Introduction `a la Topologie

Introduction `a la Topologie
Licence de Math´ematiques
Universit´e de Rennes 1
Francis Nier
Drago¸s Iftimie

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Introduction
Ce cours s’adresse `a des ´etudiants de Licence en math´ematiques. Il a pour
objectif de donner les bases en topologie indispensables `a toute formation en
math´ematiques. Il ne s’agit pas d’un trait´e complet sur le sujet, qui n’est pas
neuf. De nombreux livres parfois tr`es fournis (ceux donn´es dans la bibliographie
par exemple) existent d´ej`a. Nous avons cherch´e, compte tenu des contraintes de
volume horaire, d’acquis des ´etudiants en premier cycle et d’exigences pour la
suite du cursus, `a d´egager les points cl´es permettant de structurer le travail per-
sonnel de l’´etudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple,
il nous a sembl´e important de ne pas nous limiter aux espaces m´etriques de
fa¸con `a ce que le langage de la topologie g´en´erale ne soit plus un nouvel obstacle
`a franchir (de plus les topologies non m´etrisables arrivent tr`es vite : conver-
gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´e de
cˆot´e, en le signalant, la notion de filtre qui `a ce niveau introduirait plus de
confusion qu’autre chose mais qui apr`es coup ne pr´esentera pas de difficult´e
majeure pour l’´etudiant ayant assimil´e ce cours. De la mˆeme fa¸con, nous avons
´evit´e les discussions autour de l’axiome du choix, nous limitant au niveau de
la th´eorie des ensembles aux op´erations ensemblistes rappel´ees dans le premier
exercice. Ainsi le th´eor`eme de Tychonoff est d´emontr´e dans le cas m´etrisable.
De mˆeme, on ne parle pas du th´eor`eme de Hahn-Banach qui s’int´egre plus
naturellement dans un cours d’Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux
exercices sur la s´eparation des convexes en dimension finie.
Nous avons inclus dans ce texte une liste d’exercices. Ceux-ci de difficult´e vari´ee
r´epondent `a une double n´ecessit´e. Il est important de jongler avec les diff´erents
concepts introduits en cours et mˆeme de faire certaines erreurs une fois pour
bien identifier les pi`eges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements
vers d’autres domaines des math´ematiques (alg`ebre, analyse, g´eom´etrie), cela
afin d’exhiber l’int´erˆet et l’omnipr´esence des arguments topologiques.
Les choses suppos´ees connues correspondent au programme du premier cycle.
Elles interviennent dans les d´emonstrations et dans les exemples qui donnent
corps aux nouvelles d´efinitions. Il s’agit de
1) Techniques ensemblistes : op´erations ensemblistes, relations, fonctions, no-
tion de d´enombrabilit´e.
2) Analyse ´el´ementaire sur la droite r´eelle R: Le corps des r´eels d´efini comme
corps archim´edien contenant Qet v´erifiant la propri´et´e de la borne
sup´erieure, suites r´eelles, intervalles, fonctions continues de Rdans R,
d´erivation.
3) Alg`ebre lin´eaire et bilin´eaire : Espaces vectoriels, bases, applications lin´eaires,
calcul matriciel, d´eterminants, produit scalaire.
4) Fonctions de plusieurs variables, d´eriv´ees partielles.
5) Convexit´e d’un ensemble, d’une fonction.

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D’autres notions intervenant dans les exercices (fonctions holomorphes, diff´erentielle)
seront rappel´ees, si besoin est, en Travaux Dirig´es.
Conseils pratiques aux ´etudiants : Ce polycopi´e ne dispense pas d’assister
aux amphis ni de prendre des notes compl´ementaires. Il est l`a pour ´eviter
un travail de copie qui empˆeche parfois de se concentrer sur les explications
donn´ees oralement. Ce cours pr´esente au moins deux difficult´es : 1) Pour les
´etudiants venant du DEUG, c’est la premi`ere fois qu’ils sont s´erieusement
confront´es `a une d´emarche axiomatique. Se convaincre de l’int´erˆet des notions
abstraites et identifier leur domaine de validit´e demande du travail. Une fa¸con
de faire est de chercher `a r´esoudre le maximum d’exercices par soi-mˆeme. 2) Un
vocabulaire nouveau et pr´ecis doit s’acqu´erir. Il est important de comprendre et
apprendre le cours au fur et `a mesure. Une bonne fa¸con de tester l’assimilation
du cours est de le refaire mentalement `a partir de la table des mati`eres bien
d´etaill´ee. L’index donn´e en fin de polycopi´e aidera `a revenir rapidement sur
une d´efinition ou un ´enonc´e pr´ecis.
Nous tenons `a remercier Jacques Camus dont le polycopi´e pr´ec´edent et les
conseils nous ont aid´es `a calibrer ce cours, ainsi que Karim Bekka, Bas Edix-
hoven, Isabelle Gruais, Jean-Marie Lion, Laurent Moret-Bailly, Michel Pierre
et Jean-Claude Tougeron dont les suggestions et remarques ont ´et´e utiles.

Table des mati`eres
1 Espaces m´etriques,
Espaces topologiques. 1
1.1 Espacesm´etriques.......................... 1
1.1.1 D´efinitions.......................... 1
1.1.2 Propri´et´es de la distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Boules............................ 2
1.1.4 Parties born´ees, fonctions born´ees . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 Exemples .......................... 3
1.1.6 Distance entre deux parties, diam`etre . . . . . . . . . . . 5
1.1.7 Norme, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 D´efinition, ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Topologie des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Ferm´es............................ 8
1.2.4 Exemples d’espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Voisinages.......................... 9
1.2.6 Bases d’ouverts, bases de voisinages . . . . . . . . . . . . 10
1.2.7 Sous-espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Adh´erence, int´erieur, ext´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Adh´erence.......................... 13
1.3.2 Int´erieur........................... 14
1.3.3 Fronti`ere........................... 15
1.4 Limites................................ 16
1.4.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Espace topologique s´epar´e, unicit´e de la limite . . . . . . 17
1.4.3 Limite et adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Continuit´e.............................. 21
1.5.1 Continuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Propri´et´es .......................... 22
1.5.3 Continuit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Hom´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Uniforme continuit´e et Lipschitz continuit´e . . . . . . . . 24
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