; x2+y2 < z2 }.
Par les formules de balayage, il vient:
1
Vol(B) = Vol(BP) - Vol(BC) = ⌠
⌡aire[cercle de rayon
0
1
1
π
aire[cercle
de
rayon
z).dz
=
z).dz - ⌡
⌠π(z-z2)dz = 6.
⌠
⌡
0
0
On peut aussi définir B en cylindriques: B = {(r,θ,z) , 0 < z < 1; 0 < θ < 2π ; z < r <
z }, d'où:

⌠ 
 ⌠rdr dθdz = π.
6
  ⌡z 
⌡
z
Vol (B) =
]0,2π[×]0,1[
6) Volume du tore obtenu par rotation d'un disque D(A,R) tournant autour de l'axe Oz avec OA = a ≥ R.
→ → →
(O,e1,e2,e3) désigne le repère canonique de R3 . On note, pour θ ∈ [0,2π[ :
→
→
→
→
→
→
→
→ duθ
uθ = cosθ.e1 + sin θ.e2 ; Aθ = O + a.uθ ; vθ = -sin θ.e1 + cos θ.e2 =
,
dθ
→ →
→ →
et, pour M ∈ T ∩ (O, uθ,e3) : AθM = r ; (uθ , AθM ) = ϕ , de sorte que :
→ →
→
→
M = O + OAθ + AθM = (a + r.cos ϕ).uθ + r.sin ϕ.e3 = Φ(r,θ,ϕ) :
A une partie de R3 de mesure nulle près, T est l'image par Φ de ]0,R[×]-π,π[×]-π,π[ , avec:
δΦ
δΦ
δΦ
(r,θ,ϕ) ,
(r,θ,ϕ)
|Jϕ(r,θ,ϕ)| = Det  (r,θ,ϕ) ,
δθ
δϕ
 δr

→
→
→
→
→
= Det ( cos ϕ.uθ + sin ϕ.e3 , (a+r.cos ϕ).vθ , -r.sin ϕ.uθ + r.cos ϕ.e3 ) =
cos ϕ
0
-r.sin ϕ
0 a+r.cos ϕ
0
sin ϕ
0
r.cos ϕ
= r.(a+r.cos ϕ).
Il suit: λ(3)(T) = ⌠
⌡dxdydz =
T
2 2
⌠
⌡r.(a+r.cos ϕ)drdθdϕ = 2aπ R .
]0,R[×]-π,π[×]-π,π[
38
7) Calcul d'aires planes avec la formule de Green-Riemann:
Soit D un compact élémentaire du plan, i.e. limité par un arc γ continu, C1 par morceaux, simple et fermé, et
orienté positivement. L'aire de D est donnée par la formule:
Aire(D) = ⌠
⌡dxdy = ⌠
⌡x.dy = -⌠
⌡y.dx =
γ
D
γ
1
.⌡(x.dy - y.dx)
2 ⌠
γ
(avec xdy-ydx = r2dθ en polaire).
Ce résultat est une simple conséquence du théorème de Fubini dans le cas où D est de la forme suivante:
D = {(x,y), x ∈ [a,b], γ1(x) ≤ y ≤ γ2(x) } = {(x,y), y ∈ [c,d] , ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)}, γ1,γ2,ϕ1,ϕ2 continues et
C1 par morceaux.
a)
Paramétrage de la courbe x3+3xy-y2 = 0, étude, tracé et aire de la boucle.
Avec x = 0 ⇔ y = 0, on paramètre par y = tx et on obtient: x = t2-3t; y = t3-3t2; l'étude et le tracé ne posent pas de
problèmes; la boucle est obtenue pour t ∈ [0,3]; il suit:
3
2
2
Aire de la boucle = ⌠
xdy
=
⌠
⌡
⌡(t -3t)(3t -6t)dt = 81/20.
γ
0
b) Aire de la cardioide r = 2a(1+cosθ).
Avec pour paramètre θ ∈ [0,2π], il vient (passage en polaire):
2π
1
2
(xdy-ydx)
=
2a
Aire = .⌡
.
⌠(1+cosθ)2.dθ = 6πa2.
⌡
2⌠
0
γ
39
D) MESURES IMAGES ; MESURES A DENSITE ; INTEGRALES ASSOCIES, APPLICATIONS:
1) Mesure image :
Soit h: (E,T,µ) → (E',T ') une application mesurable ; on définit sur (E',T ' ) la mesure image µh de µ par h par :
∀ A ∈ T ' : µh(A) = µ(h-1(A))
Pour A ∈ T', on a donc:
(c'est une mesure sur (E',T')).
h
-1
1
dµ = ⌠
⌠
⌡1A.dµ = µ(h (A)) = ⌠
⌡1Aoh.dµ , ce qui laisse à penser que l'intégrale
⌡ h-1(A)
associée à µh est définie par:
h
∀ϕ ∈ L+(E'): ⌠
⌡ϕ.dµ = ⌠
⌡ϕoh.dµ,
et on le vérifie aisément (C1, C2 et C3 sont immédiats).
Pour ϕ : E → C mesurable, on a alors:
h
ϕ est µh-intégrable ⇔ ⌠
⌡|ϕ|dµ < +∞ ⇔ ⌠
⌡|ϕ|oh.dµ < +∞ ⇔ ⌠
⌡|ϕoh|dµ < +∞ ⇔ ϕoh est µ-intégrable,
h
et, le cas échéant, on a, par retour à (Re ϕ)+ , (Re ϕ)- , (Im ϕ)+ , (Im ϕ)- : ⌠
⌡ϕ.dµ = ⌠
⌡ϕoh.dµ.
2) Mesure à densité :
(E,T,µ) espace mesuré; h ∈ L+(E). On définit sur (E,T) la mesure à densité h associée à µ, notée h.µ, par :
∀ A ∈ T : h.µ(A) = ⌠
⌡h.dµ
(c'est une mesure sur (E,T)).
A
Pour A ∈ T, on a donc: ⌠
⌡1Ad(h.µ) = h.µ(A) = ⌠
⌡1A.h.dµ , ce qui laisse à penser que l'intégrale associée à h.µ est
définie par:
∀ ϕ ∈ L+(E): ⌠
⌡ϕ.d(h.µ) = ⌠
⌡ϕ.h.dµ,
et on le vérifie aisément.
Pour ϕ : E → C mesurable, on a alors: ϕ est (h.µ)-intégrable ⇔ ϕ.h est µ-intégrable,
et, le cas échéant: ⌠
⌡ϕ.d(h.µ) = ⌠
⌡ϕ.h.dµ.
40
Exercices
1) Intégration des fonctions sphériques sur Rn:
N : Rn → R+, x → ||x|| désignant la norme euclidienne sur Rn, on veut calculer
(n)
⌠
⌡f( ||x|| )dλ (x) ,
Rn
pour f : R+ → C mesurable telle que x → foN soit intégrable sur Rn.
Il vient:
(n)
(n) N
(n) N
(n)
⌠
⌡f( ||x|| )dλ (x) = ⌠
⌡f.d[λ ] , et il s'agit donc de déterminer la mesure image λ de λ par
Rn
R+
l'application N.
Voyons ce qu'elle vaut sur les intervalles ]a,b[ de R+ ( 0 ≤ a < b):
[λ(n) N]( ]a,b[ ) = λ(n) ( N-1( ]a,b[ ) = λ(n)(B(O,b)) - λ(b)(B(O,a)) = (bn-an)Vn ,
où Vn désigne la mesure de la boule unité B(O,1) de Rn . Ainsi:
[λ(n) N]( ]a,b[ ) =
⌠n.Vn.tn-1.dλ(1)(t) ,
⌡
]a,b[
et λ(n) N coïncide sur les intervalles (a,b) avec la mesure à densité t → n.Vn.tn-1 associée à la mesure de Lebesgue
λ(1) sur R+ ; ces deux mesures sont évidemment σ-finies, et coïncident par extension sur les réunions finies
d'intervalles disjoints de R+. Par le théorème d'unicité, on déduit qu'elles sont égales.
Il en résulte: ∀f : R+→ C mesurable:
!
!
[x → f( ||x|| )] est intégrable sur Rn ⇔ [t → tn-1.f(t)] est intégrable sur R+ .
+∞
Le cas échéant: ⌡
f(
||x||
)dx
=
n.V
.
⌠
⌠tn-1.f(t).dt.
n ⌡
Rn
0
2)Retrouver à l'aide du résultat précédent et de In = ⌠exp ( -
⌡
Rn
||x||2
).dx ( || . || désigne la norme euclidienne sur Rn)
2
la valeur de Vn = λ(n)(B(O,1)).
In = (2π)n/2 (vu). Avec la formule d'intégration des fonctions sphériques et le changement de variable
u = t2/2:
+∞
n
πn/2
n-1 -t²/2
n/2


