Th. de la mesure agreg

INTEGRATION
A. Résumé de théorie de la mesure
1. Tribu sur un ensemble non vide
2. Mesure positive sur un espace mesurable
3. Applications mesurables
4. Intégrale associée à une mesure
5. Extension de l'intégrale aux fonctions à valeurs complexes
6. Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann
7. Intégrale associée à une mesure de dénombrement
8. Corollaires du théorème de convergence dominée pour les intégrales dépendant d'un
paramètre
B. Les espaces Lp, 1 ≤ p ≤ +∞
1. Espaces Lp, 1 ≤ p < +∞
2. Sous-espaces denses dans Lp , 1 ≤ p < +∞
3. Espaces L∞
C. Intégration sur un espace produit
1. Tribu produit
2. Mesure produit de deux mesures σ-finies
3. Intégrale associée à une mesure produit
4. Tribus et mesures produit dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue
5. Changement de variable dans une intégrale
D. Mesure image, mesure à densité; intégrales associées
1. Mesure image
2. Mesure à densité
E. Mesure et intégrale associée sur certaines surfaces de R3. Généralisation en
dimension n
1. Vocabulaire et limites de l'étude
2. Construction d'une mesure sur le support d'une nappe paramétrée plongée
3. Invariance par changement de paramétrage
4. Généralisation en dimension n: notion de (n-1)-volume
F. Transformation de Fourier
1. Transformation de Fourier dans L1(Rd)
2. Convolution, régularisation et formule d'inversion dans L1(Rd)
3. Transformation de Fourier dans L2(Rd)

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A) RESUME DE THEORIE DE LA MESURE.
E désigne un ensemble non vide.
1)Tribu sur E : partie T de P(E) contenant ∅, E, stable par réunion et intersection finie ou dénombrable,
complémentarité, différence et différence symétrique.
Conditions suffisantes: pour que T ⊂ P(E) soit une tribu, il suffit que a) ou b) soit vérifié:
a) T contient E, est stable par réunion dénombrable et complémentarité.
b) T contient E, est stable par intersection finie, différence et réunion dénombrable croissante.
Notion de tribu engendrée par une famille de parties de E; de tribu induite sur un sous-ensemble; (E,T) est appelé
ensemble mesurable. Les éléments de T sont les parties mesurables de (E,T).
Tribu borelienne B(X) sur un espace topologique X: c'est la tribu engendrée par les ouverts (ou les
fermés); ses éléments sont les boréliens de l'espace; la tribu induite sur un sous-espace en est la tribu
borélienne.
Tout ouvert de R étant réunion dénombrable et disjointe d’intervalles ouverts, on en déduit quelques
familles génératrices de B(R): {intervalles ouverts}; {intervalles fermés}; { ]-∞ ,x[, x∈R};
{ ]-∞,x], x ∈ R}…
De même : B(Rd) est engendrée par les pavés ∏ ]ak,bk[ ; les pavés ∏[ak,bk], …
2) Mesure (positive) sur un espace mesurable (E,T) : application µ : T → [0,+∞] (muni des opérations et de
l'ordre naturels) telle que µ(∅) = 0 et vérifiant la propriété de σ-addivité (ou additivité dénombrable): pour toute
suite (An) d’éléments deux à deux disjoints de T :
µ 
n=0
∪
+∞ An = n=0
∑
∑∑
∑
+∞ µ(An).
Exemples: Ω ensemble muni de la tribu P(Ω):
• Si a ∈ Ω: mesure de Dirac δa : δa(A) = 1 si a ∈ A, 0 sinon.
• Mesure de dénombrement δΩ : δΩ(A) = Card A (soit donc δΩ = k∈Ω
∑δ
k ).
Propriétés d’une mesure µ sur un espace mesurable (E,T):
Pour A, B, Ao, …, An , … (non nécessairement deux à deux disjoints) dans T :
! A ⊂ B ⇒ µ(B) = µ(A) + µ(B\A) ≥ µ(A) (croissance et différenciation).
! µ(A∪B) ≤ µ(A∪B) + µ(A∩B) = µ(A) + µ(B).
! Si An↑A , alors µ(An)↑µ(A) (monotonie croissante) .
Si An↓ A et s'il existe p tel que µ(Ap) < +∞ , alors µ(An)↓µ(A) (monotonie décroissante).
