Probabilités

Probabilités
1 Equiprobabilité sur un ensemble fini, dénombrement 4
1.1 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quelques dénombrements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Produit cartésien, listes ordonnées et règle du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Permutations et listes ordonnées sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Arrangements et tirages ordonnés sans remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Coefficients binomiaux, parties d’un ensemble et tirages non ordonnés . . . . . . . . . . . . 10
2 Espace de probabilité 12
2.1 Tribuetévénements ............................................ 13
2.2 Probabilité ................................................. 13
2.3 Probabilité sur un ensemble discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Caractérisation........................................... 15
2.3.2 Rappels sur les séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Un exemple d’ensemble infini non dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Probabilité à densité sur R........................................ 18
3 Indépendance d’événements et probabilité conditionnelle 20
3.1 Indépendanced’événements ........................................ 21
3.1.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Indépendance d’une famille d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Application : le jeu de pile ou face, ou schéma de Bernoulli fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Probabilité d’un événement élémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Probabilité d’obtenir kpiles.................................... 23
3.3 Probabilitéconditionnelle ......................................... 23
3.3.1 Définition.............................................. 24
3.3.2 Propriétés.............................................. 25
3.4 Complément................................................. 26
3.4.1 Le jeu infini de pile ou face, ou schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Notiondepresquesûr ....................................... 27
4 Premier TP. Prise en main de Scilab, premières simulations 28
4.1 Priseenmain................................................ 28
4.2 Premièressimulations ........................................... 30
4.2.1 Histogramme pour le générateur rand() de loi uniforme sur [0,1] ............... 30
4.2.2 Simulation de lancers d’un dé équilibré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Evolution de la proportion de pile dans une suite de lancers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1

5 Variables aléatoires réelles 33
5.1 Variablealéatoireréelle .......................................... 34
5.1.1 Définitions ............................................. 34
5.1.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.3 Variablealéatoireàdensité .................................... 35
5.1.4 Autres variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Simulation de variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Exemples de simulation de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Exemples de simulation de variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Espérance et variance des variables aléatoires réelles 38
6.1 Espérance des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.1 Définitions ............................................. 39
6.1.2 Propriétésdel’espérance ..................................... 40
6.1.3 Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Variance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Calculs pour les v.a. discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3.1 Loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1] ............................. 43
6.3.2 Loi binomiale de paramètres n∈N∗,p∈[0,1] .......................... 43
6.3.3 Loi uniforme sur {0, . . . , n}.................................... 44
6.3.4 Loi de Poisson de paramètre λ∈]0,∞[.............................. 44
6.3.5 Loi géométrique de paramètre p∈]0,1] .............................. 45
6.4 Calculs pour les v.a. à densité classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4.1 Loisuniformes ........................................... 46
6.4.2 Loisexponentielles......................................... 46
6.4.3 Loisnormales............................................ 47
7 Second TP. Autour des variables aléatoires 49
8 Vecteur aléatoire discret et indépendance entre variables aléatoires discrètes 52
8.1 Vecteur aléatoire de R2.......................................... 53
8.2 Calculdesloismarginales ......................................... 54
8.3 Théorème de transfert pour un vecteur aléatoire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4 Espéranceetcovariance .......................................... 55
8.5 Indépendance de deux variables aléatoires : définitions et critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.6 Indépendanceetcovariance ........................................ 58
8.7 Indépendance de plusieurs variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.8 Loi d’une somme de variables aléatoire indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.8.1 Sommes de variables de Bernoulli indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.8.2 Sommes de variables de Poisson indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9 Théorèmes limite 61
9.1 Lois faible et forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.1 Loi faible des grands nombres : énoncé et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.2 Démonstration de la loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1.3 Applications aux intervalles de fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1.4 Loifortedesgrandsnombres ................................... 64
9.2 Théorèmedelalimitecentrale ...................................... 64
9.2.1 Enoncéetcommentaires...................................... 64
2