=
.
V
In = n.Vn. ⌠
.e
.dt
=
2
.V
.Γ
+
1
.
On
retrouve
:
t
n
n
⌡
2 
 n + 1
Γ
0
2 
41
E) MESURE ET INTEGRALE ASSOCIEE SUR CERTAINES SURFACES DE R3. GENERALISATION
EN DIMENSION n:
1)Vocabulaire et limites de l'étude.
Une surface de R3 est par définition une C1-sous-variété de dimension 2 de R3, i.e. une partie S de R3 qui est
localement le support d'une C1-nappe paramétrée plongée.
On appelle C1-nappe paramétrée plongée de R3 tout couple ∑= (Ω,Φ) où Ω est un domaine de R2 et Φ un
plongement de Ω dans R3, c'est à dire une application telle que:
!
Φ est C1 sur Ω et sa différentielle en tout point est injective (de rang 2) (Φ est une immersion).
!
Φ réalise un homéomorphisme de Ω sur S = Φ(Ω) (avec la topologie induite par celle de R3 ).
S est le support de la nappe ∑.
Ainsi, une surface de R3 est une partie S de R3 telle que pour tout a ∈ S, il existe un plongement Φ d'un
domaine Ω de R2 dans R3 tel que Φ(Ω) soit un voisinage de a dans S.
Le calcul de l'aire d'une surface dans ce sens très général n'ayant physiquement aucun intérêt (dixit Ramis T5
p207), on se propose de définir l'aire d'une partie S de R3 obtenue par juxtaposition finie de supports de nappes
plongées du type décrit plus haut, et dont les intersections deux à deux sont des C1-arcs paramétrés compacts
(image par une application de classe C1 d'un compact de R ).
L'aire d'une telle partie S sera alors définie comme la somme des aires des nappes qui la composent, les
intersections étant naturellement négligées.
On notera en passant qu'une telle partie n'est pas nécessairement le support d'une nappe plongée (par exemple la
sphère unité), ni même une surface de R3 (par exemple, le bord d'un cube).
Pour définir la longueur d'un arc, on considère la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites
sur l'arc. On pourrait dans le cadre de l'aire d'une nappe proposer une définition similaire: borne supérieure des
aires des polyèdres inscrits sur la nappe. Malheureusement, cette direction est sans issue; on consultera par
exemple [Ramis, T5, ex.438 p218] pour constater que dans le cas d'un cylindre, la borne supérieure en question
est infinie (paradoxe du lampion).
Il s'agit donc de trouver une autre définition, qui coïncide dans le cas d'une aire plane avec ce que l'on désire
obtenir.
42
2) Construction d'une mesure sur le support d'une nappe paramétrée plongée:
Soit ∑ = (Ω,Φ) une nappe paramétrée plongée de R3 , et S = Φ(Ω) son support, espace topologique (topologie
induite par celle de R3), muni de sa tribu borelienne B(S).
→ δΦ δΦ
La fonction N = δu ∧ δv est continue sur Ω et ne s'y annule pas. Pour (u,v) ∈Ω, on rappelle que le vecteur
→
N (u,v) dirige la normale au plan tangent en ∑ à Φ(u,v).
Soit A∈B(S) ; à un point M = Φ(u,v) ∈ A et un accroissement infinitésimal (du,dv) des coordonnées (u,v), on
associe le morceau élémentaire {Φ(s,t) , u ≤ s ≤ u+du ; v ≤ t ≤ v+dv} dont l'approximation de premier ordre sur
→
δΦ
δΦ
le plan tangent en M à S est le parallélogramme [M; M + (du). δu (u,v) , M + (dv). δv (u,v) ],d'aire || N (u,v)||dudv.
La somme des aires élémentaires précédentes lorsque (u,v) décrit Φ-1(A) s'écrit
Φ-1(A)
amène à définir sur S une mesure σ par :
∀A ∈B(S) : σ(A) =⌠
⌡dσ =
⌠||→
⌠(1AoΦ).||→
N ||.dλ(2) ,
N (u,v)||dudv = ⌡
⌡
Φ (A)
A
dont l'intégrale associée est définie par:
∀f ∈ L+(S):
→
⌠
⌡|| N (u,v)||dudv , ce qui nous
-1
Ω
→
⌠(foΦ).|| N ||.dλ(2) .
⌠
⌡f.dσ = ⌡
S
Ω
→
En d'autre termes, σ est l'image par Φ de la mesure de densité || N || associée à λ(2).
Remarques:
! On peut constater la cohérence de la définition lorsque S est plane: par changement de repère
orthonormé, on se ramène au cas Φ = (f,g,0); supposons que (f,g) réalise un C1-difféomorphisme de
Ω sur son image S1 = p(S) (p projection sur xOy); il vient:
δf δg δf δg
→
→
N =(0,0, .
- . ) , et || N || = |J(f,g)| .
δu δv δv δu
σ(S) = ⌠
⌡|J(f,g)(u,v)|dudv = ⌠
⌡dxdy , ce qui correspond bien à ce que l'on attendait.
!
S1
Ω
Effet d'une bijection affine: soient (Ω,Φ) de support S et de mesure associée σ, h une bijection
→
affine de R3 dans R3 de partie linéaire h et (Ω,hoΦ) la nappe image, de support h(S) et de mesure
associée σ'. Il vient:
δ(hoΦ) → δΦ δ(hoΦ) → δΦ → δ(hoΦ) δ(hoΦ)
→ δΦ → δΦ
= h o
;
= h o
; n =
= h ( )∧ h (
).
∧
δu
δv
δv
δu
δu
δv
δu
δv
Soit D une partie mesurable de S et D' = h(D);
→ → δΦ δΦ
- Si h est une isométrie: n = h ( ∧ ) (revenir à la définition et utiliser l'invariance du
δu δv
→
→
produit mixte et du produit scalaire), et donc || n || = || N ||, puis σ '(D') = σ(D).
2
- Si h est une homothétie de rapport k > 0, alors n = k .N, et σ '(D') = k2.σ(D).
Ces cas mis à part, il n'y a toutefois pas de relation simple entre σ'(D') et σ (D) (on pourra par
→
exemple regarder le cas où la matrice de h dans la base canonique est la matrice Diag(a,b,c)).
En conséquence, si l'action d'une transformation affine h se répercute simplement sur les volumes
→
(multiplication par |Det h | ), aucune formule simple n'est à attendre au niveau des aires de surfaces.
3) Invariance par changement de paramétrage:
43
Soit S une partie de R3 du type précédent (i.e. le support d'une C1-nappe paramétrée plongée).
Nous allons montrer que la mesure que l'on a défini sur S à partir d'un paramétrage donné est en fait
indépendante du paramétrage:
Prop Si (Ω,Φ) et (U,Ψ) sont deux paramétrages de la surface S (Ω et U domaines; Φ et Ψ plongements), alors
les mesures σ et σ' respectivement associées à ces paramétrages sont égales (et notées σS pour la suite).
Démonstration:
! Montrons d'abord que l'homéomorphisme h = Φ-1oΨ : U → Ω est de classe C1 :
Soient a ∈ U, B = Ψ(a) ∈ S et c = h(a) ∈ Ω , qui vérifie donc Φ(c) = B.
dΦc étant de rang 2, on peut, quitte à permuter les vecteurs de la base canonique de R3, supposer
que le mineur supérieur de sa matrice jacobienne est non nul.
~
On pose Φ = (Φ1,Φ2,Φ3), p proj. sur xOy, Φ = (Φ1,Φ2) = p o Φ , B = (b1,b2,b3) et b = (b1,b2) = p(B).
~
~
dΦc est donc un isomorphisme, et on peut appliquer le théorème d'inversion locale à Φ:
~
∃ V,W ⊂ Ω×R2 , V,W ouverts tels que c∈V, b ∈ W, tels que Φ réalise un C1-difféomorphisme de
V sur W.
On dispose ainsi d'un paramétrage cartésien de Φ(V), équivalent à (Φ,V):
~
~
ΦoΦ -1 : (x,y) ∈ W → ( x , y , Φ3(Φ -1(x,y) ).
On prolonge cette application en un C1-difféomorphisme f du cylindre W×R sur lui-même en
posant:
~
f(x,y,z) = ( x, y , Φ3(Φ-1(x,y)) + z):
(f est clairement une bijection C1 de W×R sur W×R , et
est
 10 01 ×× 

