endomorphismes nilpotents

uk=u|Ik:Ik→Ik+1 Im uk=u(Ik) = u(uk(E)) = uk+1(E) = Ik+1
Ker uk=Ik∩Ker u
dim Ik= rg(uk) + dim Ker uk= dim Ik+1 + dim(Ik∩Ker u)
ak= dim(Ik∩Ker u)≥0Ik+1 ⊂Iku(E)⊂E uk(u(E)) ⊂uk(E)
ak(dim Ik)N
(ak)
d= inf{k∈N/ak= 0}(ak)ak>0
k < d ak= 0 k≥d(dim Ik)d
0
rg uk+ dim Ker uk= dim E= rg uk+1 + dim Ker uk+1,
dim Ik−dim Ik+1 = dim Ker uk+1 −dim Ker ukdim Ker(uk)
d n
dim Ikd0 =
dim Id≤dim I1−d+ 1 d≤rg u+ 1 ≤n
dim Im up+ dim Ker up=n x ∈Im up∩Ker up
y∈E x =up(y) 0 = up(x) = u2p(y)y∈Ker u2p= Ker up
p x =up(y)=0 E= Ker up⊕Im up
u up= 0 u
Xqu E
T u
λ λp= 0 T
(ei)1≤i≤nE T
u(e1) = 0 u(ei)∈Vect(e1· · · , ei−1)i≥2
uk(ei) = 0 i≤k uk(ei)∈Vect(e1,· · · , ei−k)i≥k+ 1
un= 0 u
χu=Xnu

u E T u
tr uk= tr Tk= 0 Tk
Etr uk= 0 k
u
dim E= 1 tr u= 0 u= 0
dim E=n
0 = tr(χu(u)) = tr un+an−1tr un−1+· · · +a1tr u+ (−1)ndet utr In=n(−1)ndet u
n v ∈(Ker u)\ {0}F Kv
E π F Kv dim F=n−1u0=π◦u|F
u02=π◦u|F◦π◦u|F=π◦(u2)|Fu0k=π◦(uk)|F
(e2,· · · , en)F T 0u0
(v, e2,· · · , en)E u
0∗ · · · ∗
0T0
n K In
(λIn+V)k3P∈Gl(C)
V=PTP−1T(λIn+T)k=
P−1(λIn+V)kP(λIn+T)kλkIn
(λIn+V)kλk|λ|<1λ= 1
|λ|<1
k(λIn+V)kk ≤ k X
p≤d
Cp
kλk−pVpk ≤ X
p≤d
Cp
k|λ|k−pkVkp≤(d+ 1)kd|λ|k−dX
p≤d
kVkp,
(λIn+V)k→0
λ= 1 In+V In+T In+V1
(In+V)kA A
Gln(C) (In+V)−k+1 A−1Mn(C)
In+V= (In+V)k(In+V)−k+1 →A×A−1=InV= 0
(λIn+V)k|λ|<1 0 λ= 1 V= 0
A∈ Mn(C)uCnA χA=Qp
i=1(X−λi)αiEi=
Ker(X−λi)αiE=⊕p
i=1Eiu(Ei)⊂Eiu|Ei=λiId|Ei+ViViAk
(λiId|Ei+Vi)kL(Ei)i
Ak
ρ(A)<1
ρ(A) = 1 1 A1A
1
ρ(A)< R  > 0λ=ρ(A) +  < R kakAkk ≤ |akλk|
A
λk
ρ(A/λ) = ρ(A)/λ < 1|
A
λk
→0Pkakλkλ<R
PkakAk

