Solutions de quelques exercices

Chapitre 6
page S.31
Section 6.9 . Vous trouverez les solutions aux numéros 1, 4, 7, 11, 22, 26, 33, 39, 42, 50, 55, 60, 63 et 64.
On utilise la relation s = rθ , où s est la longueur de l’arc, r est le rayon du cercle et θ est l’angle au
1-
centre. Ça nous donne 15 = 6θ
⇒ θ=
15
= 2,5 radians.
6
4- a)
sinθ est négatif dans les 3e et 4e quadrants ; c’est quand y est négatif.
b)
e
e
cosθ est négatif dans les 2 et 3 quadrants ; c’est quand x est négatif.
c)
tg θ est négatif dans les 2 et 4 quadrants ; c’est quand x et y sont de signes contraires [(+,–) ou (–,+)].
7- a)
e
e
La période de cos x est 2π puisque ça prend un tour complet avant que cos x reprenne les mêmes valeurs.
b)
La période de cosec x =
c)
La période de tg x =
1
est 2π puisque la période de sin x est 2π .
sin x
sin x
est π parce que, à partir de π jusqu’à 2π , la fonction tg x reprend
cos x
exactement les mêmes valeurs que de 0 à π .
11-a)
La fonction tg x =
x=
b)
sin x
n’est pas définie quand son dénominateur cos x est égal à 0. C’est donc à
cos x
π
3π
et à x =
.
2
2
La fonction cotg x =
cos x
n’est pas définie quand son dénominateur sin x est égal à 0. C’est à x = 0 et
sin x
à x=π .
c)
La fonction cosec x =
1
n’est pas définie quand son dénominateur sin x est égal à 0. Cela arrive à
sin x
x = 0 et à x = π .
22-a)
b)
tg( x + kπ ) = tg x quelle que soit la valeur entière de k puisque la fonction tg x est π .
La période de cos x est 2π . C’est dire qu’on peut ajouter 2π ou 4π ou 6π ou ... à l’angle x et obtenir la
même valeur. Donc cos( x + 2kπ ) = cos x quelle que soit la valeur entière de k.
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Chapitre 6
Quand on cherche arccos x , on cherche l’angle (entre 0 et π ) dont le cosinus est égal à x. On n’a qu’à se
26-
référer au cercle trigonométrique sur lequel on cherche le point où x=1 (puisque le cosinus est l’abscisse,
sur ce cercle). On trouve que si x=1, alors y=0 et donc l’angle est 0. ⇒ arccos(1) = 0 .
FG −1IJ . Sur le cercle trigonométrique, on trouve que le cosinus de 2π
H 2K
3
−1
F 2π I 3
. Il suffit donc de calculer sinG J =
H 3K 2
2
33-
Commençons par trouver arccos
39-a)
Si A est (8,0), c’est que le rayon du cercle vaut 8. On utilise la relation s = rθ , avec s=20 et r=8. Ça nous
donne 20 = 8θ
b)
⇒ θ=
20
= 2,5 radians. (On met tout de suite notre calculatrice en mode " radians ")
8
Les coordonnées (a,b) correspondent à a = r cosθ et b = r sinθ .
Donc a = 8 cos( 2,5) = 8 ( −0,8011) = −6,409 et b = 8 sin(2 ,5) = 8 ⋅ 0,5985 = 4,788 .
42-
Nous allons modifier les deux membres simultanément et tout exprimer en sinus et en cosinus :
?
tg x + cotg x = sec x cosec x
1
sin x cos x ? 1
+
=
⋅
cos x sin x cos x sin x
On met tout en sinus et en cosinus
sin 2 x + cos 2 x ?
1
=
sin x ⋅ cos x
sin x ⋅ cos x
On met sur des dénominateurs communs
?
50-
sin 2 x + cos 2 x = 1
On multiplie l’équation par sin x ⋅ cos x
OUI sin 2 x + cos 2 x = 1
C’est une identité de base.
On commence par aller chercher l’angle dans le premier quadrant : θ = arccos 0,2557 = 75,185° .
L'angle qui nous intéresse est dans le 4e
quadrant.
Pour le trouver, il faut faire la
symétrie par rapport à l'axe des x et aller voir
"en face" dans le cercle trigonométrique. On
trouve –75,185°.
55-
Isolons d’abord sin x dans l’équation : 4 sin 2 x − 3 = 0
est
Chapitre 6
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4 sin 2 x = 3 ⇒ sin 2 x =
3
4
⇒ sin x =
± 3
2
On a donc deux cas :
Si on prend sin x =
+ 3
π
2π
, on obtient x =
et x =
(même hauteur dans le deuxième quadrant).
2
3
3
Si on prend sin x =
− 3
5π
4π
, on obtient x =
(dans le quatrième quadrant) et x =
(même hauteur
2
3
3
dans le troisième quadrant).
On a trouvé toutes les solutions entre 0 et 2π : x =
60-
π
,
3
2π
,
3
4π
,
3
5π
.
3
On connaît deux angles et le côté entre ces deux angles.
Calculons le troisième angle en utilisant le fait que la somme des angles est 180° dans un triangle. On
évaluera ensuite les deux autres côtés avec la loi des sinus.
γ = 180º − ( 67º +38º ) = 180º −105º = 75º
63-
sin 38 sin 75
=
b
49
⇒
b
49
=
sin 38 sin 75
a
49
=
sin 67 sin 75
⇒ a=
⇒ b=
49 ⋅ 0,9205
= 46,7
0,9659
Pour calculer facilement la longueur d’un arc de cercle, il faut que l’angle soit donné en radians.
Traduisons donc 18° en radians : 18° = 18 ⋅
Alors s =
64-
49 ⋅ 0,6157
= 31,23
0,9659
π
π
=
radians
180 10
π
3π
⋅6 =
= 1,88 m.
10
5
Il faut commencer par bien situer l’angle
Cet angle correspond à
−5π
dans le cercle.
6
−5π
+7π
+ 2π =
en tournant dans le sens
6
6
habituel, qui est le sens anti-horaire. Il suffit maintenant d’évaluer la
hauteur (y) du point correspondant sur le cercle.
e
sin −5π
6
j = − sineπ 6j = −21
On aura que
y