 inversible:
0 0 1
sa matrice Jacobienne en (x,y,z)
on a bien un C1-difféomorphisme).
Soit U1 = Ψ-1(Φ(V)), voisinage ouvert de a dans U, et p la projection de W×R sur W.
~
On constate alors que sur U1 , h s'écrit: h = Φ -1 o p o f -1 o Ψ et est bien de classe C1.
!
En procédant de même avec k = h-1 = Ψ-1oΦ, il en résulte que h est un C1-difféo. de U sur Ω.
!
Notons h = (h1,h2), et soit D une partie mesurable de S;
→
Aux notations
N , σ, (u,v) , A = Φ-1(D) asociées à (Ω,Φ)
→
correspondent les notations
n , σ', (s,t) , B = Ψ-1(D) = h-1(A) associées à (U,Ψ).
δh
δh
δΨ
δΨ
= dΦ(u,v) o
et
= dΦ(u,v) o ,
δs
δt
δt
δs
→
→
→
→
n = Jh.( N oh), puis: || n || = |Jh|.|| N oh || ; la formule de changement de variable fournit
Des relations:
on tire
alors:
→
→
→
σ(D) = ⌠
⌡|| N (u,v)||.dudv = ⌠
⌡|| N [h(s,t)]||.|Jh(s,t)|dsdt = ⌠
⌡|| n (s,t)||dsdt = σ'(D), et on conclut bien
A
B
B
que les mesures σ et σ' sont égales.
Remarque:
Lorsqu'un tel h existe, on dit que les nappes paramétrées sont équivalentes. Une classe d'équivalence
modulo cette relation définit une nappe géométrique plongée.
Le résultat ci-dessus indique donc que l'on peut définir la mesure sur le support d'une nappe
géométrique plongée comme étant la mesure commune de tous ses représentants sur leur support
commun.
44
Exercices
1)Angle solide
→ →
Aire de la calotte sphérique Cγ = {m ∈ S(O,r), ( e3, Om ) < γ } ( 0 < γ < π/2).
On utilise le paramétrage sphérique avec ϕ descendant:
→
→
(θ,ϕ) ∈ ]0,2π[×]0,γ[ → Φ(θ,ϕ) = O + sin ϕ.uθ + cos ϕ.e3 ,
→
→
qui réalise un plongement du domaine ]0,2π[×]0,γ[ de R2 sur Cγ - Γ , où Γ = [O+R+e1+Re3]∩Cγ est un arc C1
négligeable.
δΦ
δΦ
→ → →
→
→
→
= (sin ϕ)vθ et
= cos ϕ.uθ - sin ϕ.e3 , de sorte que:
Dans (uθ,vθ,e3) , on a:
δθ
δϕ
→
→
→
→
N = -sin ϕ.(sin ϕ.uθ + cos ϕ.e3) , || N || = sin ϕ, et donc:
σ(Cγ) = σ(Cγ-Γ) =
⌠sin ϕ.dθdϕ = 2π.(1-cos γ).
⌡
]0,2π[×]0,γ[
En particulier, on retrouve σ(S(O,1)) = 2.σ(Cπ/2) = 4π (juxtaposition; le cercle médiateur est négligé).
Par homothétie, l'aire de S(O,r) est donc 4πr2.
2)Aire d'un morceau de surface de révolution:
→
Aire de la "surface" S engendrée par la rotation autour de [O,e3] de la courbe γ(t) = (x(t),0,z(t)), t∈[a,b].
→
→
A des parties négligeables près, S est paramétrée par: (t,θ) ∈ ]a,b[×]0,2π[ → Φ(t,θ) = O + xuθ + ze3 :
b
→
δΦ
→
→ δΦ
→ →
→
→
2
2
2
2
= x'uθ + z'e3;
= xvθ ; N = x.(-z'uθ + x'e3) ; || N || = |x|. x' +z' , d'où: σ(S) = 2π
π.⌠
⌡|x|. x' +z' .dt.
δt
δθ
a
Exemples:
a) Aire du tore obtenu par rotation de [x = a+R.cos t, z = a+R.sin t, t ∈ [-π,π] ], avec a ≥ R:
π
π
2
Aire (T) = 2πR.⌠
|a+R.cos
t|.dt
=
4πR.
⌠
⌡
⌡(a+R.cos t).dt = 4aRπ .
0
x2+y2 z2
+ 2 = 1 ( a,c > 0) :
b) Aire de l'ellipsoïde E d'équation
a2
c
→
Il est obtenu par rotation autour de [O,e3] de la moitié d'ellipse γ(t) = (a.cos t, 0 ,c.sin t), t∈]-π/2,π/2[; il
suit:
π/2
π/2
-π
Aire (E) = 2π.
2
2
2
⌠
⌡a|cos t|. a sin²t + c cos²t.dt = 4aπ. ⌠
⌡cos t. c + (a²-c²)sin²t.dt
-π/2
1
0
⌠ c² + (a²-c²)u².du .
= 4aπ.⌡
0
- si a = c, on retrouve l'aire de la sphère de rayon a : 4πa².
- si a > c, le changement de variable u. a²-c² = c.sh t fournit (après calculs):
ac²

a + a²-c².
.ln
Aire (E) = 2π.a² +
c

a²-c² 

- si a < c, le changement de variable u. a²-c² = c.sin t fournit (après calculs):
c²-a²
ac²

Aire (E) = 2π.a² +
.Arc sin
.
c 
c²-a²

L'aire d'un ellipsoïde, même de révolution ne se déduit donc pas simplement de celle d'une sphère!
45
4)Généralisation en dimension n; notion de (n-1)-volume.
Dans Rn muni de sa base canonique (orthonormée directe) (e1,…,en), on définit le produit vectoriel de n-1
n-1
vecteurs u1,…,un : u = ∧ uk par la condition: ∀w ∈ Rn: [u1,…,un-1,w] = < u , w >.
k=1
n-1
Le vecteur u = ∧ uk est donc orthogonal à tous les uk, et nul si et seulement si (u1,…,un-1) est liée.
k=1
(La forme linéaire w → [u1,…,un-1,w] est de la forme w → < u, w > . Le produit vectoriel se calcule comme

en dimension 3: on ajoute un nème vecteur colonne w =  ..
 à la matrice Col(u ,…,u ); on obtient une
1
n-1

 ωn 
n
n-1
 A1 
matrice carrée M, avec Det M = ∑ wk.Ak où Ak est le cofacteur de wk dans M, puis ∧ uk =  .. .
k=1
k=1
 An 
w1
Soit (Ω,Φ) une nappe paramétrée plongée dans Rn , de support l'hypersurface S (i.e. (Ω,Φ) avec Ω domaine de
Rn-1, et Φ plongement de Ω dans Rn).
→ n-1 δΦ
On pose N = ∧
, qui dirige dirige la normale à l'hyperplan tangent.
k=1 δtk
De la même façon qu'au paragraphe précédent, on définit sur S une mesure σ par:
∀ A mesurable de S : σ(A) =
→
⌠
⌡|| N ||.dλ(n-1),
Φ-1(A)
et on montre que σ ne dépend que de S; on la note σS .
σS(A) est appelé (n-1)-volume de A sur S.
On adopte encore le principe de juxtaposition pour le calcul de (n-1)-volumes; sans détailler, les parties à
négliger seront ici les parties images par une application de classe C1 d'un compact de Rn-2.
L'intégrale associée à S est définie par:
→
⌠(foΦ).|| N ||.dλ(n-1).
⌠
⌡f.dσS = ⌡
S
Ω
46
Exercices
1)Calcul du (n-1)-volume An de la sphère unité Sn-1 de Rn .
On utilise le paramétrage de Sn-1∩[xn > 0] suivant:
Φ: Bn-1 → Sn-1∩[xn > 0], (x1,…,xn-1) → (x1,x2,…,xn-1, 1-x12- …- xn-12).
Il vient:
→
N (x1,…,xn-1) =
x1
x2
xn-1

,
,…,
, 1.
1-x12- …- xn-12
 1-x12- …- xn-12 1-x12- …- xn-12

=
→
1
2. Φ (x1,…,xn-1) ,
1-x1 - …. - xn-1
2
puis:
→
|| N (x1,…,xn-1)|| =
1
, et: An = 2.
1-x1 - …. - xn-12
2
n-1
⌠ dx1…dx
2
2.
⌡ 1-x1 - …- xn-1
Bn-1
Avec la formule d'intégration des fonctions sphériques, il suit:
1
tn-2
n-1 1
2π
πn/2
An = 2(n-1).Vn-1.⌠
2dt = (n-1)Vn-1.β ( 2 , 2 ) = Γ(n/2) ,
⌡ 1-t
0
d'après les résultats obtenus précédemment.
Remarque:Φ est un plongement cartésien; l'élément d'aire sur Sn-1∩[xn >0] en coordonnées cartésiennes est
dσ =
dx1.dx2…dxn-1
dx1…dxn-1
.
2
2 =
xn
1-x1 - … - xn-1
2)Intégration par couches.
Soient I un intervalle ouvert de R, D un domaine de Rn-1 et un C1-difféomorphisme
Φ: I×D → B ⊂ Rn , (r,u) = (r,u1,…,un-1) → Φ(r,u) = Φ(r,u1,…,un-1).
Pour f : B → C intégrable, la formule de changement de variable et le théorème de Fubini fournissent:
 ⌠f [Φ(r,u)].|JΦ(r,u)|du dr.
⌠
⌡f(x)dx = ⌠

⌡

B
⌡D
(1)
I
Pour r fixé dans I, notons Φr = Φ(r,.) et Dr = Φr(D) , support de la nappe (D,Φr), de vecteur normal courant
n-1 δΦr
n-1 δΦ
→
N r(u) = ∧
(u) = ∧
(r,u).
δu
k=1 k
k=1δuk
B se présente donc comme la réunion (disjointe) des hypersurfaces Dr lorsque r parcourt I.
δΦ
δΦ
δΦ
δΦ
→
(r,u) ,
(r,u), …,
(r,u) = N r(u). (r,u) .
δu1
δun-1
δr
 δr

Pour (r,u) ∈ I×D, il vient : |JΦ(r,u)| = Det 
47
Supposons maintenant que pour tout (r,u) ∈ I×D,
δΦ
(r,u) soit unitaire et dirige la normale à Dr en Φ(r,u):
δr
→
N r(u)
δΦ
→
(r,u) =
, d'où |JΦ(r,u)| = || N r(u)||, et, notant σr la mesure sur Dr , la formule (1) devient,
δr
→
|| N r(u)||
pour f intégrable sur B:
on a alors
 ⌠f [Φ(r,u)].dσr(u) dr ,
⌠
⌡f(x)dx = ⌠