(Poser Ao = ∅, puis écrire A = ∪ (An+1\An)) ; pour la monotonie décroissante, le résultat devient
faux en général lorsque tous les µ(Ap) valent +∞ ; par exemple avec la mesure de dénombrement
sur N , et An = [[n,+∞[ ).
! µ 
n=0
∪
+∞ An ≤ n=0
∑
∑∑
∑
+∞ µ(An) (sous-additivité dénombrable).
(Immédiat par récurrence si la réunion est finie; utiliser ensuite la monotonie croissante).
Si µ est une mesure sur (E,T), (E,T,µ) est appelé ensemble mesuré. µ est dite σ-finie sur (E,T) s'il existe
une suite (An) croissante d'éléments de T de mesures finies telle que ∪An = E . µ est dite finie si µ(E)
est fini. Si µ(E) = 1, µ est une probabilité sur E.
Les parties de E incluses dans un élément de T de mesure nulle sont dites négligeables .
Une partie négligeable n’est pas toujours mesurable ; lorsque c’est le cas, on dit que l'ensemble mesuré
est complet. Par exemple, si Ω désigne un ensemble non vide, (Ω,P(Ω),δΩ) est complet (la seule partie
négligeable est l'ensemble vide).

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Une sous-partie d’une partie négligeable est négligeable ; une réunion dénombrable de parties
négligeables est négligeable.
Une propriété concernant les élément de E est dite vraie presque partout (en abrégé : pp) si elle l’est
sauf peut-être sur un ensemble négligeable.
Théorème d’unicité : Soient deux mesures µ et η
ηη
η sur (E,T) et R une partie génératrice de T.
Si µ et η
ηη
η sont égales et σ
σσ
σ-finies sur R et si R est stable par intersection finie et différence, alors µ et
η
ηη
η sont égales. Si µ et η
ηη
η sont des probabilités, la stabilité par intersection finie est suffisante.
Ce résultat non immédiat (on ne peut pas explicitement décrire un élément de T à l'aide d'éléments de
R) est très important pour la reconnaissance de mesures, et en particulier des lois de variables
aléatoires ; il est aussi utile pour la démonstration des résultats qui suivent (mesures de Borel et de
Lebesgue sur Rd. On en trouvera une démonstration dans [Buchwalter. Le calcul intégral. P20,21]).
Une construction de la tribu et de la mesure de Lebesgue sur Rd:
Ce qui suit est donné sans démonstrations. On trouvera le détail (construction d’une mesure complète à
partir d’une mesure σ-finie définie sur un anneau) dans [Buchwalter. Le calcul intégral], ou dans
[Rudin; analyse réelle et complexe (p.49)].
• Pour un pavé P = ∏(ak,bk), on pose µ(P) = ∏|bk-ak|, et on prolonge naturellement µ sur l’ensemble
R des réunions finies de pavés disjoints de Rd ; on vérifie que µ a la propriété de σ-additivité sur R,
et est σ-finie sur R (∃ une suite croissante (An) d’éléments de R de mesures finies tq ∪An = Rd).
• On construit la « mesure extérieure » associée par : ∀ E ⊂ Rd :
µ*(E) = Inf { n=0
∑
+∞µ(An) , E ⊂ ∪An , An ∈ R} avec la convention Inf ∅ = +∞.
On constate que µ* prolonge µ, est croissante et σ-sous-additive (µ*( ∪En) ≤ ∑ µ*(En)) , mais n’a
toutefois pas la propriété d’additivité dénombrable.
• On montre que la restriction de µ à B(Rd) (tribu engendrée par R) est une mesure : c’est la mesure
de Borel sur Rd, que l’on note θ(d).
• On montre enfin (à l'aide du théorème d'unicité) qu’il existe une unique plus grande tribu L
contenant R sur laquelle la restriction de µ* est une mesure: c’est la tribu engendrée par R et les
parties négligeables (au sens de µ*), appelée tribu de Lebesgue L(Rd) ; elle contient bien sûr la
tribu borelienne de Rd. µ*|L est la mesure de Lebesgue sur Rd, notée λ(d) .
• λ(d) est complète. Toute partie de Rd incluse dans un hyperplan a une mesure de Lebesgue nulle (un
hyperplan est limite croissante de « pavés » de mesures nulles).
