M302 : Géométrie affine et euclidienne

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
M302 : Géométrie affine et euclidienne
Notes de cours par Clément Boulonne
L3 Mathématiques 2008 - 2009

Table des matières
1 Structures algébriques 3
1.1 Groupes ........................................ 3
1.1.1 Premières définitions ............................. 3
1.1.2 Homomorphisme de groupes ......................... 3
1.1.3 Groupes opérant sur un ensemble ...................... 4
1.2 Ensembles quotients - groupes quotients ...................... 6
1.3 Produit direct et produit semi-direct ........................ 8
1.4 Espaces vectoriels ................................... 10
2 Espaces affines 12
2.1 Translations ...................................... 13
2.2 Vectorialisé d’un espace affine ............................ 13
2.3 Sous-espace affine ................................... 13
2.4 Dimension, repère affine ............................... 13
2.5 Barycentres et coordonnées barycentriques ..................... 14
2.5.1 Coordonnées barycentriques ......................... 15
2.5.2 Famille affinement libre ............................ 16
2.6 Plongement dans un espace vectoriel ........................ 16
2.7 Droite dans un plan en coordonnées cartésiennes et barycentrique ........ 18
2.8 Intersection et parallélisme .............................. 19
2.9 Applications affines .................................. 21
2.10 Groupes affines .................................... 23
2.11 Le groupe des homothéties et translations ..................... 26
2.12 Projections, symétries ................................ 28
2.13 Affinités et transvections ............................... 29
2.14 Théorèmes principaux pour la géométrie affine ................... 31
2.14.1 Le théorème de Thalès ............................ 32
2.14.2 Le théorème de Ménélaüs .......................... 33
2.14.3 Le théorème de Céva ............................. 35
2.14.4 Le théorème de Pappus ............................ 36
2.14.5 Le théorème de Desargues .......................... 37
3 L’axiomatique de Hilbert 39
3.1 Les axiomes d’incidence ............................... 39
3.2 Les axiomes d’ordre .................................. 40
3.3 Axiomes de congruence ................................ 42
3.4 Le postulat d’Euclide ................................. 43
3.5 Axiomes de continuité ................................ 43
3.6 Compatibilité et indépendance des axiomes ..................... 44
2

4 Espaces euclidiens 46
4.1 Produit scalaire et distance euclidienne ....................... 46
4.2 Orthogonalité ..................................... 47
4.3 Projections et symétries orthogonales ........................ 47
4.4 Formes linéaires, dual, adjoint ............................ 49
4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme ........................ 49
4.5 Isométries ....................................... 49
4.5.1 Déplacements et anti-déplacements ..................... 52
4.5.2 Décomposition canonique .......................... 52
4.5.3 Génératerurs de Isom(E)........................... 53
4.6 Angles ......................................... 55
4.6.1 Angles orientés de vecteurs .......................... 55
4.6.2 Angles orientés de droites .......................... 56
4.6.3 Mesure des angles orientés .......................... 57
4.6.4 Angles géométriques ............................. 57
4.7 Isométrie en dimension 2 et 3 ............................ 60
4.7.1 Classification en dimension 2 ......................... 60
4.7.2 Classification en dimension 3 ......................... 61
4.8 Similitudes ....................................... 62
4.8.1 Similitudes affines ............................... 63
4.8.2 Les similitudes planes et le plan complexe ................. 64
5 Géométrie du triangle et du cercle 66
5.1 Médiatrices, médianes, hauteurs, bissectrices .................... 66
5.1.1 Bissectrices .................................. 67
5.2 Critère de cocyclicité ................................. 69
5.3 Trigonométrie ..................................... 70
5.3.1 Le triangle rectangle ............................. 70
5.4 Cas d’égalité et de similitudes des triangles ..................... 71
5.4.1 Similitudes .................................. 72
6 Géométrie dans l’espace 73
6.1 Produit vectoriel ................................... 73
6.2 Calcul d’aires ..................................... 74
6.3 Les polyèdres convexes réguliers ........................... 75
6.3.1 Polyèdres convexes .............................. 75
7 Groupes de transformations 77
7.1 Géométries ...................................... 77
7.2 Expression analytique dans R2............................ 78
7.3 Isométries fixant une partie ............................. 79
7.3.1 Triangles et quadrilatères dans le plan ................... 79
A Barycentre (par Jean-François Robinet) 80
A.1 L’espace des points pondérés ............................. 80
A.2 Barycentres ...................................... 82
A.2.1 Repères barycentriques ............................ 83
A.2.2 Application : milieu d’un segment, parallélogrammes ........... 83
A.3 Appendices ...................................... 84

4
A.3.1 For the Snark was just a Boojum, you see ! ................. 84
A.3.2 Calcul des coordonnées barycentriques ................... 85

Chapitre 1
Structures algébriques
NB : Les démonstrations manquantes sur certains théorèmes ou propositions sont laissées
en exercice
1.1 Groupes
1.1.1 Premières définitions
Définition 1.1.1. Une opération ∗est une application :
∗:G×G→G
(x, y)7→ x∗y
Définition 1.1.2. Soit Gun ensemble muni d’une opération. On dit que (G, ∗)est un groupe
si :
1) L’opération ∗est associative : ∀a, b, c ∈G,(a∗b)∗c=a∗(b∗c) = a∗b∗c.
2) Existence d’un élément neutre eGtel que ∀a∈G,a∗eG=eG∗a=a.
3) Existence d’inverses : ∀a∈G,∃a0∈Gtel que : a∗a0=a0∗a=eG. En général, on le note
a−1.
Exemple 1.1.1. –(Z,+),(Q,+),(Q∗,×),(R,+),(R∗, x)sont des groupes infinies.
–(Z/nZ,+),((Z/pZ)∗,×)avec ppremier.
– Les matrices inversibles munis du produit des matrices.
–(Mn(K),+)
– Groupes de permutations
Définition 1.1.3. Un sous-ensemble Fde (G, ∗)est un sous groupe si :
1) il est stable par ∗.
2) (F, ∗)a une structure de groupe, c’est-à-dire :
∗:F×F→F
(a, b)7→ a∗b
Proposition 1.1.1. Soit (G, ∗)un groupe et F⊂Galors l’ensemble (F, ∗)est un sous-groupe
si et seulement si : ∀(a, b)∈F×F, on ait : a∗b−1∈F.
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