⌡

B
⌡  Dr
I
qui peut s'interpréter comme la "sommation pour r ∈ I des intégrales de f oΦ sur les couches Dr de B".
En particulier, si B est borné, sa mesure est donnée par la formule:
λ(n)(B) = ⌠
⌡σr(Dr)dr :
I
le n-volume de B est donc obtenu en sommant les (n-1)-volumes des couches Dr pour r parcourant I.
On pourra consulter [Arnaudiès T3 p493 à 498] pour en savoir plus sur cette notion tant prisée des physiciens.
Exemple: la boule B(O,R) de R3 est paramétrée en coordonnées sphériques, à des parties négligeables
 r.sin θ 
 r.cos θ.cos ϕ 
près, par Φ : (r,θ,ϕ) ∈ ]0,R[ × ]-π/2,π/2[ × ]-π,π[ → Φ(r,θ,ϕ) =  r.cos θ.sin ϕ  .
On constate facilement que les conditions demandées sont bien remplies:
δΦ
est unitaire et dirige en
δr
tout point la normale à Dr = S(O,r); par suite, on peut écrire:
R
R
4 3
2
aire(S(O,r))dr
=
λ(3)(B(O,R)) = ⌠
⌠
⌡4πr .dr = 3π.R .
⌡
0
0
3)Un calcul de produit vectoriel:
Soient (u1,…,un-1) et (v1,…,vn-1) deux (n-1)-uplets de vecteurs de Rn liés par la matrice de passage P = [λij], i.e.
n-1
n-1
n-1
tels que: ∀ k = 1,…,n-1 : vk = ∑ λik.ui . Calculer v = ∧ vk à l'aide de u = ∧ uk .
i=1
k=1
k=1
Pour w ∈ Rn, nous avons:
n-1
n-1
Det ( v1, … , vn-1 , w ) = Det  ∑ λi11.ui1 , …, ∑ λin-1n-1.uin-1 , w 
i1=1

in-1=1
n-1
n-1
= ∑ … ∑ λi11…λin-1n-1. Det ( ui1, … , uin-1, w )
i1=1 in-1=1
=
∑ λσ(1)1….λσ(n-1)n-1.Det (uσ(1) ,…, uσ(n-1) , w) (les autres termes sont nuls)
σ ∈ Sn-1
=
∑ ε(σ).λσ(1)1….λσ(n-1)n-1.Det (u1 , …, un-1 , w )
σ ∈ Sn-1
= det P. Det (u1, …,un-1,w),
et donc: v = (det P).u.
48
4) Coordonnées polaires dans Rn (n ≥3):
Dans Rn, l'angle de deux vecteurs non nuls u et v est (u,v) = θ ∈ [0,π] tel que <u,v > = ||u||.||v||.cos θ.
Sn+* désigne Sn-1 ∩ ]0,+∞[n, et (e1,..,en) la base canonique de Rn .
Soit M = (x1,…,xn) ∈ Sn+* ; on note successivement:
→ →
M1 = (0,x2,…,xn) projeté de M sur < e2,…,en > ; θ1 = (OM1,OM ):
x1 = sin θ1 .
OM1 = cos θ1 ; θ1 ∈ ]0,π
π/2[ ;
→ →
- M2 = (0,0,x3,…,xn) projeté de M1 sur < e3,…,en > ; θ2 = (OM2, OM1 ):
x2 = cos θ1.sin θ2 .
OM2 = cos θ1.cos θ2 ; θ2 ∈ ]0,π
π/2[ ;
…………..
→
→
- Mk = (0,…,0, xk+1, …,xn) projeté de Mk-1 sur < ek+1,…,en > ; θk = (OMk, OMk-1 ):
xk = cos θ1…cos θk-1.sin θk .
OMk = cos θ1.…cos θk ; θk ∈ ]0,π
π/2[ ;
…………..
→
→
- Mn-1 = (0,.,0,xn) projeté de Mn-2 sur < en > ; θn-1 = (OMn-1, OMn-2 ):
xn-1 = cos θ1…cos θn-2.sin θn-1 ;
OMn-1 = cos θ1…cos θn-1 ; θn-1 ∈ ]0,π
π/2[ ;
xn = cos θ1…cos θn-1 .
-
On définit ainsi s: (θ
θn-1) → (x1,…,xn) continue et bijective de ]0,π
π/2[n-1 dans S+* .
θ1,…,θ
(continuité OK; la surjectivité vient de la construction, et l'injectivité est immédiate à la main).
On vérifie sans peine les formules suivantes, qui prouvent que s réalise un homéomorphisme de classe C1 de
]0,π/2[n-1 dans S+*: pour (x1,…,xn) = s(θ1,…,θn-1):
1-x12 = cos2θ1 ;
θ1 = Arc sin x1 ;
x2
2
2
2
2
1-x1 -x2 = cos θ1.cos θ2 ;
;
θ2 = Arc sin
1-x12
…………………………………….. ;
……………………….. ;
xn-1
2
2
2
2
2
2
.
1-x1 -…-xn-1 = cos θ1.cos θ2…cos θn-1 = xn ;
θn-1 = Arc sin
1 - x12 - … - xn-22
Enfin, le mineur (n-1,n-1) supérieur de la matrice jacobienne de ds en (θ1,…,θn-1) vaut cosn-1θ1.cosn-2θ2…cos θn-1
et est non nul: s réalise un plongement de ]0,π
π/2[n-1 sur S+*.
→
Le calcul du vecteur normal courant n peut se faire directement, ou bien à l'aide du paramétrage cartésien de
+*
l'exercice précédent: Bn-1 désignant les points de Bn-1 à coordonnées strictement positives, on reprend le
plongement
Φ: Bn-1+* → S+* , (x1,…,xn-1) → (x1,…,xn-1, 1-x12- …- xn-12 ) ;
→
1
vecteur normal N (x1,…,xn-1) =
( x1,x2,…,xn-1, 1-x12- …- xn-12 ).
2
1-x1 - …. - xn-12
Φ et s sont liées par le C1-difféomorphisme h = (h1,…,hn-1): ]0,π/2[n-1 → Bn-1+* qui envoit (θ1,…θn-1) sur les (n-1)
premières coordonnées de s(x1,…,xn-1): s = Φoh ; nous avons (voir l'exercice 3):
n-1 n-1 δhj δΦ  
→
→
δhj
→ n-1 δs
n = ∧
= ∧  ∑
.
oh  = det   .( N o h ) = Jh. ( N o h ) ,
δθ
δx
δθ
δθ
 kj,k
k=1 k k=1 j=1 k  j  
où Jh n'est autre que le mineur supérieur de la matrice jacobienne de s, ce qui s'explicite par:
cosn-1θ1.cosn-2θ2…cos θn-1 →
→
→
n (θ1,..,θn-1) =
s (θ1,…,θn-1) = cosn-2θ1.cosn-3θ2..cos θn-2. s (θ1,..,θn-1).
cos θ1….cos θn-1
En d'autres termes, l'élément d'aire sur S+* est donc:
dσ = ||n||dθ1…dθn-1 = cosn-2θ1.cosn-3θ2…cos θn-2. dθ1…dθn-1 .
49
Prolongeons maintenant s à D = ]-π/2,π/2[ n-2 ×]-π,π[, où l'injectivité est encore satisfaite. s-1 est donné sur s(D)
par les formules données plus haut, ce qui prouve que s réalise un homéomorphisme de D sur s(D).
s(D) contient (au moins) les points (ε1x1,…,εnxn) avec (εi) ∈ {-1,1}n et (x1,,xn) ∈ S+* , donc
n
Sn-1 - s(D) ⊂ ∪ (S∩[xk=0] ).
k=1
Chaque Sn-1∩[xk = 0] est évidemment homéomorphe à Sn-2 et image par l'application "s" correspondante (à une
dimension de moins) du compact [-π/2,π/2]n-2×[-π,π] de Rn-2 , soit donc négligeable au sens donné plus haut.
Nous pouvons maintenant introduire le "changement de variables en polaires" dans Rn:
Ψ : ]0,+∞[ × D → Rn ,
(r,θ) = (r,θ1,…,θn-1) → Φ(r,θ) = r.s(θ) = (r.sin θ1 , r.cos θ1.sin θ2 , … , r.cos θ1…cos θn-2.cos θn-1).
Ψ est un homéomorphisme de classe C1 de ]0,+∞[×D sur son image Ψ(D×]0,+∞[ ), partie de Rn de
complémentaire négligeable, puisqu'inclus dans la réunion des hyperplans [xk = 0]. En outre, Ψ vérifie comme
en dimension 3 les conditions requises pour la formule d'intégration par couches, donc, si σn-1,r désigne la mesure
sur Sn-1(O,r) :
+∞
∀ f : R → C intégrable:
n
f(r.s(θ)).dσn-1,r(θ)dr .
⌠f(x).dx = ⌠ ⌠
⌡

 ⌡
n

R
⌡Sn-1(O,r)
0
Dans le cas d'une fonction sphérique, on obtient:
+∞
⌠
⌡f(||x||)dx
Rn
⌠ ⌠
dσn-1,r(θ).f(r).dr ,