• La mesure de Lebesgue possède les propriétés de régularité extérieure et intérieure suivantes :
• ∀A ∈ L(Rd) : λ(d)(A) = inf { λ(d)(O) , O ouvert contenant A} = sup { λ(d)(K), K cpact ⊂ A}).
• Les parties de Rd λ(d)-mesurables sont exactement les parties E de Rd pour lesquelles il existe
un Fσ (réunion dénombrable de fermés) A et un Gδ (intersection dénombrable d'ouverts) B tels
que l'on ait A ⊂ E ⊂ B et λ(d)(B-A) = 0 (voir Rudin p.49).
Par induction et restriction, on définit de même la tribu et la mesure de Lebesgue (encore notée λ(d), ou
plus simplement λ par commodité) sur une partie mesurable E de Rd .
Remarque : la condition de stabilité par intersection finie dans le théorème d'unicité est essentielle; dans
R par exemple, si ∑ désigne la tribu engendrée par [0,1] et [1,2], les deux mesures θ(1) et δ1 sont égales
sur [0,1] et sur [1,2] mais pas sur leur intersection {1} ∈ ∑.
On trouvera un exemple de partie de R non mesurable au sens de Lebesgue dans [Ru] p51.

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3) Application mesurable entre deux espaces mesurables: application telle que l'image réciproque de toute
partie mesurable soit mesurable.
Pour vérifier qu'une application f de (E,T) dans (E',T') est mesurable lorsque l'on a un système générateur ∑ de la
tribu d'arrivée T', il suffit de vérifier que l'image réciproque par f de tout élément de ∑ est dans T (car dans ce cas
on vérifie que T1 = {B∈ T ' , f -1(B) ∈ T} est une tribu qui contient ∑ , et donc T1 = T ').
• 1A est mesurable ⇔ A est mesurable .
• Une composée de fonctions mesurables est mesurable .
• Une fonction démarrant d’un espace mesuré discret (I,P(I)) est toujours mesurable.
• Si l'espace de départ est complet, une fonction presque partout égale à une fonction mesurable est
mesurable .
( Si f = g sur E\N : f -1(A) = [g-1(A) ∩(E\N)] ∪ [f –1(A)∩N] est mesurable).
Fonctions de (E,T) dans (X topologique, BX) (X = R , [-∞
∞∞
∞,+∞
∞∞
∞] , [0,+∞
∞∞
∞] , C ,…) :
• f continue ⇒ f mesurable (E topologique ici) (mais par exemple 1Q est mesurable).
• Si f est à valeurs complexes, f est mesurable ssi Re f et Im f le sont (si f = g+i.h, pour les
générateurs de BC de la forme I+i.J, on a f -1(I+i.J) = g-1(I)∩h-1(J)).
• Si f, g, f1,…, fn, … sont mesurables et si cela a un sens : f +g , λ.f, fg , max (f,g), min (f,g), f +, f –,
| f | , f/g , sup fn , inf fn ,limfn lim fn , lim fn , n=0
∑
∑∑
∑
+∞ fn , n=0
∏
+∞fn sont mesurables.
(On démontre d’abord ces résultats pour f, g à valeurs dans [0,+∞], à l’aide d’égalités du type :
{f + g < α} = r,s∈Q+,r+s<α
∪ {f<r}∩{g<s} ; {sup f ≤ α} = n
∩ {fn ≤ α} …).
Fonctions étagées: une fonction f : (E,T) → (E',T') est dite étagée si elle est mesurable et ne prend
qu'un nombre fini de valeurs. Les fonctions étagées à valeurs complexes sont de la forme f = k=0
∑
nαk.1Ak
où les αk sont des complexes et (Ak) une partition de E d'ensembles mesurables.
On a le résultat d'approximation suivant:
Thm Toute fonction mesurable et bornée de (E,T) dans C est limite uniforme d’une suite de
fonctions étagées.
(se ramener au cas réel, avec f à valeurs dans [-1,1], et considérer pour n ≥ 1 et k ∈ [[-n,n [[ les
parties mesurables Ak,n = { k/n ≤ f < (k+1)/n}, An,n = {f = 1} puis la suite fn(x) = k= -n
∑
n(k/n).1Ak,n:
on a évidemment ||f-fn||∞ ≤ 1/n pour tout n.
4) Intégrale associée à une mesure µ dans un espace mesuré (E,T,µ) :
On note L+(E,T,µ) = { f : E →[0,+∞], f mesurable} ,en abrégé : L+(E) ( [0,+∞] est muni de sa tribu borelienne).
