Solutions de quelques exercices

Chapitre 6 page S.31
Section 6.9 . Vous trouverez les solutions aux numéros 1, 4, 7, 11, 22, 26, 33, 39, 42, 50, 55, 60, 63 et 64.
1- On utilise la relation s r=θ, où s est la longueur de l’arc, r est le rayon du cercle et θ est l’angle au
centre. Ça nous donne 15 6 15
62 5=⇒= =θ θ ,radians.
4- a) sinθ est négatif dans les 3e et 4e quadrants ; c’est quand y est négatif.
b) cosθ est négatif dans les 2e et 3e quadrants ; c’est quand x est négatif.
c) tgθ est négatif dans les 2e et 4e quadrants ; c’est quand x et y sont de signes contraires [(+,–) ou (–,+)].
7- a) La période de cos xest 2π puisque ça prend un tour complet avant que cos xreprenne les mêmes valeurs.
b) La période de cosec sin xx =1 est 2π puisque la période de sin x est 2π.
c) La période de tg sin
cos
xx
x
= est πparce que, à partir de π jusqu’à 2π, la fonction tg x reprend
exactement les mêmes valeurs que de 0 à π.
11-a) La fonction tg sin
cos
xx
x
= n’est pas définie quand son dénominateur cos x est égal à 0. C’est donc à
x=π
2 et à x=3 2
π.
b) La fonction cotg cos
sin
xx
x
= n’est pas définie quand son dénominateur sin x est égal à 0. C’est à x=0 et
à x=π.
c) La fonction cosec sin xx =1 n’est pas définie quand son dénominateur sin x est égal à 0. Cela arrive à
x=0 et à x=π.
22-a) tg( )tgx k x+ =π quelle que soit la valeur entière de k puisque la fonction tg x est π.
b) La période de cos xest 2π. C’est dire qu’on peut ajouter 2π ou 4π ou 6π ou ... à l’angle x et obtenir la
même valeur. Donc cos( )cosx k x+ =2π quelle que soit la valeur entière de k.

page S.32 Chapitre 6
26- Quand on cherche arccos x, on cherche l’angle (entre 0 et π) dont le cosinus est égal à x. On n’a qu’à se
référer au cercle trigonométrique sur lequel on cherche le point où x=1 (puisque le cosinus est l’abscisse,
sur ce cercle). On trouve que si x=1, alors y=0 et donc l’angle est 0. ⇒=arccos( )1 0 .
33- Commençons par trouver arccos −
FHGIKJ
1
2. Sur le cercle trigonométrique, on trouve que le cosinus de 23
π est
−1
2. Il suffit donc de calculer sin 233
2
π
FHGIKJ=
39-a) Si A est (8,0), c’est que le rayon du cercle vaut 8. On utilise la relation s r=θ, avec s=20 et r=8. Ça nous
donne 20 8 20
82 5
=⇒= =θ θ ,radians. (On met tout de suite notre calculatrice en mode " radians ")
b) Les coordonnées (a,b) correspondent à ar=cosθ et br=sinθ.
Donc a= = − = −8 2 5 8 08011 6409cos( ,) ( ,), et b= = ⋅=8 2 5 8 0 5985 4788sin( ,), , .
42- Nous allons modifier les deux membres simultanément et tout exprimer en sinus et en cosinus :
tg cotg sec cosec
?
x x x x+ =
sin
cos cos sin cos sin
?
x
xx x x x
+ = ⋅
1 1 On met tout en sinus et en cosinus
sin cos
sin cos sin cos
?
2 2 1x x
x x x x
+
⋅=⋅On met sur des dénominateurs communs
sin cos ?
2 2 1x x+ = On multiplie l’équation par sin cosx x⋅
OUI sin cos
2 2 1x x+ = C’est une identité de base.
50- On commence par aller chercher l’angle dans le premier quadrant : θ= = °arccos , ,02557 75185 .
L'angle qui nous intéresse est dans le 4e
quadrant. Pour le trouver, il faut faire la
symétrie par rapport à l'axe des x et aller voir
"en face" dans le cercle trigonométrique. On
trouve –75,185°.
55- Isolons d’abord sin xdans l’équation : 4 3 0
2
sin x− =

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4 3 3
43 2
2 2
sin sin sinx x x=⇒=⇒=±
On a donc deux cas :
Si on prend sin x=+3
2, on obtient x=π 3 et x=23
π (même hauteur dans le deuxième quadrant).
Si on prend sin x=−3
2, on obtient x=53
π (dans le quatrième quadrant) et x=43 π (même hauteur
dans le troisième quadrant).
On a trouvé toutes les solutions entre 0 et 2π : x=π π π π
3234353
, , , .
60- On connaît deux angles et le côté entre ces deux angles.
Calculons le troisième angle en utilisant le fait que la somme des angles est 180° dans un triangle. On
évaluera ensuite les deux autres côtés avec la loi des sinus.
γ= − + = − =180 67 38 180 105 75º º º º º º( )
sin sin sin sin ,
,,
38 75
49 38 49 75 49 0 6157 09659 3123 bbb=⇒=⇒=⋅=
aa
sin sin , ,, 67 49 75 49 0 9205 09659 46 7=⇒=⋅=
63- Pour calculer facilement la longueur d’un arc de cercle, il faut que l’angle soit donné en radians.
Traduisons donc 18° en radians : 18 18 180 10 °=⋅=
π π radians
Alors s=⋅= =
π π
10 63 5188, m.
64- Il faut commencer par bien situer l’angle −5
6π dans le cercle.
Cet angle correspond à −+ = +5
627 6
πππ en tournant dans le sens
habituel, qui est le sens anti-horaire. Il suffit maintenant d’évaluer la
hauteur (y) du point correspondant sur le cercle. On aura que
sin sin
−= − = − 56 6 1
2
π π
e j e j
y