 ⌡

⌡  Sn-1(O,r)
=
0
soit donc, An désignant le (n-1)-volume de la sphère unité Sn-1 de Rn :
+∞
∞
n-1
⌠
⌡f(||x||)dx = An. ⌠
⌡r .f(r).dr .
Rn
0
Pour f = 1B(O,1) , on retrouve: An = n.Vn.
50
F) TRANSFORMATION DE FOURIER.
1) Transformation de Fourier dans L1(Rd) :
On note dans ce paragraphe et le suivant L1, L1, Lp, Cp,Co,S … pour L1(Rd), L1(Rd), Lp(Rd), Cp(Rd), Co(Rd),
S(Rd),…
Rd est muni du produit scalaire et de la norme euclidienne usuels.
Si f ∈L
1
∧
et x ∈ Rd , t → f(t).eix.t est intégrable; on définit la transformée de Fourier de f , notée Φ(f ) ou f , par:
∧
ix.t
∀ x ∈ Rd: Φ(f )(x) = f (x) = ⌠
⌡f(t).e .dt .
-ix.t
-2iπx.t
-d
-2iπx.t
Remarque: la définition varie suivant les livres: ⌠
⌡f(x).e .dx; (2π) .⌠
⌡f(x).e .dx,…..
⌡f(x).e dx; ⌠
Si les formules qui vont suivre sont spécifiques à la définition choisie, l'esprit de la transformation de
Fourier reste toutefois le même.
eibx-eiax
Exemple : d = 1; a ≤ b: Φ(1[a,b])(x) =
(et b-a en 0).
ix
Deux fonctions de L 1 presque partout égales ayant la même transformée de Fourier, on définit naturellement
l'opérateur Φ sur L1 par passage au quotient.
Prop 1 a) Si f ∈ L1 : la transformée de Fourier de
∧
x → eia.x. f (x) (a ∈ Rd)
1 ∧ x
x → f(α
est
x → d. f   (α
αx)
α ∈ R*).
|α
α| α
∧
∧
b) Si f = ⊗fk , où les fk sont intégrables : f = ⊗fk.
x → f(x-a)
est
∧
c) Φ est linéaire continue de (L1 , ||.||1) dans (Co , ||.||∞). ∀f ∈ L1: || f ||∞ ≤ || f ||1.
Démonstration :
∧
Tout est immédiat, mis à part, dans [c], le fait que si f ∈ L1, alors f tend vers 0 à l'infini; ceci constitue
le lemme de Riemann-Lebesgue:
Il est vérifié pour d = 1 et f = 1[a,b] , [a,b] segment de R, pour d quelconque et f = 1P , P pavé de Rd par
[1b], puis sur l'ev E engendré par ces fonctions par linéarité. On sait que E est dense dans L1 ; la
continuité de Φ de L1 dans Cb fournit alors Φ(L1) = Φ( E ) ⊂ Φ(E) ⊂ Co = Co (fermé de Cb).
Donnons une autre démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas d = 1, qui n’utilise que
la densité de Cc dans L1 :
Pour a réel on note fa l'application t → f(t-a). L'invariance de la mesure de Lebesgue par translation
fournit, pour x ≠ 0:
1
⌠f(t-π/x).eix(t-π/x).dt = - ⌡
⌠fπ/x(t).eixt.dt = 2.⌡
⌠(f - fπ/x)(t).eixt.dt,
⌠f(t).eixt.dt = ⌡
⌡
∧
1
et donc:
∀x ≠ 0: | f (x)| ≤ .||f - fπ/x||1 .
2
Soit ε > 0: ∃ϕ ∈ Cc , ||f-ϕ||1 ≤ ε; alors:
∧
∀ x ≠ 0: 2| f (x)| ≤ ||f - fπ/x||1 ≤ ||f - ϕ||1 + ||ϕ-ϕπ/x||1 + ||ϕπ/x-fπ/x||1 ≤ 2ε + ||ϕ-ϕπ/x||1 .
Supposons ϕ nulle hors de [-a,a], a > 0; la continuité uniforme de ϕ sur R fournit l'existence de α > 0
tel que:
∀s, t ∈R : |s-t| < α ⇒ |ϕ(s)-ϕ(t)| ≤ ε/a.
Pour |x| > max (π/α ,π/a) on a π/|x| < min (α,A) donc |ϕ - ϕπ/x| est nulle hors de [-2A,2A], et inférieure
ou égale à ε/A sur [-2A,2A]; il en découle:
∧
||ϕ-ϕπ/x||1 ≤ 4ε, puis: 2| f (x)| ≤ 6ε.
51
En analyse à une variable, la propriété suivante donne le comportement de Φ face à la dérivation (on note tn
l'application t → tn):
Prop 2: (d=1), n ≥1:
∧
∧
∧
a) Si f ∈ L1 et si tn.f ∈ L1 , alors f est Cn et pour p ≤ n: ( f )(p)= (it)p.f .
∧
∧
b) Si f ∈ Cn et si f, f ', …, f(n) ∈ L1 , alors pour p ≤ n : f (p) = (-i.x)p. f .
∧
c) Si f ∈ S(R), alors f ∈ S(R) (et les formules précédentes sont valables pour tout entier p).
Démonstration:
a) Sous les hypothèses indiquées, t → tp.f(t) est intégrable pour p ≤ n, puisque majorée en module par la
fonction intégrable t → |f(t)|.1[-1,1](t) + |tn.f(t)|.1R -[-1,1](t). La suite est conséquence immédiate du
corollaire de dérivation sous l'intégrale.
b) Pour n = 1: f ' étant continue et intégrable, f a des limites en +∞ et -∞; f étant intégrable, ces limites
sont nulles; une intégration par parties fournit ensuite la formule demandée. Pour n ≥2, on procède par
récurrence.
c) est conséquence de a et b.
Les résultats se généralisent facilement à d variables; en particulier:
∧
∧
∧ ∧ ∧
Prop 3: Si f ∈ S(Rd), alors f ∈ S(Rd) et ∀α ∈ Nd : Dα( f ) = (it)α.f ; Dαf = (-ix) f .
α
α
δx1
δxd
1
d
δ
δ
α
α
(∀α = (α1,…,αd) ∈ Nd , ∀x = (x1,…,xd) ∈ Rd : xα = x1 1…xd d . Dα = α … α )
1
d
∧
∧
∧
∧
Exemple (d=1): soit f : t → e-t² (∈S); de f '+2t.f = 0 on tire: -i.x. f -2i. f ' = 0, soit donc: 2( f )' + x. f = 0,
∧
∧
∧
puis f (x) = C.e-x²/4 , et, avec f (0) = π : f (x) = π.e-x²/4 .Avec la propriété 1, on obtiendra par exemple:
∧
π -x²/4k
f(t) = e-kt² (k>0):
f (x) =
.e
k
∧
f(t) = e-t²/2 :
f (x) = 2π.f(x)
∧
f(t) = e-k.||t||² :
f (x) = (π/k)d/2.e-||x||²/4k
et dans Rd:
∧
f(t) = e-||t||²/2:
f (x) = (2π)d/2.f(x).
2) Convolution, régularisation et formule d'inversion de Fourier dans L1(Rd) :
a) Convolution:
Soient f,g ∈L 1; (x,y) → f(x-y)g(y) est mesurable sur Rd⊗Rd (opérations …), et d'après le théorème de Tonelli:
⌠⌠
|f(x-y)|.|g(y)|dxdy = ||f||1.||g||1 < +∞ par Tonelli; alors, par Fubini:

⌡⌡
!
∀pp x : y → f(x-y)g(y) est intégrable.
!
x→⌡
⌠f(x-y)g(y)dy définit pp une fonction intégrable, donc un élément de L1(Rd), noté f* g et appelé
produit de convolution de f et g :
(f*g)(x) = ⌠
⌡f(x-y).g(y)dy (∀pp x)
Si f1,g1 ∈ L sont telles que f = f1 pp et g = g1 pp, alors: ∀x, ∀pp y : f(x-y)g(y) = f1(x-y).g1(y); ainsi, on a pour
presque tout x : (f*g)(x) = (f1*g1)(x) (l'égalité a lieu dès que les deux termes sont définis).
1
Ceci permet de définir grâce à ceci et au lemme précédent le produit de convolution comme opération interne
dans L1.
THM: ( L1(Rd), +, . , * ) est une algèbre de Banach.
52
Démonstration:
Pour f, g, h ∈ L1 et α ∈ C, les égalités f*g = g*f , f*(g+h) = f*g + f*h et α(f*g) = (αf)*g sont immédiates,
ainsi que la majoration ||f*g||1 ≤ ||f ||1.||g||1 . Il reste l'associativité:
∀ pp x: [(f*g)*h](x) = ⌠⌠
⌡f(x-y-z)g(z)dzh(y)dy. or:
⌡

+
d
x → ⌠⌠
⌡|f(x-y-z)||g(z)|dz|h(y)|dy = [ (| f | * | g |) * | h | ](x) est dans L (R ), et d'intégrale finie,
⌡

puisqu'égale à ||f||1.||g||1.||h||1 par un calcul déjà fait; on en déduit que
⌠⌠
|f(x-y-z)||g(z)|dz|h(y)|dy est

⌡⌡
fini pour presque tout x , ce qui nous permet d'appliquer le théorème de Fubini:
∀pp x: [(f*g)*h](x) = ⌠⌠
⌡f(x-y-z)h(y)dyg(z)dz = [(f*h)*g](x).
⌡

(a)
Ainsi (dans L1): (f*g)*h = (h*f)*g == (g*h)*f = f*(g*h) (pour (a), réappliquer la formule obtenue).
b) Régularisation:
La fonction Φ : x ∈ Rd → (2π)-d/2.exp( -||x||2 /2) est dans S, positive et d’intégrale égale à 1 .
On pose pour n ≥1 : ϕn(x) = nd.Φ(nx) , de sorte que les ϕn sont dans S, positives et d'intégrales égales à 1.
Soit f ∈ L1 ; pour tout n et presque tout x, on a:
(f*ϕn)(x) - f(x) = ⌠
⌡[f(x-y)-f(x)].ϕn(y).dy,
et donc:
|(f*ϕn)(x) - f(x)| ≤ ⌡
⌠|f(x-y)-f(x)|.ϕn(y).dy ;
alors, avec le théorème de Tonelli:
||(f*ϕn) - f ||1 ≤ ⌠⌡
⌠|f(x-y)-f(x)|dxϕn(y)dy.
⌡