Nous allons démonstrer qu’il existe une unique application I : L+(E) → [0,+∞], f → I(f) = ⌡
⌠f (notation) telle
que :
! (C1) ∀A ⊂ E , A mesurable : ⌡
⌠1A = µ (A);
! (C2) ∀f, g ∈ L+(E) , ∀λ ∈ R+ : ⌡
⌠f+λg = ⌡
⌠f + λ.⌡ ⌠g (linéarité positive);
! (C3) ∀(fn) ∈ L+(E)N : (fn)↑ f ⇒ ⌡
⌠fn ↑ ⌡ ⌠f (propriété de convergence croissante de Beppo-Levi).

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Les propriétés suivantes sont conséquences immédiates des précédentes pour f, g, fo,…fn,… ∈ L+(E):
! f ≤ g ⇒ ⌡
⌠f ≤ ⌡ ⌠g (croissance; conséquence de C1 et C2 uniquement).
! ⌡
⌠n=0
∑
+∞fn = n=0
∑
+∞ ⌡
⌠fn ( règle des séries pour les fonctions positives) .
! [(fn) ↓ f et ∃ p, ⌡
⌠fp < +∞ ] ⇒ ⌡ ⌠fn ↓ ⌡ ⌠f (convergence décroissante).
! ⌡
⌠f ≤ µ(E).Sup
x∈Ef(x) .
! ⌡
⌠lim fn ≤ lim ⌡
⌠fn (Fatou).
( ⌡
⌠lim fn = ⌡ ⌠ lim↑(Inf
k≥nfk) ==
B.L. lim ⌡
⌠(Inf
k≥nfk) mais pour tout n et tout p ≥ n: Inf k≥nfk ≤ fp , donc
⌡
⌠(Inf
k≥nfk) ≤ ⌡
⌠fp ; par suite: ⌡
⌠(Inf
k≥nfk) ≤ Inf p≥n ⌡
⌠fp et ⌡
⌠lim fn ≤ limInf
p≥n ⌡
⌠fp = lim ⌡ ⌠fn ).
On utilisera si nécessaire des notations plus précises: ⌡
⌠f = ⌡
⌠
E
f = ⌡
⌠f.dµ = ⌡ ⌠f(x) dµ(x).
Soit A une partie mesurable de E. A étant naturellement muni de la tribu et de la mesure induites par
celles de E, l'écriture ⌡
⌠
A
f est donc connue pour f ∈L+(A).
Si f ∈L+(E), on convient de poser ⌡
⌠
A
f = ⌡
⌠
E
f.1A (on vérifiera que la notation est cohérente avec la
précédente; elle consiste à assimiler un élément de L+(A) à sa prolongée par 0 hors de A).
La preuve de l’existence et de l’unicité de I repose sur un résultat d’approximation monotone:
Thm Tout élément de L+(E) est limite d’une suite croissante de fonctions positives étagées sur E.
Démo: Soit f ∈ L+(E). Pour n≥1, on partitionne E avec Ak,n={k.2-n ≤ f < (k+1)2-n}( k = 0,...,n2n-1) et
Bn={f ≥ n}, de sorte que la partition au rang n+1 est emboitée dans la partition au rang n; on pose
fn = k=0
∑
∑∑
∑
n2n-1 k2-n.1Ak,n+ n.1Bn . On vérifie la croissance de (fn):
• Dans Ak,n = A2k,n+1 ∪ A2k+1,n+1 : fn = k
2n et fn+1 ≥ 2k 2n+1 ≥ fn .
• Dans Bn = k=n.2n+1
∪
(n+1)2n+1-1Ak,n+1 ∪ Bn+1 : fn = n et fn+1 ≥ n.2n+1
2n+1 = fn.
On vérifie la convergence de (fn) vers f:
• Si f(x) = +∞, alors ∀n, x ∈ Bn et fn(x) = n → f(x).
• Si f(x) < +∞, alors pour n > f(x): ∃k, x ∈ Ak,n et 0 ≤ f(x) - fn(x) ≤ 2-n : fn(x) → f(x).
Existence et unicité de I :
La définition de I sur les fonctions positives étagées est imposée par (C1) et (C2); l'unicité de I une fois
son existence établie découlera du théorème démontré ci-dessus et de (C3).