I- FONCTION POLYNÔME 1) Définition 2) Egalité de deux polynômes

COURS N°2 : POLYNÔMES
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I- FONCTION POLYNÔME
1) Définition
Définition 1 : on appelle fonction polynôme ( ou « polynôme » tout court ) toute fonction
définie sur  dont l’expression peut s’écrire sous la forme :
.
→ a0 ; a1 ; … ; an sont des réels appelés les coefficients du polynôme.
→ a0 est le terme constant.
→ Un terme  est appelé un monôme de degré k.
Définition 2 : soit le polynôme P défini sur  par 
, si
le coefficient  du monôme de degré le plus grand n’est pas nul, alors
n est le degré du
polynôme.
Exemple 1 :
→ La fonction P définie sur  par 75311 est une fonction
polynôme de degré 6.
→ La fonction affine R définie sur  par  avec a et b des réels, est
une fonction polynôme de degré 1.
→ La fonction affine S définie sur  par , est une fonction polynôme de
degré 0.
→ La fonction affine T définie sur * par 
 n’est pas une fonction
polynôme (une fonction polynôme est nécessairement définie .
2) Egalité de deux polynômes
Définition : deux polynômes R et S définis sur  sont égaux signifie que pour tout x de
 nous avons R(x) = S(x).
Exemple 1 : soient deux polynômes R et S définis sur  par :

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Théorème ( admis ) : soient deux polynômes R et S définis sur ,R est égal à S si et
seulement si les termes de même degré de P et Q sont égaux.
Exemple 2 :
Remarque :
3) Racine d’un polynôme
Définition : on appelle racine d’un polynôme P défini sur , tout nombre réel  tel que
P() = 0. Autrement dit, une racine de P est une solution de l’équation P(x) = 0 dans .
Exemple 1 : soit le polynôme P défini sur  par 211² 18 9.
Remarques :
→ Une fonction polynôme P du premier degré définie sur  par P(x) = ax + b, admet
une seule racine x0 = - 
.
→ Certaines fonctions polynômes n’ont aucune racine réelle. Par exemple, la
fonction P définie sur  par P(x) = x² + 1.

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Théorème ( admis ) :
4) Factorisation d’un polynôme par (x – a)
Théorème ( admis ) : si un polynôme P défini sur  et à coefficients réels de degré n , a
une racine réelle , alors on peut factoriser P(x) par  et on obtient :
où Q est une fonction polynôme de degré (n – 1)
Exemple 1 : identification des coefficients
On considère le polynôme P défini sur  par : P(x) = 3x4 – x3 + x² + 11x + 6.
P
P
G
G

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Exemple 2 : division euclidienne
On considère le polynôme R défini sur  par : R(x) = X4 – 7X3 + 17X² - 17X + 6.
Exemple 3 : soit le polynôme P défini sur  par P(x) = x3 – 7x + 6.
1. Calculer P(2) et P(1). Que peut-on en conclure ?
2. Factoriser l’expression de P.
R
R
R

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Application : résolution d’équations polynomiales
On souhaite résoudre une équation de degré 3. Si on trouve une solution de cette équation,
alors on pourra factoriser et résoudre éventuellement l’équation intégralement. La
représentation graphique peut parfois permettre de faire une conjecture sur une solution
simple, conjecture qui se confirme ou non à l’aide d’un calcul simple.
Dans certains cas, cette méthode permet de résoudre des équations de degré 3 ou plus.
Exemple : soit l’équation 1
26120
9 On trace, à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice, la représentation graphique
de la fonction polynôme P(x) = 
6120.
On peut faire la conjecture que 2
est une racine de P. On vérifie
cette conjecture en calculant P(2).
On trouve P(2) = 0. D’après le
théorème précédent, on en déduit
que P(x) se factorise par (x – 2).
9 Par la méthode par identification (vue précédemment), on trouve :
21
2²6
9 L’équation P(x) = 0 est alors équivalente à x – 2 = 0 ou 
x² - 6 = 0.
9 L’équation x – 2 = 0 a une solution : 2.
9 L’équation 
x² - 6 = 0 a deux solutions : 2
√32 √3.
9 L’équation 
x3 – x² - 6x + 12 = 0 a donc trois solutions : 2 ; 2√3 et 2√3.