Angles et trigonométrie

Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer
♠ Exercice 1 .
1) a) Quelle est la distance parcourue sur un cercle de rayon 1 à partir de si on fait 1 tour
complet ? Un demi tour ? Un quart de tour ? Un sixième de tour ? [Introduction du radian]
b) A quels angles ces distances correspondent-elles ? (mettre dans un tableau)
Distance parcourue, mesurée en
nombres de tours 1 tour Un demi
tour
Un quart de
tour
Un sixième
de tour
Distance parcourue = Longueur
de l'arc de cercle
2
2
1
π
3
Mesure de l'angle en radians
2
2
1 ...
Mesure de l'angle en degré 360° 180° 90° ≈57,3° 60°
2) Charles, Thierry et Juliette vont faire une pique nique. Ils suivent un chemin circulaire dans la
forêt de rayon 1 km. Ils se donnent RV à
π
4
de l'entrée.
a) Thierry ne rejoint pas les deux autres. Pourquoi ? [introduire sens trigonométrique,
différence entre angles géométriques et angles orientés]
b) Farceurs, ils donnent RV à Enguerrand
π
4+6π
km de l'entrée. Enguerrand pique-niquera-t-
il avec eux ? [ introduire : Plusieurs mesures pour un même angle notées
α+2 k π
]
c) Une autre façon d'être sûrs de se retrouver est de donner les coordonnées du point de RV.
« RV au point de coordonnées (x, y) » est sans ambiguïté ! [ introduire le cos et le sinus d'un
angle]. Quelles sont les coordonnées du lieu de pique-nique ? Et celles de l'endroit où les attend
Thierry ? [ Angles associés]
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 1

Ch 9 Trigonométrie 1ère S
Table des matières
I.Le cercle trigonométrique......................................................................2
A.enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique............................................................................2
B.Le radian..................................................................................................................................................................3
C.cosinus et sinus d'un nombre réel............................................................................................................................4
II.Angles orientés................................................................................4
A.Mesures d'un angle orienté......................................................................................................................................4
B.Cosinus et sinus d'un angle orienté..........................................................................................................................4
C.Propriétés des angles orientés..................................................................................................................................4
III.Lignes trigonométriques......................................................................6
A.Valeurs remarquables (à connaître!)........................................................................................................................6
B.Propriétés.................................................................................................................................................................6
C.Angles associés........................................................................................................................................................7
D.Équations trigonométriques.....................................................................................................................................7
E.Formules d'addition et de duplication......................................................................................................................7
IV.Repérage polaire d'un point du plan. [plus au programme].................................8
Objectifs du chapitre
Cochez ce qui est acquis pour vérifier que vous êtes au point sur ce chapitre.
 Notions à connaître : cercle trigonométrique, radian, sens trigonométrique.
 Connaître les valeurs remarquables de sinus et cosinus, par exemple
sin
(
π
3
)
ou
cos
(
π
4
)
 Définition de la mesure d'un angle orienté.
 Savoir trouver la mesure principale d'un angle orienté.
 Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les sinus et cosinus d'angles associés, par
exemple savoir exprimer
cos(x+π)
en fonction de
cos x.
 Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre dans
ℝ
des équations de la forme
cos x=cos a
ou
sinx=sin a.
trouver la mesure principale d'un angle orienté.
I. Le cercle trigonométrique.
A. enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Définition: Le plan est rapporté à un repère
O; i, j
orthonormé.
Le cercle de centre O et de rayon 1 est appelé cercle trigonométrique. Le sens inverse des aiguilles d'une
montre est appelé le sens direct (positif).
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 2

Définition : L'enroulement de la droite des réels
sur le cercle trigonométrique permet de repérer
chaque point M du cercle par un unique réel t de
l'intervalle
]–;]
.
En enroulant la droite des réels sur le cercle, on
se rend compte que plusieurs réels repèrent le
point M, ils sont de la forme
t2k
avec
k∈ℤ
.
B. Le radian
Définition: Le radian est une mesure d'angle proportionnelle au degré et caractérisée par
πrad =180∘
Intérêts du radian :
•Un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle
α
a pour longueur
Rα
à condition que
l'angle
α
soit exprimé en radian. Si
α
soit exprimé en degrés, la longueur de l'arc est
Rαπ
180
.
•La dérivée de
xcos x
est
x−sin x
condition que
x
soit exprimé en radian et c'est
x−π
180 sin x
si
x
est exprimé en degrés. (idem pour la dérivée de sinus)
Soit l, la longueur de l'arc de cercle AM. Si
l=1,
on définit l'angle
AOB
comme mesurant 1 radian.
Définition: Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un
arc de cercle de longueur 1 unité.
On a le tableau de correspondance suivant :
Longueur de l'arc
2
2
1 ...
Mesure de l'angle en radians
2
2
1 ...
Mesure de l'angle en degré 360° 180° 90° ≈57,3° ...
On remarque que sur un cercle trigonométrique, si
0x2
alors
l=x
.
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 3

C. cosinus et sinus d'un nombre réel
II. Angles orientés
A. Mesures d'un angle orienté
Définition:
u= OM
et
v= ON
sont deux vecteurs non nuls. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent
le cercle trigonométrique en A et B. Au couple
OA ; OB 
, on associe une famille de nombres de la
forme
+2kπ
, (k ∈ ℤ), où
est la longueur (
⩾0
) de l'arc de cercle AB, parcouru de A vers B
dans le sens direct.
Chacun de ces nombres est une mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs
u; v
.
On note
u; v
un angle de vecteurs. On écrira
u; v= 
6mod 2
.
Propriété: Un angle orienté
u; v
a une unique mesure  appartenant à l'intervalle
]–;]
, on
l'appelle mesure principale de l'angle.
Les autres mesures sont les réels
2k
, avec k ∈ ℤ.
B. Cosinus et sinus d'un angle orienté
C. Propriétés des angles orientés.
Propriété:
u
,
v
et
w
sont des vecteurs non nuls.
v; u=– u; vmod 2
u; v v; w= u; wmod 2
. (Relation de Chasles)
Propriété:
u
et
v
non nuls sont colinéaires ⇔
u; v=0mod 2
ou
u; v= mod 2
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 4

Propriété:
u
et
v
non nuls sont colinéaires ⇔
− u;− v= u; vmod 2
.
Propriété: Soit C un cercle de centre O passant par A et B. Pour tout point M (≠A et B) du cercle, on a :
OA ; OB =2 MA; MBmod 2
.
Autrement dit, en divisant par 2 (y compris le modulo
π
!),
(
⃗
MA;
⃗
MB)=1
2(
⃗
OA;
⃗
OB)mod (π)
Démo : On a dans AMO,
MA; MO AO ; AM  OM ; OA= mod 2
or
MA; MO= AO ; AM 
(triangle isocèle)
donc
2 MA; MO=− OM ; OAmod 2 
(1)
De même dans OBM, on a
OB ; OM  BM ; BO  MO ; MB= mod 2
or
MO ; MB= BM ; BO
(triangle isocèle)
donc
2 MO ; MB=− OB ; OM mod 2
(2)
En ajoutant (1) et (2), on obtient :
2 MA; MO2 MO ; MB=2– OB ; OAmod 2
.
Soit
2 MA; MB= OA; OBmod 2
COURS 1ère S Mme Helme-Guizon 5