Supposons f ∈ Cc , de support inclus dans une boule B(O,a) (a > 0), et soit ε > 0; la continuité uniforme de f sur
Rd fournit l'existence de α ∈ ]0,1[tel que : ∀x, y , ||y|| < α ⇒ |f(x-y)-f(x)| ≤ ε .
Il suit dans ce cas:
⌠⌠
|f(x-y)-f(x)|dxϕn(y)dy + ⌠⌠
|f(x-y)-f(x)|dxϕn(y)dy


⌡⌡
⌡⌡
||(f*ϕn) - f ||1 ≤
||y||<α
≤
||y||≥α
⌠ ⌠
|f(x-y)|dx + ⌠
|f(x-y)-f(x)|dxϕn(y)dy + ⌠⌠
⌡|f(x)|dxϕn(y)dy

 ⌡
⌡⌡

⌡||x||≤ a+α
||y||≥α
||y||<α
≤
ε.λ(d) [B(O,a+1)] + 2.|| f ||1.
=
ε.(a+1) .Vd + 2.|| f ||1.
⌠
⌡ϕn(y)dy
||y||≥α
⌠
⌡Φ(u)du
d
||u||≥nα
puis ∃N ∈ N , n ≥N ⇒
⌠
⌡Φ(u)du ≤ ε , et par suite, on a, pour n ≥N:
||u||≥nα
||(f*ϕn) - f ||1 ≤ [(a+1)d.Vd + 2.|| f ||1 ].ε.
Ceci prouve que
lim ||(f*ϕn) - f ||1 = 0.
n→ +∞
Revenons au cas général, avec f ∈ L1 ; ε > 0 étant donné, il existe par densité une fonction g ∈ Cc telle que l'on
ait ||f-g||1 ≤ ε ; alors pour n entier, on peut écrire:
53
||(f*ϕn)-f||1 ≤ ||(f*ϕn)–(g*ϕn)||1 + ||(g*ϕn)–g||1 + ||f-g||1 ≤ 2.||f-g||1 + ||(g*ϕn)–g||1 ,
puis, appliquant le résultat précédent à g, on conclut encore:
lim ||(f*ϕn) - f ||1 = 0:
n→ +∞
THM : Si f ∈ L1, alors (f*ϕn) converge vers f dans L1.
Remarque: on retrouve ainsi la densité de S dans L1 à partir de celle de Cc , puisque si f ∈ Cc , les f*ϕn
sont dans S (voir exercices).
c) Formule d'inversion:
Précisons tout d'abord le comportement de la transformation de Fourier face à la convolution:
∧ ∧∧
Prop: Si f, g ∈ L1 : f * g = f . g.
(C'est une conséquence des théorèmes de Tonelli et Fubini, et de l'invariance de l'intégrale de Lebesgue
sur Rd par translation).
∧
∧
∧
1
1
Soit f ∈ L telle que f soit aussi dans L . On peut alors calculer f . Malheureusement, le théorème de Fubini ne
s'applique pas directement dans la formule:
∧
∧
∧
itu
f (x) = ⌠
⌡eix.t. f (t).dt ⌠eixt.⌠
⌡e .f(u).dudt .
⌡


Nous allons utiliser la suite régularisante (ϕn) précédente:
Pour n entier:
il suit:
ϕn(t) = nd.Φ(nt) = nd.(2π)-d/2.e-n².||t||²/2
∧
∧
∧
ϕn(x) = e-||x||²/(2n²) , puis ϕn(t) = (2π)d/2.nd. e-n².||t||²/2 :
∧
∧
∧
∀n: ϕn ∈ S ; ϕn = (2π)d.ϕn ; (ϕn ) est bornée par 1 et converge simplement vers 1 sur Rd.
Posons (fn) = (f*ϕn). On sait que (fn) converge vers f dans L1 ; quitte à en extraire une sous-suite, on peut donc
supposer que (fn) converge presque partout vers f.
Il vient: pour tout x ∈ Rd :
∧
∧ ∧
∧
(1) : ⌠
⌡e-ix.t. f (t).dt = lim ⌠
⌡e-ix.t. f (t).ϕn(t)dt = lim ⌠
⌡e-ix.t.fn(t)dt
n∞
n∞
Fixons maintenant n:
∧
∧
∧
(2) : ⌠
⌡e-ix.t.fn(t)dt = lim ⌠
⌡ϕp(t).e-ix.t. fn(t)dt
p∞
∧
(TCVD avec f ∈ L1 ).
∧
∧ ∧ ∧
∧
(TCVD avec fn ∈ L1 , puisque |fn| = | f .ϕn | ≤ | f | ).
Mais pour p fixé, on a:
∧
∧
∧
∧
-ix.t
⌠
eiu.t.fn(u)dudt = ⌠
ei(u-x).t.fn(u)dudt
ϕp(t).⌠
⌡ϕp(t)e-ix.tfn(t)dt = ⌠
ϕp(t).e .⌠

⌡

⌡

⌡
⌡
=
∧

⌠∧
➀ ⌠⌠ ∧
⌠ϕ∧p(t).⌠eiu.t.fn(u+x)dudt ==
⌡ϕp(t).eiu.tdtfn(u+x)du = ⌡ϕp(u).fn(u+x)du

⌡

⌡


⌡
➁
d
d
= (2π)d. ⌠
⌡ϕp(u).fn(u+x)du == (2π) . ⌠
⌡fn(x-u).ϕp(u)du = (2π) .(fn*ϕp)(x)
∧
∧
➀ : théorème de Fubini, avec ⌠
|ϕp(t)|. ⌠
⌡|fn(u+x)|dudt = ||ϕp||1.||fn||1 < +∞.
⌡