9.2.2 Applications aux intervalles de fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.2.3 Approximation de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.3 Initiation à l’estimation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.3.1 Modélisationprobabiliste...................................... 67
9.3.2 Estimation à l’aide de la loi des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3.3 Contrôle de l’erreur d’approximation à l’aide de la loi faible des grands nombres. . . . . . . 68
9.3.4 Contrôle de l’erreur d’approximation à l’aide du théorème central limite. . . . . . . . . . . . 69
3

Chapitre 1
Equiprobabilité sur un ensemble fini,
dénombrement
Sommaire
1.1 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quelques dénombrements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Produit cartésien, listes ordonnées et règle du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Permutations et listes ordonnées sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Arrangements et tirages ordonnés sans remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Coefficients binomiaux, parties d’un ensemble et tirages non ordonnés . . . . . . . . . . 10
Objectifs :
•Savoir manipuler des ensembles, des parties et les opérations simples sur les ensembles.
•Savoir passer de la description non mathématisée d’une expérience aléatoire équiprobable à une formalisation
mathématique.
•Savoir faire des dénombrements simples.
Mots-clés :
•Ensemble fini, cardinal.
•Probabilité uniforme sur un ensemble fini.
•Produit cartésien d’ensembles, n-uplet.
•Nombres de combinaisons, nombre d’arrangements, nombre de permutations.
4

Pour décrire une expérience aléatoire, on commence par décrire l’ensemble Ωdes résultats possibles. Un événement
est alors un sous-ensemble de Ω:
BExemple. Lancer d’un dé à six faces. On peut modéliser cette expérience par l’univers Ω = {1,2,3,4,5,6},
dans lequel on liste les résultats possibles de l’expérience. L’événement "le résultat est divisble par 3" correspond
à la partie {3,6}.
Pour décrire complètement l’expérience aléatoire, il faut dire aussi quelle est la probabilité de chacun des résultats
de l’expérience. Un cas particulèrement simple est celui de l’équiprobabilité, dans lequel toutes les issues possibles
ont la même probabilité de se réaliser :
Définition 1.1 Soit Ωun univers fini. L’ équiprobabilité, ou probabilité uniforme, sur Ω, est l’application
P:P(Ω) →[0,1] qui à une partie Ade Ωassocie
P(A) = Card(A)
Card(Ω) .
On remarque que tous les singletons ont la même probabilité 1/Card(Ω), ce qui justifie le terme d’équiprobabilité
ou de probabilité uniforme. Dans ce cadre, le calcul de la probabilité d’un événement se ramène au dénombrement
d’ensembles, c’est-à-dire au calcul de cardinal d’ensembles finis.
BExemple. Si on veut modéliser un lancer de dé équilibré, on va prendre pour Pl’équiprobabilité :
P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1
6.
Par exemple, on peut calculer
P(« résultat divisible par trois ») = P({3,6}) = 2
6=1 3.
Dans ce chapitre, nous rappelons un certain nombres d’opérations sur les parties d’un ensemble et nous intro-
duisons certains dénombrements élémentaires. Mais nous verrons plus tard la définition générale d’un espace
de probabilité, qui permettra de modéliser des expériences aléatoires plus générales (avec un nombre d’issues
possibles infini, ou non-équiprobables)
1.1 Opérations sur les parties d’un ensemble
Pour décrire un ensemble, on peut donner la liste de ses éléments entre accolades : c’est ce qu’on appelle la
définition en extension. Un ensemble n’est pas ordonné, ainsi {1,3,2}et {1,2,3}décrivent le même ensemble.
Dans cet exemple, 2est un élément de {1,2,3}, ce qui se note
2∈ {1,2,3}et se lit « 2appartient à {1,2,3}.
{1,3}est une partie ou un sous-ensemble de {1,2,3}; on dit que {1,3}est inclus dans {1,2,3}, ce qui se note
{1,3}⊂{1,2,3}.
On peut aussi définir un ensemble en compréhension, c’est-à-dire en donnant la ou les propriétés qui caractérisent
ses éléments :
{2,4,6}={x∈ {1,...,7}: 2 divise x}.
Quelques ensembles usuels en mathématiques :
– l’ensemble vide qui ne contient aucun éléments : ∅={},
– l’ensemble des entiers naturels N={0,1,2, ...}.
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