ρ(A)> R x ∈Cn\ {0}λ∈C|λ|> R u(x) = λx
Pk≤NakAkx=Pk≤Nakλkx|λ|> R Pkakλk
PkakAk
Fd−1=e(d−1)
1,· · · , e(d−1)
ad−1Id−1u(Id−2) = Id−1
(a(d−2)
1,· · · , e(d−2)
ad−1)Id−2u(e(d−2)
i) = e(d−1) i
dim(Ker u∩Id−2) = ad−2Id−1⊂Ker u∩Id−2u(Id−1) = ud(E) = {0}
Ker u∩Id−2Gd−2=e(d−1)
1,· · · , e(d−1)
ad−1, e(d−2)
ad−1+1,· · · , e(d−2)
ad−2Fd−2=
e(d−2)
1,· · · , e(d−2)
ad−2, e(d−1)
1,· · · , e(d−1)
ad−1u
Fd−1Gd−2Id−2
u(Id−3) = Id−2(a(d−3)
1,· · · , e(d−3)
ad−2)Id−3u(e(d−3)
i) =
e(d−2)
idim(Ker u∩Id−3) = ad−3(Ker u∩Id−2)⊂Ker u∩Id−3
Ker u∩Id−3Gd−3=Gd−2∪e(d−3)
ad−2+1,· · · , e(d−3)
ad−3
Fd−3=e(d−3)
1,· · · , e(d−3)
ad−3, e(d−2)
1,· · · , e(d−2)
ad−2, e(d−1)
1,· · · , e(d−1)
ad−1
u Fd−2
Gd−3Id−3
I0=Ee(0)
1,· · · , e(0)
a0,· · · , e(d−1)
1,· · · , e(d−1)
ad−1
u(e(aj)
i) = e(aj+1) ii≤aj+1 u(e(aj) i)=0 i≥aj+1 + 1
e(d−1)
1,· · · , e(0) 1,· · · , e(d−1)
ad−1,· · · , e(0) ad−1, e(d−2)
ad−1+1,· · · , e(0) ad−1+1,· · · , e(d−2)
ad−2,· · · , e(0) ad−2,· · ·
· · · , e(1)
a2+1, e(0) a2+1,· · · , e(1)
a1, e(0) a1, e(0)
a1+1,· · · , e(0)
a0,
E u
χuE u
u λId +N N E
N
E u
M∈ Mn(C)uCnM
B1E u
e(d−1)
1,· · · , e(0) 1,· · · , e(d−1)
ad−1,· · · , e(0) ad−1, e(d−2)
ad−1+1,· · · , e(0) ad−1+1,· · · , e(d−2)
ad−2,· · · , e(0) ad−2,· · ·
· · · , e(1)
a2+1, e(0) a2+1,· · · , e(1)
a1, e(0) a1, e(0)
a1+1,· · · , e(0)
a0
uB2E
e(0)
1,· · · , e(d−1) 1,· · · , e(0)
ad−1,· · · , e(d−1) ad−1, e(0)
ad−1+1,· · · , e(d−2) ad−1+1,· · · , e(0)
ad−2,· · · , e(d−2) ad−2,· · ·
· · · , e(0)
a2+1, e(1) a2+1,· · · , e(0)
a1, e(1) a1, e(0)
a1+1,· · · , e(0)
a0,
utMatB1u M tM
M2M λ M 2λ M
M n M
0χMCχM=XnM
M(e1,· · · , en)E
uCnM J

u(e1,2e2,· · · ,2n−1en) 2J J 2J M
2M
M∈ Mn(C)Q Q(M) =
0PkMP −1
kA∈ Mn(C)Q(A) = Q(PnMP −1
n) = PnQ(M)P−1 n= 0
A M χA(X) = det(XIn−A) =
limk→+∞det(XIn−PkMP −1
k) = χM(X)
M A A M
M∈ Mn(C)Q Q(M) = 0
PkMP −1
kA∈ Mn(C)Q(A) = Q(PnMP −1
n) = PnQ(M)P−1 n= 0 A
M χA(X) = det(XIn−A) =
limk→+∞det(XIn−PkMP −1
k) = χM(X)
M A A M
M
M D +J D
J6= 0 PkD(1, k, · · · , kn−1)
Pk(D+J)P−1
k=D+J/k →D D M
M