➁ : parité de ϕp et invariance de λ(d) par symétrie.
Donc, avec (2):
54
∧
⌠
⌡e-ix.t.fn(t)dt = lim (2π)d.(fn*ϕp)(x)
p∞
(ce calcul prouve que (fn*ϕp) est définie partout).
Mais nous savons que (fn*ϕp)p converge dans L1 vers fn , et admet donc une sous-suite qui converge presque
partout vers fn ; il en découle, pour tout n et presque tout x :
∧
∧
⌠
⌡e-ix.t.fn(t)dt = (2π)d.fn(x), puis, avec (1): ⌠
⌡e-ix.t. f (t).dt = (2π)d .lim fn(x) = (2π)d.f(x).
n∞
On peut maintenant énoncer le théorème d'inversion et ses premières conséquences:
∧
∧
∧
∧
THM : a) Soit f ∈ L1 telle que f ∈ L1 ; alors : ∀pp x ∈ Rd : f(x) = (2π
π)-d.⌠
⌡e-ix.t. f (t).dt = (2ππ)-d. f (-x).
f est presque partout égale à une fonction de Co. Si f est continue, la formule d'inversion est
vérifiée sur Rd.
b) Φ est une bijection de S dans S, de bijection réciproque (2π
Φos ,
π)-d.Φ
où s désigne l'opérateur f → [x → f(-x)].
c) Φ : L1 → Co est injective mais non surjective; Φ (L1) est dense dans Co .
∧
∧
∧
a) La formule est prouvée. f étant pp égale à x → (2π)-d. f (-x) est bien dans Co (prop 2 appliquée à f ).
Si f est continue, les deux fonctions continues et égales presque partout sont égales.
b) Dans S, [a] s'écrit: Id = (2π)-d. ΦΦs ; vu que Φs = sΦ , il en découle Id = (2π)-dΦsΦ, et tout est dit.
c) L'injectivité est conséquence immédiate de [a]. Φ(L1) est dense dans Co , puisqu'il contient S = Φ(S).
Supposons que Φ soit une surjection de L1 dans Co : Φ sera alors un isomorphisme continu entre les
deux espaces complets L1 et Co , et donc un homéomorphisme linéaire (théorème de Banach), d'où:
∧
∃k > 0, ∀f ∈ L1 : || f ||1 ≤ k.|| f ||∞ .
L'exemple suivant va prouver que c'est impossible:
Pour n ≥1, on note gn: x →
∧
4.sin x.sin nx
: gn = hn avec hn = 1[-1,1] * 1[-n,n] :
2
x
pour x réel, hn(x) = ⌠
⌡1[-n,n](x-y).1[-1,1](y)dy = ⌠
⌡1[x-n,x+n](y).1[-1,1](y).dy = λ( [x-n,x+n]∩[-1,1] ):
hn est continue (affine par morceaux), paire, et ||hn||∞ = hn(0) = 2 , donc:
hn étant continue et intégrable, de transformée de Fourier gn intégrable, la formule d'inversion s'applique
pour tout x:
∧
∧
1 ∧
∀x: hn(x) = .gn(-x), soit donc: gn = 2π.hn , et ||gn||∞ = 4π.
2π
D'autre part, en utilisant la minoration du sinus sur [0,π/2], on a:
+∞
+∞
nπ/2
nπ/2
|sin
x|.|sin
nx|
n.|sin
(u/n)|.|sin
u|
n.|sin
(u/n)|.|sin
u|
|sinu|
16
dx = 8. ⌠
du ≥ 8. ⌠
du ≥
. ⌠
du , et
||gn||1 = 8 ⌠
x2
u2
u2
π ⌡ u
⌡
⌡
⌡
0
0
0
0
donc lim ||gn||1 = +∞ : absurde (pour un exemple en dimension d, on prendra Gn= gn⊗…⊗gn).
n→ +∞
55
Exercices
(fonctions de Rd dans C)
1) Soient f et g ∈L1 ; on suppose que f est de classe Cp (p ≥1), bornée et à dérivées Dαf ( 0 ≤ |α| ≤ p ) bornées.
Alors f*g est de classe Cp et Dα(f*g) = (Dαf )*g pour tout α∈ Nd tel que 0 ≤ |α| ≤ p.
Supposons ||Dαf||∞ ≤ Mα pour 0 ≤ |α| ≤ p. Le corollaire de dérivabilité du théorème de convergence dominée
permet de conclure, avec:
• ∀x : y → f(x-y)g(y) est intégrable, car mesurable et majorée par y → Mo.|g(y)| intégrable.
• ∀y : x → f(x-y)g(y) admet pour 0 ≤ |α| ≤ p une dérivée α-ème: x → Dαf(x-y).g(y).
• ∀α/ 0 ≤ |α| ≤ p, ∀x, ∀y: |Dαf(x-y).g(y)| ≤ Mα.|g(y)| , fonction intégrable.
On notera que l'on a de plus: ∀α / 0 ≤ |α| ≤ p: ||Dα(f*g)||∞ ≤ Mα.|| g ||1.
Remarques:
a) Les hypothèses sont redondantes: si f est bornée et si les Dαf sont bornées pour |α| = p, alors les
dérivées intermédiaires sont bornées.
(pour x donné et h ∈ [0,1]d, la formule de Taylor avec reste de Lagrange fournit l'existence de
p-1 1
θ = θ(x,h) ∈ ]0,1[ tel que: f(x+h) - f(x) - dpfx+θh(h) = ∑ .dkfx(h(k)) = Px(h), où Px est donc un
k=1k!
polynôme de Rp-1[X1,…,Xd], ev de dimension finie des polynômes de degré total ≤ p-1.
L'hypothèse indique que {Px , x ∈Rd} est bornée pour || . ||∞,[0,1]d . Il suffit d'écrire que cet ensemble
est aussi borné pour la norme || . || = max |coeffts|).
1
b) On montre que les résultats du théorème subsistent lorsque f ∈ Cp et g ∈ Lc [voir Zuily; éléments
d'analyse pour l'agrégation p.312]. Attention: il faut définir correctement le support d'une classe de
fonctions mesurables: il s'agit de définir un "supp g" indépendant de la classe de g modulo l'égalité
presque partout. La définition usuelle (adhérence de {x, f(x) ≠ 0}, ou complémentaire du plus grand
ouvert sur lequel f est nulle) ne peut être retenue: par exemple, 1Q = 0 pp et son support serait R .
On est naturellement amené à proposer le complémentaire du "plus grand ouvert sur lequel f est
nulle presque partout"; on définit ce "plus grand ouvert" comme la réunion Ω de tous les ouverts ωi
sur lesquels f = 0 pp, mais il n'est pas évident que f soit nulle sur Ω, puisque la réunion en question
n'est pas dénombrable. (On s'en sort en posant pour n ≥1: Kn = B(O,n) ∩ {x , d(x , Ωc) ≥1/n}
c)
+∞
(compact) et en constatant que Ω = ∪ Kn : chaque Kn pouvant être recouvert par une réunion finie
n=1
d'ouverts ωi, il en est de même de Ω). On consultera par exemple [Brezis, analyse fonctionnelle,
p68] pour les propriétés du support d'une convolée dans ces cas de figure.
1
p
De même, les résultats subsistent si f ∈ Cc et g ∈ Lloc (i.e. ∀K compact: g.1K est intégrable); voir
par exemple [Brezis; ana. fonct. p69].
2) f, g ∈ S ⇒ f*g ∈S : S(Rd) est donc à la fois une algèbre multiplicative et convolutive.
D'après l'exercice précédent, on sait déjà que si f et g sont dans S, f*g est de classe C∞ et pour tout α ∈Nd, on a
Dα(f*g) = (Dαf)*g. Les propriétés de S (stabilité par dérivation et définition) nous ramènent alors à prouver que:
∀f, g ∈ S, ∀p ∈ Nd x → xp(f*g)(x) est bornée (avec la convention 00 = 1).
Il vient, pour f, g ∈ S, x = (x1,…,xd) ∈Rd et p = (p1,…,pd) ∈Nd :
d
d
|xp|.|(f*g)(x)| ≤ ⌠
∏ |xk|pk. |f(x-y)||g(y)|dy ≤ ⌠
∏ ( |xk-yk|+|yk|)pk. |f(x-y)||g(y)|dy
k=1
k=1
⌡
⌡
et ce dernier terme est une combinaison linéaire de termes de la forme:
⌠
⌠|(x-y)α| |f(x-y)||yβ ||g(y)|dy = Iα,β .
⌡|x1-y1|α1…|xd-yd|αd|y1|β1…|yd|βd. |f(x-y)||g(y)|dy = ⌡
56
Pour α et β donnés dans Nd, soit Mα un majorant de t → |tα|.|f(t)| sur
Rd ; il suit:
d
β
β
Iα,β ≤ Mα.⌠
∏ yk-2 ),
⌡|y ||g(y)|dy < +∞ car g est dans S (∃Mβ, ||y|| ≥ 1 ⇒ |y |.|g(y)| ≤ Mβ.k=1
et on conclut.
3) Si f ∈ S et g ∈ Cc , alors f*g ∈ S.
f*g est C∞ d'après l'exercice 1; comme dans l'exercice 2, on se ramène à prouver que pour tout p∈ Nd ,
l'application x → xp(f*g)(x) est bornée. Soit P un pavé hors duquel g est nulle ; on majore |xp|.|(f*g)(x)| par une
α
β
β
combinaison linéaire de termes de la forme: ⌠
⌡|(x-y) | |f(x-y)||y ||g(y)|dy = Jα,β ≤ Mα.⌠
⌡|y ||g(y)|dy < +∞.
P
P
4) Soient f ∈ L1 et g ∈ Lp (1≤p≤+∞); alors (f*g)(x) est défini pour presque tout x, et définit un élément de Lp,
avec ||f*g||p ≤ ||f||1.||g||p.
Le cas p = +∞ est immédiat et le cas p = 1 est vu.
Supposons p > 1: on sait que : ∀pp x fixé, y → |f(x-y)||g(y)|p est intégrable, et par suite:
y → |f(x-y)|1/p.|g(y)| ∈ Lp ;
vu que
y → |f(x-y)|1/q ∈ Lq (q exposant conjugué de p),
l'inégalité de Hölder indique que
y →|f(x-y)||g(y)| ∈ L1 (donc f*g est bien définie pp) et que:
1/p
p
⌠
⌡|f(x-y)||g(y)|dy ≤ ⌠
⌡|f(x-y)||g(y)| dy
1/q
.|| f ||1 ,
puis
p/q
|(f*g)(x)|p ≤ ( |f|*|g|p )(x). || f ||1 , fonction intégrable d'après le cas p = 1;
il suit:
1/p
1/q
(f*g) ∈ Lp et ||f*g||p ≤ || |f|*|g|p ||1 .|| f ||1 ≤ || f ||1.|| g ||p.
Remarque: on peut prouver mieux: si 1 ≤ p, q ≤ +∞ , f ∈ Lp, g ∈ Lq, alors f*g ∈Lr avec
1 1 1
= + -1≥0
r p q
et l'inégalité d'Young: ||f*g||r ≤ || f ||p.|| g ||q. (Chamberloir analyse II p 29)
5) Résolution d'une équation aux dérivées partielles avec conditions aux limites:
La température u(x,t) à l'instant t au point d'abscisse x d'une barre mince et infinie dont la surface est isolée et
dont la température initiale est connue amène à la résolution du problème avec condition initiale suivant:
δu
δ²u
x ∈ R ; t ∈ ]0,+∞[ ; = k.
; u(x,0) = f(x) (f donnée dans L1(R) ).
δt
δx²
Le physicien sait que ce problème admet une unique solution. La suite de calculs formels (i.e. en supposant que
les transformations effectuées sont a priori valides) a pour but d'obtenir cette solution:
d ∧
∧
La transformée de Fourier par rapport à x de l'équation fournit:
u (x,t) = -k.x2. u (x,t) ;
dt
∧
l'équation en t se résout en:
u (x,t) = C(x).e-k.x².t ,
∧
∧
et la condition initiale s'écrivant
u (x,t) = f (x),
∧
∧
∧ ∧
∧
il en résulte
C = f ; u (x,t) = f (x). e-k.x².t = f (x). ϕt(x)
1
x²
avec (calcul effectué avant):
.exp ( ).
ϕt(x) =
4kt
4πkt
57
(1),
Il en découle par injectivité (convolution par rapport à x):
u(x,t) = (f*ϕt)(x)
+∞
+∞
1
(x-s)²
soit donc:
u(x,t) = ⌠
. ⌠f(s).exp( ).ds .
⌡f(s).ϕt(x-s).ds =
4kt
4πkt ⌡
-∞
-∞
+∞
∞
x-s
1
⌠f(x-2y. kt).e-y².dy.
u(x,t) =
.⌡
:
Avec le changement de variable y =
4kt
π
-∞
∞
On vérifie a posteriori que la solution proposée convient (il suffit de valider les calculs en les remontant).
On remarquera que pour x fixé, (f*ϕt) tend bien vers f lorsque t tend vers 0 (utiliser le fait que ⌠
⌡ϕt = 1).
6) Transformation de Laplace bilatérale.
(Les fonctions considérées vont de R dans C).
Soit f ∈ L1loc . On note Af = {z∈C, [t → e-zt.f(t)] ∈ L1}, et on définit la transformée de Laplace de f:
+∞
-zt
L(f) : Af → C , z → L(f)(z) = ⌠
⌡e .f(t).dt.
-∞
a) Af est une "bande verticale" de C (au sens large: ouverte, semi-ouverte ou fermée; "vraie bande", demi-plan
ou plan entier).
b) Si Af ≠∅, et si L(f) est nulle sur Af , alors f est nulle (en tant que classe de fonctions).
c) L(f) est holomorphe sur Int(Af) et on a sur cet ouvert: L(f )' = - L(t.f ).
d) Si f et g ∈L1loc, alors Af∩Ag ⊂ Af*g et L(f * g) = L(f).L(g) sur Af*g.
a) Soient z1 = x1+iy1 et z2 = x2+iy2 dans Af , avec x1 ≤ x2 , et z ∈C tel que x1 ≤ Re z ≤ x2 . Pour presque tout t
réel, on a: |f(t).e-zt|≤g(t) avec g(t) = |f(t)|e-x1t pour t≥ 0, g(t) = |f(t)|e-x2t pour t < 0; g est dans L1 , donc z ∈ Af .
On en déduit le résultat.
+∞
b) Soit x∈Af ∩R ; pour y réel, on a: L(f)(x+iy) = 0 =
-xt
-xt -iyt
⌠
⌡f(t).e .e .dt = Φ(t → e .f(t))(-y). Par injectivité de la
-∞
transformation de Fourier, on en déduit bien que f est nulle (en tant que classe de fonctions).
c) Il suffit de vérifier que f est holomorphe sur une bande quelconque B = { x1 < Re z < x2} incluse dans Af ,
avec x1, x2 ∈ Af , ce qui est assuré par:
- ∀z ∈ B , [ t → e-zt.f(t) ] ∈ L1.
- ∀pp t, z → e-zt.f(t) est holomorphe sur B , de dérivée z → -t.e-zt.f(t).
- ∀pp t , ∀z ∈ B , |e-zt.f(t)| ≤ g(t) , où g est la fonction définie en [a] et est intégrable.
Remarque: ceci prouve en particulier que pour z = x+i.y ∈ Int (Af ), [t → t.f(t).e-zt] est intégrable; on
pouvait constater ce résultat directement:
∃x1, x2 ∈ Af , x1 < x < x2 ; prenant 0 < ε < min (x-x1,x2-x), on obtient :
∀pp t : |t.f(t).e-zt| ≤ | t |.e-ε.| t |.g(t) ≤ C.g(t) ... .
d) Utiliser le théorème de Fubini, ou la propriété connue relativement à la transformation de Fourier.
7)Application aux polynômes orthogonaux
°
I désigne un intervalle non trivial de R , et p une application continue de I dans R, strictement positive sur I .
E = L2(I , Leb(I), p.λ), muni du p.s. usuel < f , g > = ⌠
⌡ f(t) .g(t).p(t).dt et de la norme associée || . ||2 est un
I
espace de Hilbert (vu). On suppose que les fonctions polynomiales sont dans E.
58
Le problème se pose de savoir si l'espace qu'ils engendrent est dense dans E (ce qui, le cas échéant, fournit une
base hilbertienne (Pn) de polynômes par orthonormalisation de la famille (x → xn)); E étant complet, la nondensité équivaut à l'existence d'une fonction f de E non nulle et orthogonale à tous les polynômes.
On sait que si I est compact, la densité est assurée grâce au thm d'approximation de Weierstrass; par exemple, la
famille des polynômes de Legendre est une base hilbertienne de E pour I = [-1,1] et p : x → 1.
On sait par contre donner des exemples où la réponse est négative:
⊥
1/4
1/4
* I = [0,+∞[ ; p : x → exp [- x ] ; on vérifie que f : x → sin (x ) ∈ C[X] .
* I = [0,+∞[ ; p: x → x
-ln x
; idem avec f : x → sin (2π.ln x ).
On suppose que le poids p vérifie la condition suivante:
∃ C ≥ 0 , a > 0 , ∀t ∈ I : p(t) ≤ C.e-a.| t | .
a) Soit f ∈ E et h la prolongée de f.p par 0 hors de I. Montrer que L(h) est définie sur la bande B = {|Re z| < a/2}.
b) En déduire que (Pn) est totale.
a) Soit z ∈ B; il vient, a priori dans [0,+∞]:
|Re z|.| t |
.dt
⌠|h(t)|.|e-zt|dt = ⌡
⌠|f(t)|.p(t).e-(Re z)tdt = ⌠
⌡|f(t)|. p(t). p(t).e
⌡
R
I
I
a
C.⌠|f(t)|. p(t).exp( (|Re z|- )| t | ).dt) < +∞ ,
2
⌡
I
a
puisque t → |f(t)|. p(t) ∈ L2(I) et t → exp ( (|Re z|- ).| t | ) ∈ L2(I) (leur produit est dans L1(I)).
2
≤
Par conséquent, L(h) est bien défini sur B.
b) Soit f ∈C[X]⊥ . On définit h comme précédemment; il suit:
+∞
(n)
n
n
n
n
n
n
∀n≥ 0 : L(h) (0) = (-1) . ⌠
⌡t .h(t).dt = (-1) .⌠
⌡t .f(t).p(t).dt = (-1) .< f , t > = 0 , et L(h) est nulle.
I
-∞
Alors (injectivité): h = 0, puis f = 0. Ainsi, C[X]⊥ = {0} et donc C[X] est dense dans E (E est complet).
Exemples:
I = [0,+∞[ ; p(t) = e-t : polynômes de Laguerre ((a,C) = (1,1) convient).
I = R ; p(t) = e-t² : polynômes d'Hermite ((a,C)= (2,e) convient).
59
3) Transformation de Fourier dans L2(Rd) :
On rappelle que l’espace L2(Rd) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire < f, g > = ⌠
⌡ f .g ; la norme
1/2
2
associée à ce produit scalaire est définie par : || f ||2 = ⌠
⌡| f | 


.
On note Φ* = Φos. On a donc dans S:
Φ Φ* = Φ*Φ
Φ = (2π
π)d.Id.
Le théorème de Fubini fournit immédiatement la formule suivante:
∀f, g ∈ S : < Φ(f) , g > = < f , Φ*(g) >
(la formule est même valable pour f et g dans L1).
Par application de la formule d’inversion, on déduit :
Φ(f)||2 = (2π
π)d/2.||f||2 .
π)d. < f,g > ; ||Φ
∀f, g ∈ S : < Φ(f), Φ(g) > = (2π
L’espace S étant dense dans L2 , le théorème de prolongement des applications linéaires continues permet de
prolonger Φ (et Φ* ) à des opérateurs linéaires continus de L2 sur lui-même (que l’on notera encore Φ et Φ*);
pour des raisons évidentes de continuité, on obtient en résumé les résultats suivants :
Thm de Plancherel : Sur L2 , les opérateurs
(2π
π)-d/2.Φ
Φ : f → [ x → (2π
π) -d/2.⌡
⌠f(t).eixt.dt ]
et
-ixt
(2π
π)-d/2.Φ
Φ*: f → [ x → (2π
π) -d/2.⌠
⌡f(t).e .dt ]
sont deux isométries réciproques et adjointes l’une de l’autre : ∀ f, g ∈ L2 :
a) Φ Φ* f = Φ*Φ
Φ f = (2π
π)d.f .
b) < Φ(f) , g > = < f , Φ*(g) > .
c) < Φ (f), Φ(g) > = (2π
π)d. < f,g > .
2
d) ||Φ
Φ(f)||2 = (2π
π)d/2.||f||2 ( formule de Plancherel : ⌠
Φ(f)|2 = (2π
π)d.⌠
⌡|Φ
⌡|f| ).
∧
sin t
1
Exemple: la transformée de f = .1[-1,1] (∈L2) est f : t →
; la formule de Plancherel fournit:
t
2
∧
On remarquera que f est dans L2, mais pas dans L1.
+∞
sin²t
⌠
⌡ t² dt
-∞
= π.
Remarque: Pour être tout à fait cohérent, il faut rêgler le problème sur L1∩L2 , où une fonction f a a priori deux
transformées de Fourier : celle qui est connue sur L1, et celle qui provient du prolongement de Φ à L2 ; on vérifie
que les deux [classes de] fonctions obtenues sont en fait la même:
Notons pour un instant Φ1 la transformation de Fourier sur L1 et Φ2 celle sur L2 . Φ1 et Φ2 coïncident sur S,
ainsi que Φ1* et Φ2*.
Soit f∈L1∩L2 ; il n'est pas garanti que Φ1(f)-Φ2(f) soit dans L2 , mais avec h: x → e-||x||² , h.Φ1(f) et h.Φ2(f)
2
sont dans L2 ( |h.Φ1(f)|2 ≤ ||f||1.h2 et |h.Φ2(f)|2 ≤ |Φ2(f)|2).
La fonction h ne s'annulant pas, on est ramené à prouver que h.(Φ1(f)-Φ2(f)) est nulle, ce qui est équivalent à
montrer qu'elle est orthogonale à S. Soit ϕ ∈ S; il vient, compte tenu du fait que h.ϕ ∈ S:
< h.(Φ1(f)-Φ2(f)) , ϕ > = < Φ1(f)-Φ2(f), h.ϕ > = < f , Φ1*(h.ϕ)-Φ2*(h.ϕ) > = 0,
d'où le résultat.
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